Una transformación de estiramiento anamórfica ( AST ), también conocida como transformación de estiramiento deformado , es una transformación de señal inspirada en la física que surgió de la transformada de Fourier dispersiva de estiramiento temporal . La transformación se puede aplicar a señales temporales analógicas, como señales de comunicación, o a datos espaciales digitales, como imágenes. [1] [2] La transformación remodela los datos de tal manera que su salida tenga propiedades propicias para la compresión y el análisis de datos . La remodelación consiste en un estiramiento deformado en el dominio de Fourier. El nombre "anamórfica" se utiliza debido a la analogía metafórica entre la operación de estiramiento deformado y la deformación de imágenes en anamorfosis [3] y obras de arte surrealistas . [4]
Una transformación de estiramiento anamórfica (AST) [5] [6] es una transformación matemática en la que los datos analógicos o digitales se estiran y deforman de una manera que tiene en cuenta el contexto, de modo que da como resultado un muestreo de dominio de Fourier no uniforme. La transformación se define como:
donde es el espectro óptico de entrada, es la fase espectral agregada por AST ( siendo el núcleo de deformación de AST), y y denotan las frecuencias de modulación óptica y envolvente, respectivamente. El detalle de la remodelación depende de la escasez y redundancia de la señal de entrada y se puede obtener mediante una función matemática, que se llama " distribución de modulación estirada" o "distribución de intensidad de modulación" (que no debe confundirse con una función diferente del mismo nombre que se utiliza en diagnósticos mecánicos).
La distribución de modulación estirada es una representación tridimensional de un tipo de distribución bilineal de tiempo-frecuencia similar, pero no igual, a otras distribuciones de tiempo-frecuencia. [7] [8] [9] [10] Se puede interpretar el término fasorial añadido para representar el efecto de un desplazamiento temporal en la autocorrelación espectral de la señal. Como resultado, la distribución se puede utilizar para mostrar los efectos de la fase espectral AST en la duración temporal y el ancho de banda de la envolvente de intensidad de la señal de salida, lo que resulta útil para visualizar el producto de ancho de banda temporal de la señal. [11]
AST aplica una dispersión de grupo personalizada a diferentes características espectrales. [11] [12] [13] [14] Al hacer coincidir la dispersión de retardo de grupo con el espectro de la señal de interés particular, realiza un mapeo de frecuencia a tiempo de manera personalizada. Las porciones ricas en información del espectro se estiran en el tiempo más que las regiones dispersas del espectro, lo que las hace más fáciles de capturar con un convertidor analógico a digital (ADC) en tiempo real, similar a la metodología utilizada en la tecnología ADC de estiramiento temporal . Esta propiedad se ha denominado "estiramiento autoadaptativo". Debido a que la operación es específica del espectro de la señal, no requiere conocimiento sobre el comportamiento del dominio temporal instantáneo de la señal. Por lo tanto, no se necesita un control adaptativo en tiempo real. Los parámetros de AST se diseñan utilizando la propiedad espectral estadística (no instantánea) de la familia de señales de interés en la aplicación de destino. [15] Una vez que se diseñan los parámetros, no necesitan responder al valor instantáneo de la señal. El muestreo no uniforme resultante, en el que las porciones de la señal ricas en información se muestrean a una tasa mayor que las regiones dispersas, se puede aprovechar para la compresión de datos. Como cualquier otro método de compresión de datos, la compresión máxima que se puede lograr utilizando AST depende de la señal. [14]
La precisión de reconstrucción y la naturaleza con pérdida de este método de compresión se han analizado previamente. [14] El sistema remodela la estructura espectrotemporal de la señal de tal manera que casi toda la energía de la señal está dentro del ancho de banda del digitalizador en tiempo real del sistema de adquisición. Debido al ancho de banda limitado y la resolución limitada del digitalizador, medida por su número efectivo de bits (ENOB), la reconstrucción nunca será ideal y, por lo tanto, este es un método de compresión con pérdida . Debido a esto, solo se puede lograr una compresión modesta en la práctica.
Como alternativa, el proceso de reconstrucción se puede simplificar en gran medida si la información deseada se codifica en la envolvente espectral de la señal de entrada en lugar de en la envolvente temporal. En tal escenario, la salida real se puede reconstruir simplemente desvirtuando directamente la salida medida dado el núcleo de deformación diseñado. Esto se ha logrado experimentalmente para la compresión de imágenes ópticas. [16]
En la implementación digital de AST (DAST) que se realiza en 2D y se aplica a imágenes digitales, un núcleo de deformación diseñado adecuadamente estira la entrada de una manera que reduce el ancho de banda espacial general y, por lo tanto, el requisito de muestreo. La ecuación anterior para AST se puede reescribir en forma discreta para DAST como: ,
donde es la versión digital del núcleo de deformación. De manera similar al caso de las formas de onda temporales 1-D, la forma de onda deformada se puede muestrear a una tasa menor que la que era posible anteriormente con el submuestreo uniforme ingenuo. Esta propiedad, conocida como "estiramiento selectivo de características", se puede utilizar para la compresión de imágenes digitales. Hay dos desafíos en DAST, (1) reconstrucción de imágenes y (2) diseño del núcleo de deformación. El mapeo de deformación se realiza típicamente en el dominio de frecuencia. La reconstrucción (mapeo inverso) de la imagen espacial a través de la transformada de Fourier requiere conocimiento de la fase además de la amplitud de la imagen deformada. En los artículos originales de AST [5] y DAST, [17] se asumió que la recuperación de fase ideal mostraba el impacto útil de la transformación de deformación. Sin embargo, como se mencionó anteriormente, también se ha demostrado que la recuperación de fase y la reconstrucción de señal dependen de la relación señal a ruido (SNR). [14] La SNR finita comprometerá la calidad de la recuperación de fase y la compresión de datos. Debido a este desafío, la implementación práctica de la compresión de datos anamórfica aún no se ha logrado. Con respecto al desafío de encontrar el núcleo correcto, recientemente se informó un algoritmo. [15]
De manera similar al enfoque de reconstrucción simplificada mencionado anteriormente, recientemente también se informó sobre una implementación digital para la compresión de imágenes que utiliza deformación directa. [18] En este método alternativo de compresión de datos, las partes ricas en información de los datos se dilatan en un proceso que emula el efecto de la dispersión de velocidad de grupo en las señales temporales. Con esta operación de codificación, los datos se pueden muestrear a una velocidad menor que sin ella, incluso cuando se considera la sobrecarga en la transmisión de la información de deformación. A diferencia de la implementación anterior de la compresión por estiramiento deformación, aquí la decodificación se puede realizar sin la necesidad de recuperación de fase.
La transformación de estiramiento de fase o PST es un enfoque computacional para el procesamiento de señales e imágenes. Una de sus utilidades es la detección y clasificación de características . Tanto la transformación de estiramiento de fase como la AST transforman la imagen emulando la propagación a través de un medio difractivo con una propiedad dispersiva tridimensional diseñada (índice de refracción). La diferencia entre las dos operaciones matemáticas es que la AST utiliza la magnitud de la amplitud compleja después de la transformación, pero la transformación de estiramiento de fase emplea la fase de la amplitud compleja después de la transformación. Además, los detalles del núcleo del filtro son diferentes en los dos casos.
La transformación de estiramiento anamórfica (deformada) es una operación matemática basada en la física que reduce el ancho de banda de la señal sin aumentar proporcionalmente el tamaño de la señal, lo que proporciona una compresión del producto de ancho de banda espacial. Su implementación digital emula el efecto físico mediante una asignación no uniforme de la densidad de píxeles. Esta operación se puede utilizar como una operación de preprocesamiento que puede mejorar las técnicas de compresión de imágenes convencionales. [19]
Esta transformación con pérdida puede permitir capturar y digitalizar señales que son más rápidas que la velocidad del sensor y el digitalizador, y también minimizar el volumen de los datos generados en el proceso. La transformación hace que la señal se reforme de tal manera que las características nítidas se estiran (en el dominio de Fourier) más que las características gruesas. En el muestreo uniforme posterior, esto hace que se asignen más muestras digitales a las características espectrales nítidas donde más se necesitan, y menos a las partes dispersas del espectro donde serían redundantes. La precisión de la reconstrucción está sujeta a la relación señal/ruido y nunca será ideal.
![{\displaystyle AST\left\{{\tilde {E}}_{in}(\omega )\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }{{\tilde {E}}_{in}^{*}(\omega ){\tilde {E}}_{in}(\omega +\omega _{m})e^{j\omega _{m}\left[{\frac {\phi (\omega +\omega _{m})-\phi (\omega )}{\omega _{m}}}\right]}d\omega }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c07048bd3824291a30622d649c0f02e95f214a6e)
![{\displaystyle S_{M}(\omega _{m},T\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{\tilde {E}}_{in}^{*}(\omega ){\tilde {E}}_{in}(\omega +\omega _{m})e^{j\omega _{m}\left[{\frac {\phi (\omega +\omega _{m})-\phi (\omega )}{\omega _{m}}}\right]}e^{j\omega T}d\omega }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd8832067e0616f325e0b2ca166970cbe66776fa)
![{\displaystyle {\breve {B}}[n,m]=\left|\sum _{k_{1},k_{2}=-\infty }^{\infty }K\left[n-k_{1},m-k_{2}\right]\cdot B\left[k_{1},k_{2}\right]\right|^{N}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebfbcf1c6a7f08ae6c080bc47f4b5d56c5156b97)
![{\textstyle K[n,m]=e^{j\phi [n,m]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d364630792643a49eb75802db36c10f84bd6d1)