Dispersión de velocidad de grupo

Dependencia de la velocidad del grupo con respecto a la frecuencia

En óptica , la dispersión de velocidad de grupo (GVD) es una característica de un medio dispersivo , que se utiliza con mayor frecuencia para determinar cómo el medio afecta la duración de un pulso óptico que viaja a través de él. Formalmente, la GVD se define como la derivada de la inversa de la velocidad de grupo de la luz en un material con respecto a la frecuencia angular , ^{[1] [2]}

${\displaystyle {\text{GVD}}(\omega _{0})\equiv {\frac {\partial }{\partial \omega }}\left({\frac {1}{v_{g}(\omega )}}\right)_{\omega =\omega _{0}},}$

donde y son frecuencias angulares, y la velocidad de grupo se define como . Las unidades de dispersión de la velocidad de grupo son [tiempo] ² / [distancia], a menudo expresadas en fs ² / mm . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle v_{g}(\omega )}$ ${\displaystyle v_{g}(\omega )\equiv \partial \omega /\partial k}$

De manera equivalente, la dispersión de velocidad de grupo se puede definir en términos del vector de onda dependiente del medio de acuerdo con ${\displaystyle k(\omega )}$

${\displaystyle {\text{GVD}}(\omega _{0})\equiv \left({\frac {\partial ^{2}k}{\partial \omega ^{2}}}\right)_{\omega =\omega _{0}},}$

o en términos del índice de refracción según ${\displaystyle n(\omega )}$

${\displaystyle {\text{GVD}}(\omega _{0})\equiv {\frac {2}{c}}\left({\frac {\partial n}{\partial \omega }}\right)_{\omega =\omega _{0}}+{\frac {\omega _{0}}{c}}\left({\frac {\partial ^{2}n}{\partial \omega ^{2}}}\right)_{\omega =\omega _{0}}.}$

Aplicaciones

La dispersión de velocidad de grupo se utiliza con mayor frecuencia para estimar la cantidad de chirrido que se impondrá a un pulso de luz después de pasar a través de un material de interés:

${\displaystyle {\text{chirp}}=({\text{material thickness}})\times {\text{GVD}}(\omega _{0})\times ({\text{bandwidth}}).}$

Derivación

Una ilustración sencilla de cómo se puede utilizar la GVD para determinar el chirrido de un pulso se puede ver observando el efecto de un pulso de duración limitada por transformada que pasa a través de un medio plano de espesor d . Antes de pasar a través del medio, los desfases de todas las frecuencias se alinean en el tiempo, y el pulso se puede describir como una función del tiempo. ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle E(t)=Ae^{-{\frac {t^{2}}{4\sigma ^{2}}}}e^{-i\omega _{0}t},}$

o equivalentemente, en función de la frecuencia,

${\displaystyle E(\omega )=Be^{-{\frac {(w-w_{0})^{2}}{4(1/2\sigma )^{2}}}}}$

(los parámetros A y B son constantes de normalización). El paso a través del medio da como resultado una acumulación de fase dependiente de la frecuencia , de modo que el pulso posterior al medio se puede describir mediante ${\displaystyle \Delta \phi (\omega )=k(\omega )d}$

${\displaystyle E(\omega )=Be^{-{\frac {(w-w_{0})^{2}}{4(1/2\sigma )^{2}}}}e^{ik(\omega )d}.}$

En general, el índice de refracción y, por lo tanto , el vector de onda pueden ser una función arbitraria de , lo que dificulta la realización analítica de la transformada de Fourier inversa en el dominio del tiempo. Sin embargo, si el ancho de banda del pulso es estrecho en relación con la curvatura de , se pueden obtener buenas aproximaciones del impacto del índice de refracción reemplazando con su expansión de Taylor centrada en : ${\displaystyle n(\omega )}$ ${\displaystyle k(\omega )=n(\omega )\omega /c}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k(\omega )}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle {\frac {n(\omega )\omega }{c}}=\underbrace {\frac {n(\omega _{0})\omega _{0}}{c}} _{k(\omega _{0})}+\underbrace {\left[{\frac {n(\omega _{0})+n'(\omega _{0})\omega _{0}}{c}}\right]} _{k'(\omega _{0})}(\omega -\omega _{0})+{\frac {1}{2}}\underbrace {\left[{\frac {2n'(\omega _{0})+n''(\omega _{0})\omega _{0}}{c}}\right]} _{\text{GVD}}(\omega -\omega _{0})^{2}+\dots }$

Al truncar esta expresión e insertarla en la expresión del dominio de frecuencia post-medio se obtiene una expresión del dominio de tiempo post-medio.

${\displaystyle E_{\text{post}}(t)=A_{\text{post}}\exp \left[-{\frac {\left(t-k'(\omega _{0})d\right)^{2}}{4\left(\sigma ^{2}-i\,{\text{GVD}}\,d/2\right)}}\right]e^{i[k(\omega _{0})d-\omega _{0}t]}.}$

En equilibrio, el pulso se alarga hasta un valor de desviación estándar de intensidad de

${\displaystyle \sigma _{\text{post}}={\sqrt {\sigma ^{2}+\left[d\,{\textrm {GVD}}(\omega _{0}){\frac {1}{2\sigma }}\right]^{2}}},}$

De esta manera se valida la expresión inicial. Nótese que un pulso limitado por transformada tiene , lo que hace que sea apropiado identificar 1/(2 σ _t ) como el ancho de banda. ${\displaystyle \sigma _{\omega }\sigma _{t}=1/2}$

Derivación alternativa

Una derivación alternativa de la relación entre el chirrido del pulso y la GVD, que ilustra de manera más inmediata la razón por la que la GVD puede definirse por la derivada de la velocidad de grupo inversa, se puede resumir de la siguiente manera. Consideremos dos pulsos limitados por transformada de frecuencias portadoras y , que inicialmente se superponen en el tiempo. Después de pasar a través del medio, estos dos pulsos exhibirán un retraso de tiempo entre sus respectivos centros de envolvente de pulso, dado por ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

${\displaystyle \Delta T=d\left({\frac {1}{v_{g}(\omega _{2})}}-{\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}\right).}$

La expresión se puede aproximar como una expansión de Taylor , dando

${\displaystyle \Delta T=d\left({\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}+{\frac {\partial }{\partial \omega }}\left({\frac {1}{v_{g}(\omega ')}}\right)_{\omega '=\omega _{1}}(\omega _{2}-\omega _{1})-{\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}\right),}$

o

${\displaystyle \Delta T=d\times {\textrm {GVD}}(\omega _{1})\times (\omega _{2}-\omega _{1}).}$

A partir de aquí, es posible imaginar la ampliación de esta expresión a dos pulsos hasta un número infinito. La diferencia de frecuencia debe reemplazarse por el ancho de banda y el retardo de tiempo evoluciona hasta convertirse en el chirrido inducido. ${\displaystyle \omega _{2}-\omega _{1}}$ ${\displaystyle \Delta T}$

Dispersión por retardo de grupo

Una cantidad estrechamente relacionada pero independiente es la dispersión de retardo de grupo ( GDD ), definida de modo que la dispersión de velocidad de grupo es la dispersión de retardo de grupo por unidad de longitud. La GDD se utiliza comúnmente como parámetro para caracterizar espejos en capas, donde la dispersión de velocidad de grupo no está particularmente bien definida, pero el chirrido inducido después de rebotar en el espejo puede caracterizarse bien. Las unidades de dispersión de retardo de grupo son [tiempo] ² , a menudo expresado en fs ² .

La dispersión de retardo de grupo (GDD) de un elemento óptico es la derivada del retardo de grupo con respecto a la frecuencia angular , y también la segunda derivada de la fase óptica:

${\displaystyle D_{2}(\omega )=-{\frac {\partial T_{g}}{d\omega }}={\frac {d^{2}\phi }{d\omega ^{2}}}.}$

Es una medida de la dispersión cromática del elemento. La GDD está relacionada con el parámetro de dispersión total como ${\displaystyle D_{\text{tot}}}$

${\displaystyle D_{2}(\omega )=-{\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}D_{\text{tot}}.}$

Enlaces externos

• Base de datos en línea sobre índices de refracción
• Enciclopedia de fotónica RP
• Medición de dispersión óptica comercial con interferometría de luz blanca

Referencias

1. Boyd, Robert. W (2007). Óptica no lineal (3.ª ed.). Elsevier.
2. Paschotta, Dr. Rüdiger. "Dispersión de velocidad de grupo". Enciclopedia de física y tecnología láser . Consultado el 15 de mayo de 2016 .