Reconstrucción de imágenes binarias a partir de un pequeño número de sus proyecciones
Problema de reconstrucción tomográfica discreta para dos direcciones verticales y horizontales (izquierda), junto con su solución (no única) (derecha). La tarea consiste en colorear algunos de los puntos blancos de negro de modo que la cantidad de puntos negros en las filas y columnas coincida con los números azules.
La tomografía discreta [1] [2] se centra en el problema de la reconstrucción de imágenes binarias (o subconjuntos finitos de la red entera ) a partir de un pequeño número de sus proyecciones .
En general, la tomografía se ocupa del problema de determinar la forma y la información dimensional de un objeto a partir de un conjunto de proyecciones. Desde el punto de vista matemático, el objeto corresponde a una función y el problema planteado es reconstruir esta función a partir de sus integrales o sumas sobre subconjuntos de su dominio . En general, el problema de inversión tomográfica puede ser continuo o discreto. En la tomografía continua, tanto el dominio como el rango de la función son continuos y se utilizan integrales de línea. En la tomografía discreta, el dominio de la función puede ser discreto o continuo, y el rango de la función es un conjunto finito de números reales, generalmente no negativos. En la tomografía continua, cuando se dispone de un gran número de proyecciones, se pueden realizar reconstrucciones precisas mediante muchos algoritmos diferentes. Es típico de la tomografía discreta que solo se utilicen unas pocas proyecciones (sumas de línea). En este caso, todas las técnicas convencionales fallan. Un caso especial de tomografía discreta se ocupa del problema de la reconstrucción de una imagen binaria a partir de un pequeño número de proyecciones. El nombre de tomografía discreta se debe a Larry Shepp , quien organizó la primera reunión dedicada a este tema ( Mini-Simposio DIMACS sobre Tomografía Discreta, 19 de septiembre de 1994, Universidad Rutgers ).
Teoría
La tomografía discreta tiene fuertes conexiones con otros campos matemáticos, como la teoría de números , [3] [4] [5] las matemáticas discretas , [6] [7] [8] la teoría de la complejidad computacional [9] [10] y la combinatoria . [11] [12] [13] De hecho, varios problemas de tomografía discreta se discutieron por primera vez como problemas combinatorios. En 1957, HJ Ryser encontró una condición necesaria y suficiente para que un par de vectores sean las dos proyecciones ortogonales de un conjunto discreto. En la prueba de su teorema, Ryser también describió un algoritmo de reconstrucción, el primer algoritmo de reconstrucción para un conjunto discreto general a partir de dos proyecciones ortogonales. En el mismo año, David Gale encontró las mismas condiciones de consistencia, pero en conexión con el problema del flujo de red . [14] Otro resultado de Ryser es la definición de la operación de conmutación por la cual los conjuntos discretos que tienen las mismas proyecciones se pueden transformar entre sí.
El problema de reconstruir una imagen binaria a partir de un pequeño número de proyecciones generalmente conduce a un gran número de soluciones. Es deseable limitar la clase de soluciones posibles únicamente a aquellas que sean típicas de la clase de imágenes que contiene la imagen que se está reconstruyendo utilizando información a priori, como la convexidad o la conectividad.
Teoremas
La reconstrucción de conjuntos reticulares planos (finitos) a partir de sus rayos X unidimensionales es un problema NP-difícil si los rayos X se toman desde direcciones reticulares (ya que el problema está en P). [9]
El problema de reconstrucción es altamente inestable para (lo que significa que una pequeña perturbación de los rayos X puede llevar a reconstrucciones completamente diferentes) [15] y estable para , ver. [15] [16] [17]
En la comunidad de tomografía discreta , la coloración de una cuadrícula con colores con la restricción de que cada fila y cada columna tenga una cantidad específica de celdas de cada color se conoce como el problema del átomo. El problema es NP-hard para , ver. [10]
Una forma de tomografía discreta también constituye la base de los nonogramas , un tipo de rompecabezas lógico en el que se utiliza información sobre las filas y columnas de una imagen digital para reconstruir la imagen. [27]
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Euro DT (un sitio Wiki de Tomografía Discreta para investigadores)
Aplicación de tomografía de Christoph Dürr
Tesis doctoral sobre tomografía discreta (2012): Segmentación tomográfica y tomografía discreta para el análisis cuantitativo de datos de tomografía de transmisión