perfil de voigt

Distribución de probabilidad

El perfil de Voigt (llamado así por Woldemar Voigt ) es una distribución de probabilidad dada por una convolución de una distribución de Cauchy-Lorentz y una distribución gaussiana . A menudo se utiliza para analizar datos de espectroscopia o difracción .

Definición

Sin pérdida de generalidad, sólo podemos considerar perfiles centrados, cuyo máximo es cero. El perfil de Voigt es entonces

${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }G(x';\sigma )L(x-x';\gamma )\,dx',}$

donde x es el desplazamiento desde el centro de la línea, es el perfil gaussiano centrado: ${\displaystyle G(x;\sigma )}$

${\displaystyle G(x;\sigma )\equiv {\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},}$

y es el perfil lorentziano centrado: ${\displaystyle L(x;\gamma )}$

${\displaystyle L(x;\gamma )\equiv {\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+x^{2})}}.}$

La integral definitoria se puede evaluar como:

${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},}$

donde Re[ w ( z )] es la parte real de la función Faddeeva evaluada para

${\displaystyle z={\frac {x+i\gamma }{{\sqrt {2}}\,\sigma }}.}$

En los casos límite de y luego se simplifica a y , respectivamente. ${\displaystyle \sigma =0}$ ${\displaystyle \gamma =0}$ ${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )}$ ${\displaystyle L(x;\gamma )}$ ${\displaystyle G(x;\sigma )}$

Historia y aplicaciones

En espectroscopia, un perfil de Voigt resulta de la convolución de dos mecanismos de ensanchamiento, uno de los cuales por sí solo produciría un perfil gaussiano (generalmente, como resultado del ensanchamiento Doppler ) y el otro produciría un perfil de Lorentz. Los perfiles de Voigt son comunes en muchas ramas de la espectroscopia y la difracción . Debido al coste que supone calcular la función Faddeeva , el perfil de Voigt a veces se aproxima utilizando un perfil pseudo-Voigt.

Propiedades

El perfil de Voigt está normalizado:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }V(x;\sigma ,\gamma )\,dx=1,}$

ya que es una convolución de perfiles normalizados. El perfil de Lorentz no tiene momentos (aparte del cero), por lo que la función generadora de momentos para la distribución de Cauchy no está definida. De ello se deduce que el perfil de Voigt tampoco tendrá una función generadora de momentos, pero la función característica para la distribución de Cauchy está bien definida, al igual que la función característica para la distribución normal . La función característica del perfil de Voigt (centrado) será entonces el producto de las dos:

${\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma )=E(e^{ixt})=e^{-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.}$

Dado que las distribuciones normales y las distribuciones de Cauchy son distribuciones estables , cada una de ellas está cerrada bajo convolución (hasta el cambio de escala), y se deduce que las distribuciones de Voigt también están cerradas bajo convolución.

Función de distribución acumulativa

Usando la definición anterior para z , la función de distribución acumulativa (CDF) se puede encontrar de la siguiente manera:

${\displaystyle F(x_{0};\mu ,\sigma )=\int _{-\infty }^{x_{0}}{\frac {\operatorname {Re} (w(z))}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,dx=\operatorname {Re} \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{z(-\infty )}^{z(x_{0})}w(z)\,dz\right).}$

Sustituyendo la definición de la función Faddeeva ( función de error complejo escalada ) se obtiene la integral indefinida:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-z^{2}}\left[1-\operatorname {erf} (-iz)\right]\,dz,}$

que puede resolverse para producir

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}}+{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right),}$

donde es una función hipergeométrica . Para que la función se acerque a cero cuando x se acerca al infinito negativo (como debe hacer la CDF), se debe sumar una constante de integración de 1/2. Esto da para la CDF de Voigt: ${\displaystyle {}_{2}F_{2}}$

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\operatorname {Re} \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}}+{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right)\right].}$

El perfil descentrado de Voigt

Si el perfil gaussiano está centrado en y el perfil lorentziano está centrado en , la convolución está centrada en y la función característica es: ${\displaystyle \mu _{G}}$ ${\displaystyle \mu _{L}}$ ${\displaystyle \mu _{V}=\mu _{G}+\mu _{L}}$

${\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma ,\mu _{\mathrm {G} },\mu _{\mathrm {L} })=e^{i(\mu _{\mathrm {G} }+\mu _{\mathrm {L} })t-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.}$

La función de densidad de probabilidad simplemente se desplaza del perfil centrado por : ${\displaystyle \mu _{V}}$

${\displaystyle V(x;\mu _{V},\sigma ,\gamma )={\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}},}$

dónde:

${\displaystyle z={\frac {x-\mu _{V}+i\gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}}$

La moda y la mediana se encuentran ambas en . ${\displaystyle \mu _{V}}$

Derivados

Un perfil de Voigt (aquí, asumiendo , y ) y sus dos primeras derivadas parciales con respecto a (la primera columna) y los tres parámetros , y (la segunda, tercera y cuarta columnas, respectivamente), obtenidos analítica y numéricamente. ${\displaystyle \mu _{V}=10}$ ${\displaystyle \sigma =1.3}$ ${\displaystyle \gamma =2.5}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu _{V}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Usando la definición anterior para y , la primera y segunda derivada se pueden expresar en términos de la función Faddeeva como ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x_{c}=x-\mu _{V}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}V(x_{c};\sigma ,\gamma )&=-{\frac {\operatorname {Re} \left[z~w(z)\right]}{\sigma ^{2}{\sqrt {\pi }}}}=-{\frac {x_{c}}{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Re} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\gamma }{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Im} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\\&={\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \operatorname {Im} \left[w(z)\right]-x_{c}\cdot \operatorname {Re} \left[w(z)\right]\right)\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\left(\partial x\right)^{2}}}V(x_{c};\sigma ,\gamma )&={\frac {x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Re} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}-{\frac {2x_{c}\gamma }{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Im} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\gamma }{\sigma ^{4}}}{\frac {1}{\pi }}\\&=-{\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \left(2x_{c}\cdot \operatorname {Im} \left[w(z)\right]-\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \operatorname {Re} \left[w(z)\right]\right),\end{aligned}}}$

respectivamente.

A menudo, es necesario ajustar uno o varios perfiles de Voigt y/o sus respectivos derivados a una señal medida mediante mínimos cuadrados no lineales , por ejemplo, en espectroscopia . Luego, se pueden utilizar más derivadas parciales para acelerar los cálculos. En lugar de aproximar la matriz jacobiana con respecto a los parámetros , , y con la ayuda de diferencias finitas , se pueden aplicar las expresiones analíticas correspondientes. Con y , estos están dados por: ${\displaystyle \mu _{V}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \left[w(z)\right]=\Re _{w}}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left[w(z)\right]=\Im _{w}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}={\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(x_{c}\cdot \Re _{w}-\gamma \cdot \Im _{w}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \sigma }}={\frac {1}{\sigma ^{4}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-\sigma ^{2}\right)\cdot \Re _{w}-2x_{c}\gamma \cdot \Im _{w}+\gamma \sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V}{\partial \gamma }}=-{\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}-x_{c}\cdot \Im _{w}-\gamma \cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}}$

para el perfil voigt original ; ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V'}{\partial x}}=-{\frac {\partial ^{2}V}{\left(\partial x\right)^{2}}}={\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\gamma \cdot \left(2x_{c}\cdot \Im _{w}-\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \sigma }}={\frac {3}{\sigma ^{6}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(-\gamma \sigma x_{c}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}+\left(x_{c}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{3}}-\sigma ^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Im _{w}+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Re _{w}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V'}{\partial \gamma }}={\frac {1}{\sigma ^{5}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(x_{c}\cdot \left(\sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}-2\gamma \cdot \Re _{w}\right)+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \Im _{w}\right)\end{aligned}}}$

para la derivada parcial de primer orden ; y ${\displaystyle V'={\frac {\partial V}{\partial x}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V''}{\partial \mu _{V}}}=-{\frac {\partial V''}{\partial x}}=-{\frac {\partial ^{3}V}{\left(\partial x\right)^{3}}}=-{\frac {3}{\sigma ^{7}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(x_{c}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{3}}-\sigma ^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Im _{w}+\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Re _{w}-\gamma \sigma x_{c}\cdot {\frac {2{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial V''}{\partial \sigma }}=-{\frac {1}{\sigma ^{8}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \\&\left(\left(-3\gamma x_{c}\sigma ^{2}+\gamma x_{c}^{3}-\gamma ^{3}x_{c}\right)\cdot 4\cdot \Im _{w}+\left(\left(2x_{c}^{2}-2\gamma ^{2}-\sigma ^{2}\right)\cdot 3\sigma ^{2}+6\gamma ^{2}x_{c}^{2}-x_{c}^{4}-\gamma ^{4}\right)\cdot \Re _{w}+\left(\gamma ^{2}+5\sigma ^{2}-3x_{c}^{2}\right)\cdot \gamma \sigma \cdot {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial V''}{\partial \gamma }}=-{\frac {3}{\sigma ^{7}{\sqrt {2\pi }}}}\cdot \left(\left(\gamma ^{2}+\sigma ^{2}-{\frac {x_{c}^{2}}{3}}\right)\cdot x_{c}\cdot \Im _{w}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{3}}+\sigma ^{2}-x_{c}^{2}\right)\cdot \gamma \cdot \Re _{w}+\left(x_{c}^{2}-\gamma ^{2}-2\sigma ^{2}\right)\cdot \sigma \cdot {\frac {\sqrt {2}}{3{\sqrt {\pi }}}}\right)\end{aligned}}}$

para la derivada parcial de segundo orden . Dado que y desempeñan un papel relativamente similar en el cálculo de , sus respectivas derivadas parciales también parecen bastante similares en términos de estructura, aunque dan como resultado perfiles de derivadas totalmente diferentes. De hecho, las derivadas parciales con respecto a y muestran más similitud ya que ambos son parámetros de ancho. Todas estas derivadas implican sólo operaciones simples (multiplicaciones y sumas) porque son costosas desde el punto de vista computacional y se obtienen fácilmente al realizar cálculos . Esta reutilización de cálculos anteriores permite una derivación con costes mínimos. Este no es el caso de la aproximación de gradiente en diferencias finitas, ya que requiere la evaluación de cada gradiente respectivamente. ${\displaystyle V''={\frac {\partial ^{2}V}{\left(\partial x\right)^{2}}}}$ ${\displaystyle \mu _{V}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Re _{w}}$ ${\displaystyle \Im _{w}}$ ${\displaystyle w\left(z\right)}$ ${\displaystyle w\left(z\right)}$

Funciones de Voigt

Las funciones de Voigt ^[1] U , V y H (a veces denominadas función de ensanchamiento de línea ) se definen por

${\displaystyle U(x,t)+iV(x,t)={\sqrt {\frac {\pi }{4t}}}e^{z^{2}}\operatorname {erfc} (z)={\sqrt {\frac {\pi }{4t}}}w(iz),}$

${\displaystyle H(a,u)={\frac {U({\frac {u}{a}},{\frac {1}{4a^{2}}})}{{\sqrt {\pi }}\,a}},}$

dónde

${\displaystyle z={\frac {1-ix}{2{\sqrt {t}}}},}$

erfc es la función de error complementaria y w ( z ) es la función de Faddeeva .

Relación con el perfil de Voigt

${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {H(a,u)}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }},}$

con variables relativas sigma gaussianas y ${\displaystyle u={\frac {x}{{\sqrt {2}}\,\sigma }}}$ ${\displaystyle a={\frac {\gamma }{{\sqrt {2}}\,\sigma }}.}$

Aproximaciones numéricas

Función Tepper-García

La función Tepper-García , que lleva el nombre del astrofísico germano-mexicano Thor Tepper-García, es una combinación de una función exponencial y funciones racionales que se aproxima a la función de ensanchamiento de línea en un amplio rango de sus parámetros. ^[2] Se obtiene a partir de una expansión en serie de potencias truncada de la función de ensanchamiento de línea exacta. ${\displaystyle H(a,u)}$

En su forma más eficiente computacionalmente, la función Tepper-García se puede expresar como

${\displaystyle T(a,u)=R-\left(a/{\sqrt {\pi }}P\right)~\left[R^{2}~(4P^{2}+7P+4+Q)-Q-1\right]\,,}$

dónde y . ​ ${\displaystyle P\equiv u^{2}}$ ${\displaystyle Q\equiv 3/(2P)}$ ${\displaystyle R\equiv e^{-P}}$

Por tanto, la función de ensanchamiento de línea puede verse, de primer orden, como una función gaussiana pura más un factor de corrección que depende linealmente de las propiedades microscópicas del medio absorbente (codificado en ); sin embargo, como resultado del truncamiento temprano en la expansión de la serie, el error en la aproximación sigue siendo de orden , es decir . Esta aproximación tiene una precisión relativa de ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle H(a,u)\approx T(a,u)+{\mathcal {O}}(a)}$

${\displaystyle \epsilon \equiv {\frac {\vert H(a,u)-T(a,u)\vert }{H(a,u)}}\lesssim 10^{-4}}$

en todo el rango de longitudes de onda de , siempre que . Además de su alta precisión, la función es fácil de implementar y computacionalmente rápida. Es ampliamente utilizado en el campo del análisis de líneas de absorción de cuásares. ^[3] ${\displaystyle H(a,u)}$ ${\displaystyle a\lesssim 10^{-4}}$ ${\displaystyle T(a,u)}$

Aproximación pseudo-Voigt

El perfil pseudo-Voigt (o función pseudo-Voigt ) es una aproximación del perfil Voigt V ( x ) utilizando una combinación lineal de una curva gaussiana G ( x ) y una curva Lorentziana L ( x ) en lugar de su convolución .

La función pseudo-Voigt se utiliza a menudo para cálculos de formas de líneas espectrales experimentales .

La definición matemática del perfil pseudo-Voigt normalizado viene dada por

${\displaystyle V_{p}(x,f)=\eta \cdot L(x,f)+(1-\eta )\cdot G(x,f)}$con . ${\displaystyle 0<\eta <1}$

${\displaystyle \eta }$es una función del parámetro ancho total a la mitad del máximo (FWHM).

Hay varias opciones posibles para el parámetro. ^{[4] [5] [6] [7]} Una fórmula simple, con una precisión del 1%, es ^{[8] [9]} ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \eta =1.36603(f_{L}/f)-0.47719(f_{L}/f)^{2}+0.11116(f_{L}/f)^{3},}$

donde ahora, es una función de los parámetros de Lorentz ( ), Gaussiano ( ) y total ( ) Ancho total a la mitad del máximo (FWHM). El parámetro FWHM total ( ) se describe mediante: ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle f_{L}}$ ${\displaystyle f_{G}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f=[f_{G}^{5}+2.69269f_{G}^{4}f_{L}+2.42843f_{G}^{3}f_{L}^{2}+4.47163f_{G}^{2}f_{L}^{3}+0.07842f_{G}f_{L}^{4}+f_{L}^{5}]^{1/5}.}$

El ancho del perfil Voigt.

El ancho total a la mitad del máximo (FWHM) del perfil de Voigt se puede encontrar a partir de los anchos de los anchos gaussianos y lorentzianos asociados. El FWHM del perfil gaussiano es

${\displaystyle f_{\mathrm {G} }=2\sigma {\sqrt {2\ln(2)}}.}$

El FWHM del perfil lorentziano es

${\displaystyle f_{\mathrm {L} }=2\gamma .}$

Una relación aproximada (con una precisión de alrededor del 1,2%) entre los anchos de los perfiles de Voigt, Gauss y Lorentz es: ^[10]

${\displaystyle f_{\mathrm {V} }\approx f_{\mathrm {L} }/2+{\sqrt {f_{\mathrm {L} }^{2}/4+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.}$

Por construcción, esta expresión es exacta para un Gaussiano o Lorentziano puro.

Una mejor aproximación con una precisión del 0,02% viene dada por ^[11] (originalmente encontrada por Kielkopf ^[12] )

${\displaystyle f_{\mathrm {V} }\approx 0.5346f_{\mathrm {L} }+{\sqrt {0.2166f_{\mathrm {L} }^{2}+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.}$

Nuevamente, esta expresión es exacta para un Gaussiano o Lorentziano puro. En la misma publicación ^[11] se puede encontrar una expresión ligeramente más precisa (dentro del 0,012%), aunque significativamente más complicada.

Referencias

1. Temme, NM (2010), "Función Voigt", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248.
2. Tepper-García, Thorsten (2006). "Perfil de Voigt ajustado a líneas de absorción de cuásares: una aproximación analítica a la función de Voigt-Hjerting". Avisos mensuales de la Real Sociedad Astronómica . 369 (4): 2025-2035. arXiv : astro-ph/0602124 . Código Bib : 2006MNRAS.369.2025T. doi :10.1111/j.1365-2966.2006.10450.x. S2CID  16981310.
3. Lista de citas encontradas en el Sistema de datos astrofísicos (ADS) de SAO/NASA: https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2006MNRAS.369.2025T/citations
4. Wertheim GK, Butler MA, West KW, Buchanan DN (1974). "Determinación del contenido gaussiano y lorentziano de formas lineales experimentales". Revisión de Instrumentos Científicos . 45 (11): 1369-1371. Código bibliográfico : 1974RScI...45.1369W. doi :10.1063/1.1686503.
5. Sánchez-Bajo, F.; FL Cumbrera (agosto de 1997). "El uso de la función Pseudo-Voigt en el método de varianza del análisis de ampliación de líneas de rayos X". Revista de Cristalografía Aplicada . 30 (4): 427–430. doi :10.1107/S0021889896015464.
6. Liu Y, Lin J, Huang G, Guo Y, Duan C (2001). "Aproximación analítica empírica simple al perfil de Voigt". JOSE B. 18 (5): 666–672. Código Bib :2001JOSAB..18..666L. doi :10.1364/josab.18.000666.
7. Di Rocco HO, Cruzado A (2012). "El perfil de Voigt como suma de las funciones gaussiana y lorentziana, cuando el coeficiente de peso depende únicamente de la relación de anchos". Acta Física Polonica A. 122 (4): 666–669. Código Bib : 2012AcPPA.122..666D. doi : 10.12693/APhysPolA.122.666 . ISSN  0587-4246.
8. Ida T, Ando M, Toraya H (2000). "Función pseudo-Voigt extendida para aproximar el perfil de Voigt". Revista de Cristalografía Aplicada . 33 (6): 1311-1316. doi :10.1107/s0021889800010219. S2CID  55372305.
9. P. Thompson, DE Cox y JB Hastings (1987). "Refinamiento de Rietveld de los datos de rayos X del sincrotrón Debye-Scherrer de Al ₂ O ₃ ". Revista de Cristalografía Aplicada . 20 (2): 79–83. doi :10.1107/S0021889887087090.
10. Whiting, EE (junio de 1968). "Una aproximación empírica al perfil de Voigt". Revista de espectroscopia cuantitativa y transferencia radiativa . 8 (6): 1379-1384. Código bibliográfico : 1968JQSRT...8.1379W. doi :10.1016/0022-4073(68)90081-2. ISSN  0022-4073.
11. Olivero, JJ; RL Longbothum (febrero de 1977). "Ajustes empíricos al ancho de línea de Voigt: una breve revisión". Revista de espectroscopia cuantitativa y transferencia radiativa . 17 (2): 233–236. Código bibliográfico : 1977JQSRT..17..233O. doi :10.1016/0022-4073(77)90161-3. ISSN  0022-4073.
12. John F. Kielkopf (1973), "Nueva aproximación a la función de Voigt con aplicaciones al análisis de perfiles de líneas espectrales", Journal of the Optical Society of America , 63 (8): 987, Bibcode :1973JOSA...63.. 987K, doi :10.1364/JOSA.63.000987

enlaces externos

• http://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf, biblioteca numérica de C para funciones de error complejas, proporciona una función voigt(x, sigma, gamma) con una precisión de aproximadamente 13 a 14 dígitos.
• El artículo original es: Voigt, Woldemar, 1912, ''Das Gesetz der Intensitätsverteilung Innerhalb der Linien eines Gasspektrums'', Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, 25, 603 (ver también: http://publikationen.badw.de/de /003395768)