En geometría, es una conjetura no resuelta de Hugo Hadwiger que cada símplex puede diseccionarse en ortoesquemas , utilizando un número de ortoesquemas acotado por una función de la dimensión del símplex. [1] Si es cierto, entonces, de manera más general, cada politopo convexo podría diseccionarse en ortoesquemas.
En este contexto, un símplex en un espacio euclidiano de dimensión 1 es la envoltura convexa de puntos que no se encuentran todos en un hiperplano común . Por ejemplo, un símplex bidimensional es simplemente un triángulo (la envoltura convexa de tres puntos en el plano) y un símplex tridimensional es un tetraedro (la envoltura convexa de cuatro puntos en el espacio tridimensional). Los puntos que forman el símplex de esta manera se denominan sus vértices .
Un ortosquema, también llamado símplex de caminos, es un tipo especial de símplex. En él, los vértices se pueden conectar mediante un camino , de modo que cada dos aristas del camino formen ángulos rectos entre sí. Un ortosquema bidimensional es un triángulo rectángulo . Un ortosquema tridimensional se puede construir a partir de un cubo encontrando un camino de tres aristas del cubo que no se encuentren todas en la misma cara cuadrada, y formando la envoltura convexa de los cuatro vértices en este camino.
Una disección de una forma (que puede ser cualquier conjunto cerrado en el espacio euclidiano) es una representación de como una unión de otras formas cuyos interiores están disjuntos entre sí . Es decir, intuitivamente, las formas en la unión no se superponen, aunque pueden compartir puntos en sus límites. Por ejemplo, un cubo puede diseccionarse en seis ortosquemas tridimensionales. Un resultado similar se aplica de manera más general: cada hipercubo o hiperrectángulo en dimensiones puede diseccionarse en ortosquemas.
La conjetura de Hadwiger es que existe una función tal que todo símplex de dimensión 1 puede diseccionarse en, como máximo, ortoesquemas. Hadwiger planteó este problema en 1956; [2] sigue sin resolverse en general, aunque se conocen casos especiales para valores pequeños de . [1]
En dos dimensiones, cada triángulo puede diseccionarse en dos triángulos rectángulos como máximo, restando una altura desde su ángulo más ancho hasta su borde más largo. [2]
En tres dimensiones, algunos tetraedros pueden diseccionarse de una manera similar, dejando caer una altura perpendicularmente desde un vértice a un punto en una cara opuesta, conectando perpendicularmente a los lados de la cara y usando las trayectorias perpendiculares de tres aristas a través y hacia un lado y luego a un vértice de la cara. [2] Sin embargo, esto no siempre funciona. En particular, existen tetraedros para los cuales ninguno de los vértices tiene alturas con un pie dentro de la cara opuesta. Usando una construcción más complicada, Lenhard (1960) demostró que cada tetraedro puede diseccionarse en un máximo de 12 ortosquemas. [3] Böhm (1980) demostró que esto es óptimo: existen tetraedros que no pueden diseccionarse en menos de 12 ortosquemas. [4] En el mismo artículo, Böhm también generalizó el resultado de Lenhard a la geometría esférica tridimensional y a la geometría hiperbólica tridimensional .
En cuatro dimensiones, se necesitan como máximo 500 ortosquemas. [5] En cinco dimensiones, se necesita nuevamente un número finito de ortosquemas, aproximadamente limitado a un máximo de 12,5 millones. Nuevamente, esto se aplica a la geometría esférica y la geometría hiperbólica, así como a la geometría euclidiana. [6]
La conjetura de Hadwiger sigue sin demostrarse para todas las dimensiones mayores que cinco. [1]
Todo politopo convexo puede ser diseccionado en símplex. Por lo tanto, si la conjetura de Hadwiger es cierta, todo politopo convexo también tendría una disección en ortosquemas. [6]
Un resultado relacionado es que cada ortoesquema puede a su vez ser diseccionado en uno o más ortoesquemas más pequeños. [7] [8] Por lo tanto, para los símplex que pueden dividirse en ortoesquemas, sus disecciones pueden tener un número arbitrariamente grande de ortoesquemas.
