Distribución de varianza-gamma

La distribución varianza-gamma , distribución de Laplace generalizada ^[2] o distribución de función de Bessel ^[2] es una distribución de probabilidad continua que se define como la mezcla de varianza-media normal donde la densidad de mezcla es la distribución gamma . Las colas de la distribución disminuyen más lentamente que la distribución normal . Por lo tanto, es adecuada para modelar fenómenos donde los valores numéricamente grandes son más probables que en el caso de la distribución normal. Algunos ejemplos son los rendimientos de los activos financieros y las velocidades turbulentas del viento. La distribución fue introducida en la literatura financiera por Madan y Seneta. ^[3] Las distribuciones varianza-gamma forman una subclase de las distribuciones hiperbólicas generalizadas .

El hecho de que exista una expresión simple para la función generadora de momentos implica que existen expresiones simples para todos los momentos . La clase de distribuciones de varianza-gamma está cerrada bajo convolución en el siguiente sentido. Si y son variables aleatorias independientes que tienen una distribución de varianza-gamma con los mismos valores de los parámetros y , pero posiblemente valores diferentes de los otros parámetros, , y , respectivamente, entonces la distribución de varianza-gamma es con parámetros , , y . ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2},}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$ ${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}}$ ${\displaystyle \mu _{1}+\mu _{2}}$

La distribución de varianza-gamma también se puede expresar en términos de tres parámetros de entrada (C, G, M) indicados con las iniciales de sus fundadores. Si el parámetro "C" es un número entero, la distribución tiene una forma cerrada de distribución 2-EPT. Véase la función de densidad de probabilidad 2-EPT . Con esta restricción, se pueden derivar precios de opciones en forma cerrada. ${\displaystyle \lambda }$

Si , y , la distribución se convierte en una distribución de Laplace con parámetro de escala . Mientras , las opciones alternativas de y producirán distribuciones relacionadas con la distribución de Laplace, con asimetría, escala y ubicación dependiendo de los otros parámetros. ^[4] ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \lambda =1}$ ${\displaystyle \beta =0}$ ${\displaystyle b=1}$ ${\displaystyle \lambda =1}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Para una distribución de varianza-gamma simétrica, la curtosis se puede expresar mediante . ^[1] ${\displaystyle 3(1+1/\lambda )}$

Véase también Proceso de varianza gamma .

Notas

1. Nestler, Scott; Hall, Andrew (4 de octubre de 2019). "La distribución gamma de la varianza". The Royal Statistical Society . 16 (5): 10–11. doi : 10.1111/j.1740-9713.2019.01314.x .
2. Kotz, S.; et al. (2001). La distribución de Laplace y las generalizaciones . Birkhäuser. pág. 180. ISBN 0-8176-4166-1.
3. DB Madan y E. Seneta (1990): El modelo de varianza gamma (VG) para los rendimientos del mercado de acciones, Journal of Business , 63, págs. 511-524.
4. Meyers, Robert A. (2010). Sistemas complejos en finanzas y econometría . Springer. pág. 326. ISBN. 9781441977007.