Distribución exponencial de Marshall-Olkin

Distribución de probabilidad en estadística aplicada.

En estadística aplicada, la distribución exponencial de Marshall-Olkin es cualquier miembro de una determinada familia de distribuciones de probabilidad multivariadas continuas con componentes de valores positivos. Fue introducido por Albert W. Marshall e Ingram Olkin . ^[1] Uno de sus principales usos es en la teoría de la confiabilidad, donde la cópula de Marshall-Olkin modela la dependencia entre variables aleatorias sometidas a shocks externos. ^{[2] [3]}

Definición

Sea un conjunto de variables aleatorias independientes distribuidas exponencialmente , donde tiene media . Dejar ${\displaystyle \{E_{B}:\varnothing \neq B\subset \{1,2,\ldots ,b\}\}}$ ${\displaystyle E_{B}}$ ${\displaystyle 1/\lambda _{B}}$

${\displaystyle T_{j}=\min\{E_{B}:j\in B\},\ \ j=1,\ldots ,b.}$

La distribución conjunta de se llama distribución exponencial de Marshall-Olkin con parámetros ${\displaystyle T=(T_{1},\ldots ,T_{b})}$ ${\displaystyle \{\lambda _{B},B\subset \{1,2,\ldots ,b\}\}.}$

Ejemplo concreto

Supongamos que b  = 3. Entonces hay siete subconjuntos no vacíos de { 1, ...,  b  } = { 1, 2, 3 }; de ahí siete variables aleatorias exponenciales diferentes:

${\displaystyle E_{\{1\}},E_{\{2\}},E_{\{3\}},E_{\{1,2\}},E_{\{1,3\}},E_{\{2,3\}},E_{\{1,2,3\}}}$

Entonces nosotros tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{1}&=\min\{E_{\{1\}},E_{\{1,2\}},E_{\{1,3\}},E_{\{1,2,3\}}\}\\T_{2}&=\min\{E_{\{2\}},E_{\{1,2\}},E_{\{2,3\}},E_{\{1,2,3\}}\}\\T_{3}&=\min\{E_{\{3\}},E_{\{1,3\}},E_{\{2,3\}},E_{\{1,2,3\}}\}\\\end{aligned}}}$

Referencias

1. Marshall, Albert W.; Olkin, Ingram (1967), "Una distribución exponencial multivariada", Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística , 62 (317): 30–49, doi :10.2307/2282907, JSTOR  2282907, MR  0215400
2. Botev, Z.; L'Ecuyer, P.; Simard, R.; Tuffin, B. (2016), "Estimación de la confiabilidad de la red estática bajo la cópula de Marshall-Olkin", Transacciones ACM sobre modelado y simulación por computadora , 26 (2): No.14, doi :10.1145/2775106, S2CID  16677453
3. Durante, F.; Girard, S.; Mazo, G. (2016), "Cópulas tipo Marshall-Olkin generadas por un choque global", Journal of Computational and Applied Mathematics , 296 : 638–648, doi : 10.1016/j.cam.2015.10.022

• Xu M, Xu S. "Un modelo estocástico extendido para el análisis de seguridad cuantitativo de sistemas en red". Matemáticas de Internet , 2012, 8(3): 288–320.