Clasificación de discontinuidades

Análisis matemático de puntos discontinuos.

Las funciones continuas son de suma importancia en matemáticas , funciones y aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Si una función no es continua en un punto de su dominio , se dice que tiene una discontinuidad allí. El conjunto de todos los puntos de discontinuidad de una función puede ser un conjunto discreto , un conjunto denso o incluso todo el dominio de la función.

La oscilación de una función en un punto cuantifica estas discontinuidades de la siguiente manera:

• en una discontinuidad removible , la distancia que separa el valor de la función es la oscilación;
• en una discontinuidad de salto , el tamaño del salto es la oscilación (asumiendo que el valor en el punto se encuentra entre estos límites de los dos lados);
• en una discontinuidad esencial , la oscilación mide la falta de existencia de un límite ; el límite es constante.

Un caso especial es si la función diverge hacia infinito o menos infinito , en cuyo caso la oscilación no está definida (en los números reales extendidos , esta es una discontinuidad removible).

Clasificación

Para cada uno de los siguientes, considere una función de valor real de una variable real definida en una vecindad del punto en el que es discontinua. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$

Discontinuidad removible

La función del ejemplo 1, una discontinuidad removible.

Considere la función por partes

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\2-x&{\text{ for }}x>1\end{cases}}}$$

El punto es una discontinuidad removible . Para este tipo de discontinuidad: ${\displaystyle x_{0}=1}$

El límite unilateral desde la dirección negativa:

$${\displaystyle L^{-}=\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)}$$

$${\displaystyle L^{+}=\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)}$$

deno ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle L=L^{-}=L^{+}.}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle x_{0}}$discontinuidad removible ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0},}$

$${\displaystyle g(x)={\begin{cases}f(x)&x\neq x_{0}\\L&x=x_{0}\end{cases}}}$$

${\displaystyle x=x_{0}.}$

El término discontinuidad removible a veces se amplía para incluir una singularidad removible , en la que los límites en ambas direcciones existen y son iguales, mientras que la función no está definida en el punto ^[a]. Este uso es un abuso de terminología porque la continuidad y discontinuidad de una función son conceptos definidos sólo para puntos en el dominio de la función. ${\displaystyle x_{0}.}$

Discontinuidad de salto

La función del ejemplo 2, una discontinuidad de salto.

Considere la función

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}}$$

Entonces, el punto es un ${\displaystyle x_{0}=1}$discontinuidad de salto .

En este caso, no existe un límite único porque los límites unilaterales, y existen y son finitos, pero no son iguales: desde entonces, el límite no existe. Entonces, se denomina discontinuidad de salto , discontinuidad de paso o discontinuidad de primer tipo . Para este tipo de discontinuidad, la función puede tener cualquier valor en ${\displaystyle L^{-}}$ ${\displaystyle L^{+}}$ ${\displaystyle L^{-}\neq L^{+},}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

discontinuidad esencial

La función del ejemplo 3, una discontinuidad esencial

Para una discontinuidad esencial, al menos uno de los dos límites unilaterales no existe en . (Observe que uno o ambos límites unilaterales pueden ser ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pm \infty }$

Considere la función

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\{\frac {1}{x-1}}&{\text{ for }}x>1.\end{cases}}}$$

Entonces, el punto es un ${\displaystyle x_{0}=1}$discontinuidad esencial .

En este ejemplo, ambos y no existen en , satisfaciendo así la condición de discontinuidad esencial. También lo es una discontinuidad esencial, una discontinuidad infinita o una discontinuidad del segundo tipo. (Esto es distinto de una singularidad esencial , que se usa a menudo cuando se estudian funciones de variables complejas ). ${\displaystyle L^{-}}$ ${\displaystyle L^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$

Suponiendo que es una función definida en un intervalo, la denotaremos por el conjunto de todas las discontinuidades de on . Por nos referiremos al conjunto de todas las que tienen una discontinuidad removible en De manera análoga, denotaremos el conjunto constituido por todas las que tienen una discontinuidad de salto . at El conjunto de todos los que tienen una discontinuidad esencial en se denotará por Por supuesto, entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle D=R\cup J\cup E.}$

Contar discontinuidades de una función.

Las dos siguientes propiedades del conjunto son relevantes en la literatura. ${\displaystyle D}$

• El conjunto de es un conjunto . El conjunto de puntos en los que una función es continua es siempre un conjunto (ver ^[2] ). ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F_{\sigma }}$ ${\displaystyle G_{\delta }}$
• Si el intervalo es monótono, entonces es, como máximo, contable y este es el teorema de Froda . ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D=J.}$

Tom Apostol ^[3] sigue parcialmente la clasificación anterior al considerar sólo discontinuidades removibles y de salto. Su objetivo es estudiar las discontinuidades de funciones monótonas, principalmente para demostrar el teorema de Froda. Con el mismo propósito, Walter Rudin ^[4] y Karl R. Stromberg ^[5] estudian también las discontinuidades removibles y de salto utilizando diferentes terminologías. Sin embargo, además, ambos autores afirman que siempre es un conjunto contable (ver ^{[6] [7]} ). ${\displaystyle R\cup J}$

El término discontinuidad esencial tiene evidencia de uso en contexto matemático ya en 1889. ^[8] Sin embargo, el primer uso del término junto con una definición matemática parece haber sido dado en el trabajo de John Klippert. ^[9] Allí, Klippert también clasificó las discontinuidades esenciales subdividiendo el conjunto en los tres conjuntos siguientes: ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle E_{1}=\left\{x_{0}\in I:\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ and }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ do not exist in }}\mathbb {R} \right\},}$$

$${\displaystyle E_{2}=\left\{x_{0}\in I:\ \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ exists in }}\mathbb {R} {\text{ and }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ does not exist in }}\mathbb {R} \right\},}$$

$${\displaystyle E_{3}=\left\{x_{0}\in I:\ \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x){\text{ does not exist in }}\mathbb {R} {\text{ and }}\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\text{ exists in }}\mathbb {R} \right\}.}$$

Por supuesto , Always se denomina discontinuidad esencial de primer tipo . Se dice de cualquier discontinuidad esencial de segundo tipo. De ahí que amplía el conjunto sin perder su característica de ser contable, al afirmar lo siguiente: ${\displaystyle E=E_{1}\cup E_{2}\cup E_{3}.}$ ${\displaystyle x_{0}\in E_{1},}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}\in E_{2}\cup E_{3}}$ ${\displaystyle R\cup J}$

• El conjunto es contable. ${\displaystyle R\cup J\cup E_{2}\cup E_{3}}$

Reescribiendo el teorema de Lebesgue

Cuando y es una función acotada, es bien conocida la importancia del conjunto con respecto a la integrabilidad de Riemann de De hecho, el teorema de Lebesgue (también llamado teorema de Lebesgue-Vitali ) establece que Riemann es integrable en si y sólo si es un conjunto con medida cero de Lebesgue. ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle D}$

En este teorema parece que todo tipo de discontinuidades tienen el mismo peso sobre la obstrucción de que una función acotada sea integrable de Riemann, ya que los conjuntos contables son conjuntos de medida cero de Lebesgue y una unión contable de conjuntos con medida cero de Lebesgue sigue siendo un conjunto de medida de Lebesgue cero, ahora estamos viendo que no es así. De hecho, las discontinuidades del conjunto son absolutamente neutrales con respecto a la integrabilidad de Riemann. Las principales discontinuidades para ese propósito son las discontinuidades esenciales de primer tipo y, en consecuencia, el teorema de Lebesgue-Vitali puede reescribirse de la siguiente manera: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b].}$ ${\displaystyle R\cup J\cup E_{2}\cup E_{3}}$ ${\displaystyle f.}$

• Una función acotada es integrable de Riemann si y sólo si el conjunto correspondiente de todas las discontinuidades esenciales del primer tipo tiene medida de Lebesgue cero. ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle f}$

El caso donde corresponden las siguientes situaciones clásicas complementarias bien conocidas de integrabilidad de Riemann de una función acotada : ${\displaystyle E_{1}=\varnothing }$ ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$

• Si tiene límite derecho en cada punto de entonces , Riemann es integrable en (ver ^[10] ) ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b[}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$
• Si tiene límite por la izquierda en cada punto de entonces , ¿Riemann es integrable en ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b].}$
• Si es una función regulada , entonces Riemann es integrable en ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b].}$

Ejemplos

La función de Thomae es discontinua en todo punto racional distinto de cero , pero continua en todo punto irracional . Se ve fácilmente que todas esas discontinuidades son eliminables. Según el primer párrafo, no existe una función que sea continua en todo punto racional , pero sí discontinua en todo punto irracional.

La función indicadora de los racionales, también conocida como función de Dirichlet , es discontinua en todas partes . Estas discontinuidades son todas esenciales también del primer tipo.

Consideremos ahora el conjunto ternario de Cantor y su función indicadora (o característica). ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset [0,1]}$

$${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x)={\begin{cases}1&x\in {\mathcal {C}}\\0&x\notin [0,1]\setminus {\mathcal {C}}.\end{cases}}}$$

Una forma de construir ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle {\mathcal {C}}:=\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}}$ ${\displaystyle C_{n}}$

$${\displaystyle C_{n}={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right){\text{ for }}n\geq 1,{\text{ and }}C_{0}=[0,1].}$$

En vista de las discontinuidades de la función supongamos un punto ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x),}$ ${\displaystyle x_{0}\not \in {\mathcal {C}}.}$

Por lo tanto existe un conjunto utilizado en la formulación de , que no contiene Es decir, pertenece a uno de los intervalos abiertos que fueron eliminados en la construcción de De esta manera, tiene una vecindad sin puntos de (De otra manera, la misma conclusión se sigue teniendo en cuenta que es un conjunto cerrado y por tanto su complementario respecto de es abierto). Por lo tanto, sólo asume el valor cero en alguna vecindad de Por lo tanto , es continua en ${\displaystyle C_{n},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle C_{n}.}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

Esto significa que el conjunto de todas las discontinuidades de en el intervalo es un subconjunto de Dado que es un conjunto incontable con medida de Lebesgue nula , también es un conjunto de medida de Lebesgue nula y, por lo tanto, en lo que respecta al teorema de Lebesgue-Vitali ^{[ desambiguación necesaria ]} es un Riemann función integrable. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$

Más precisamente, uno tiene De hecho, dado que es un conjunto no denso, si entonces ninguna vecindad de puede estar contenida en De esta manera, cualquier vecindad de contiene puntos de y puntos que no son de En términos de la función , esto significa que ambos y no existir. Es decir, donde, como antes, denotamos el conjunto de todas las discontinuidades esenciales del primer tipo de la función . ${\displaystyle D={\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \left(x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon \right)}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}\mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x)}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}1_{\mathcal {C}}(x)}$ ${\displaystyle D=E_{1},}$ ${\displaystyle E_{1},}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathcal {C}}.}$ ${\textstyle \int _{0}^{1}\mathbf {1} _{\mathcal {C}}(x)dx=0.}$

Discontinuidades de derivados

Consideremos ahora un intervalo abierto y la derivada de una función, , diferenciable en . Es decir, para cada . ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ ${\displaystyle x\in I}$

Es bien sabido que según el Teorema de Darboux la función derivada tiene la restricción de satisfacer la propiedad del valor intermedio. ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f}$Por supuesto, puede ser continuo en el intervalo . Recuerde que cualquier función continua, según el teorema de Bolzano , satisface la propiedad del valor intermedio. ${\displaystyle I}$

Por otro lado, la propiedad del valor intermedio no impide que haya discontinuidades en el intervalo . Pero el Teorema de Darboux tiene una consecuencia inmediata sobre el tipo de discontinuidades que puede tener. De hecho, si es un punto de discontinuidad de , entonces necesariamente es una discontinuidad esencial de . ^[11] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$

Esto significa en particular que no pueden darse las dos situaciones siguientes:

1. ${\displaystyle x_{0}}$es una discontinuidad removible de . ${\displaystyle f}$
2. ${\displaystyle x_{0}}$es una discontinuidad de salto de . ${\displaystyle f}$

Además, deben excluirse otras dos situaciones ( véase John Klippert ^[12] ):

3. ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\pm \infty .}$
4. ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\pm \infty .}$

Observe que siempre que se cumple una de las condiciones (i), (ii), (iii) o (iv) para alguien se puede concluir que no posee una antiderivada, , en el intervalo . ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle I}$

Por otro lado, se puede introducir un nuevo tipo de discontinuidad con respecto a cualquier función: una discontinuidad esencial, , de la función , se dice que es una discontinuidad esencial fundamental de if ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)\neq \pm \infty }$$

$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)\neq \pm \infty .}$$

Por lo tanto, si es una discontinuidad de una función derivada , entonces necesariamente es una discontinuidad esencial fundamental de . ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$

Observe también que cuando y es una función acotada, como en los supuestos del teorema de Lebesgue, tenemos para todos : ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$

$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{\pm }}f(x)\neq \pm \infty ,}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)\neq \pm \infty ,}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to b^{-}}f(x)\neq \pm \infty .}$$

${\displaystyle f}$

Ver también

• Singularidad removible  : punto indefinido en una función holomorfa que se puede regularizar
• Singularidad matemática  : punto donde una función, una curva u otro objeto matemático no se comporta regularmentePages displaying short descriptions of redirect targets
• Extensión por continuidad  : espacio topológico en el que un punto y un conjunto cerrado son, si son disjuntos, separables por vecindades.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Suavidad  – Número de derivadas de una función (matemáticas)
  • Continuidad geométrica  – Número de derivadas de una función (matemáticas)Pages displaying short descriptions of redirect targets
  • Continuidad paramétrica  – Número de derivadas de una función (matemáticas)Pages displaying short descriptions of redirect targets

Notas

1. Véase, por ejemplo, la última frase de la definición dada en Mathwords. ^[1]

Referencias

1. "Mathwords: discontinuidad removible".
2. Stromberg, Karl R. (2015). Una introducción al análisis real clásico . Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 120. Éx. 3c). ISBN 978-1-4704-2544-9.
3. Apóstol, Tom (1974). Análisis matemático (segunda ed.). Addison y Wesley. págs.92, sec. 4.22, sec. 4.23 y ej. 4.63. ISBN 0-201-00288-4.
4. Walter, Rudin (1976). Principios del análisis matemático (tercera ed.). McGraw-Hill. págs.94, def. 4.26, Thms. 4.29 y 4.30. ISBN 0-07-085613-3.
5. Stromberg, Karl R. Op. cit . págs.128, def. 3,87, Thm. 3,90.
6. Walter, Rudin. op. cit . págs.100, ej. 17.
7. Stromberg, Karl R. Op. cit . págs. 131, éx. 3.
8. Whitney, William Dwight (1889). The Century Dictionary: un léxico enciclopédico del idioma inglés. vol. 2. Londres y Nueva York: T. Fisher Unwin y The Century Company. pag. 1652.ISBN​ 9781334153952. Archivado desde el original el 16 de diciembre de 2008. Una discontinuidad esencial es una discontinuidad en la que el valor de la función se vuelve completamente indeterminable.
9. Klippert, John (febrero de 1989). "Cálculo avanzado avanzado: conteo de las discontinuidades de una función de valor real con dominio de intervalo". Revista Matemáticas . 62 : 43–48. doi :10.1080/0025570X.1989.11977410 – vía JSTOR.
10. Metzler, RC (1971). "Sobre la integrabilidad de Riemann". Mensual Matemático Estadounidense . 78 (10): 1129-1131. doi :10.1080/00029890.1971.11992961.
11. Rudin, Walter. Op.cit . págs. 109, Corolario.
12. Klippert, John (2000). "Sobre una discontinuidad de un derivado". Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología . 31: T2: 282–287. doi :10.1080/00207390050032252.

Fuentes

• Malik, Carolina del Sur; Arora, Savita (1992). Análisis matemático (2ª ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 0-470-21858-4.

enlaces externos

• "Discontinuo". PlanetMath .
• "Discontinuidad" de Ed Pegg, Jr. , The Wolfram Demonstrations Project , 2007.
• Weisstein, Eric W. "Discontinuidad". MundoMatemático .
• Kudryavtsev, LD (2001) [1994]. "Punto de discontinuidad". Enciclopedia de Matemáticas . Prensa EMS .