En teoría de probabilidad y estadística , la distribución uniforme discreta es una distribución de probabilidad simétrica en la que es igualmente probable que se observe un número finito de valores; cada uno de los n valores tiene la misma probabilidad 1/ n . Otra forma de decir "distribución uniforme discreta" sería "un número finito conocido de resultados con la misma probabilidad de ocurrir".
Un ejemplo sencillo de distribución uniforme discreta es tirar un dado justo . Los valores posibles son 1, 2, 3, 4, 5, 6, y cada vez que se lanza el dado la probabilidad de obtener una puntuación determinada es 1/6. Si se lanzan dos dados y se suman sus valores, la distribución resultante ya no es uniforme porque no todas las sumas tienen la misma probabilidad. Aunque es conveniente describir distribuciones uniformes discretas sobre números enteros, como ésta, también se pueden considerar distribuciones uniformes discretas sobre cualquier conjunto finito . Por ejemplo, una permutación aleatoria es una permutación generada uniformemente a partir de las permutaciones de una longitud determinada, y un árbol de expansión uniforme es un árbol de expansión generado uniformemente a partir de los árboles de expansión de un gráfico determinado.
La distribución uniforme discreta en sí misma es inherentemente no paramétrica. Sin embargo, es conveniente representar sus valores generalmente mediante todos los números enteros en un intervalo [ a , b ], de modo que a y b se conviertan en los parámetros principales de la distribución (a menudo uno simplemente considera el intervalo [1, n ] con el único parámetro n ). Con estas convenciones, la función de distribución acumulativa (CDF) de la distribución uniforme discreta se puede expresar, para cualquier k ∈ [ a , b ], como
Este ejemplo se describe diciendo que una muestra de k observaciones se obtiene a partir de una distribución uniforme de los números enteros , siendo el problema estimar el máximo desconocido N. Este problema se conoce comúnmente como el problema de los tanques alemanes , tras la aplicación de la estimación máxima a las estimaciones de la producción de tanques alemanes durante la Segunda Guerra Mundial .
El estimador insesgado de varianza mínima uniforme (UMVU) para el máximo viene dado por
donde m es el máximo de muestra y k es el tamaño de muestra , muestreo sin reemplazo. [1] Esto puede verse como un caso muy simple de estimación de espaciado máximo .
Esto tiene una variación de [1]
entonces, una desviación estándar de aproximadamente , el tamaño promedio (poblacional) de una brecha entre muestras; comparar arriba.
El máximo muestral es el estimador de máxima verosimilitud para el máximo poblacional, pero, como se analizó anteriormente, está sesgado.
Si las muestras no están numeradas pero son reconocibles o marcables, se puede estimar el tamaño de la población mediante el método de captura-recaptura .
Consulte números de rencontres para obtener una descripción de la distribución de probabilidad del número de puntos fijos de una permutación aleatoria distribuida uniformemente .
La familia de distribuciones uniformes sobre rangos de números enteros (con uno o ambos límites desconocidos) tiene un estadístico suficiente de dimensión finita , es decir, el triple del máximo muestral, el mínimo muestral y el tamaño de la muestra, pero no es una familia exponencial de distribuciones, porque El soporte varía según los parámetros. Para las familias cuyo apoyo no depende de los parámetros, el teorema de Pitman-Koopman-Darmois establece que sólo las familias exponenciales tienen un estadístico suficiente cuya dimensión está acotada a medida que aumenta el tamaño de la muestra. La distribución uniforme es, por tanto, un ejemplo sencillo que muestra el límite de este teorema.
