Distribución normal proyectada

Distribución de probabilidad

En estadística direccional , la distribución normal proyectada (también conocida como distribución normal desplazada o distribución normal angular ) ^[1] es una distribución de probabilidad sobre direcciones que describe la proyección radial de una variable aleatoria con distribución normal de n variables sobre la unidad (n-1)-esfera .

Definición y propiedades

Dada una variable aleatoria que sigue una distribución normal multivariante , la distribución normal proyectada representa la distribución de la variable aleatoria obtenida proyectando sobre la esfera unitaria. En el caso general, la distribución normal proyectada puede ser asimétrica y multimodal . En caso de que sea ortogonal a un vector propio de , la distribución es simétrica. ^[2] ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})}$ ${\displaystyle {\mathcal {PN}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}={\frac {\boldsymbol {X}}{\lVert {\boldsymbol {X}}\rVert }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$

Función de densidad

La densidad de la distribución normal proyectada se puede construir a partir de la densidad de su distribución normal generadora de n variables reparametrizando a coordenadas esféricas n-dimensionales y luego integrando sobre la coordenada radial. ${\displaystyle {\mathcal {PN}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$

En coordenadas esféricas con componente radial y ángulos , un punto se puede escribir como , con . La densidad de unión se convierte en ${\displaystyle r\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=(\theta _{1},\dots ,\theta _{n-1})\in [0,\pi ]^{n-2}\times [0,2\pi )}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=r{\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle \lVert {\boldsymbol {v}}\rVert =1}$

${\displaystyle p(r,{\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {r^{n-1}}{{\sqrt {|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {1}{2}}(r{\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {\mu }})^{\top }\Sigma ^{-1}(r{\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {\mu }})}}$

y la densidad de se puede obtener entonces como ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {PN}}_{n}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$

${\displaystyle p({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})=\int _{0}^{\infty }p(r,{\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})dr.}$

Distribución circular

Parametrizando la posición en el círculo unitario en coordenadas polares como , la función de densidad se puede escribir con respecto a los parámetros y de la distribución normal inicial como ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=(\cos \theta ,\sin \theta )}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$

${\displaystyle p(\theta |{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\mu }}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{2\pi {\sqrt {|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}{\boldsymbol {v}}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {v}}}}\left(1+T(\theta ){\frac {\Phi (T(\theta ))}{\phi (T(\theta ))}}\right)I_{[0,2\pi )}(\theta )}$

donde y son la densidad y la distribución acumulativa de una distribución normal estándar , y es la función indicadora . ^[2] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle T(\theta )={\frac {{\boldsymbol {v}}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}{\sqrt {{\boldsymbol {v}}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {v}}}}}}$ ${\displaystyle I}$

En el caso circular, si el vector medio es paralelo al vector propio asociado al mayor valor propio de la covarianza, la distribución es simétrica y tiene una moda en y una moda o una antimoda en , donde es el ángulo polar de . Si, en cambio, la media es paralela al vector propio asociado al menor valor propio, la distribución también es simétrica pero tiene una moda o una antimoda en y una antimoda en . ^[4] ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle \theta =\alpha }$ ${\displaystyle \theta =\alpha +\pi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=(r\cos \alpha ,r\sin \alpha )}$ ${\displaystyle \theta =\alpha }$ ${\displaystyle \theta =\alpha +\pi }$

Distribución esférica

Parametrizando la posición en la esfera unitaria en coordenadas esféricas como donde son los ángulos de acimut e inclinación respectivamente, la función de densidad se convierte en ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=(\cos \theta _{1}\sin \theta _{2},\sin \theta _{1}\sin \theta _{2},\cos \theta _{2})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=(\theta _{1},\theta _{2})}$ ${\displaystyle \theta _{1}\in [0,2\pi )}$ ${\displaystyle \theta _{2}\in [0,\pi ]}$

${\displaystyle p({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\mu }}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}}}{{\sqrt {|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}\left(2\pi {\boldsymbol {v}}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {v}}\right)^{\frac {3}{2}}}}\left({\frac {\Phi (T({\boldsymbol {\theta }}))}{\phi (T({\boldsymbol {\theta }}))}}+T({\boldsymbol {\theta }})\left(1+T({\boldsymbol {\theta }}){\frac {\Phi (T({\boldsymbol {\theta }}))}{\phi (T({\boldsymbol {\theta }}))}}\right)\right)I_{[0,2\pi )}(\theta _{1})I_{[0,\pi ]}(\theta _{2})}$

donde , , , y tienen el mismo significado que el caso circular. ^[5] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle I}$

Véase también

• Estadísticas direccionales
• Distribución normal multivariante

Referencias

1. Wang y Gelfand 2013.
2. Hernandez-Stumpfhauser, Breidt & van der Woerd 2017, p. 115.
3. Hernández-Stumpfhauser, Breidt y van der Woerd 2017, p. 117.
4. Hernandez-Stumpfhauser, Breidt & van der Woerd 2017, Material complementario, p. 1.
5. Hernández-Stumpfhauser, Breidt y van der Woerd 2017, p. 123.

Fuentes

• Hernandez-Stumpfhauser, Daniel; Breidt, F. Jay; van der Woerd, Mark J. (2017). "La distribución normal proyectada general de dimensión arbitraria: modelado e inferencia bayesiana". Análisis bayesiano . 12 (1): 113–133.
• Wang, Fangpo; Gelfand, Alan E (2013). "Análisis de datos direccionales bajo la distribución normal general proyectada". Metodología estadística . 10 (1). Elsevier: 113–127.