Coseno direccional

Cosines of the angles between the vector and the three coordinate axes.

En geometría analítica , los cosenos directores (o cosenos direccionales ) de un vector son los cosenos de los ángulos entre el vector y los tres ejes de coordenadas positivos. Equivalentemente, son las contribuciones de cada componente de la base a un vector unitario en esa dirección .

Coordenadas cartesianas tridimensionales

Vector v en R ³

Cosenos directores y ángulos directores del vector unitario v /| v |

Si v es un vector euclidiano en el espacio euclidiano tridimensional , R ³ ,

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}\mathbf {e} _{x}+v_{y}\mathbf {e} _{y}+v_{z}\mathbf {e} _{z},}$

donde e _x , e _y , e _z son la base estándar en notación cartesiana, entonces los cosenos directores son

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\alpha &{}=\cos a={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{x}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{x}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\\beta &{}=\cos b={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{y}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{y}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\\gamma &{}=\cos c={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{z}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{z}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}.\end{alignedat}}}$

De ello se deduce que elevando al cuadrado cada ecuación y sumando los resultados

${\displaystyle \cos ^{2}a+\cos ^{2}b+\cos ^{2}c=\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1.}$

Aquí α , β y γ son los cosenos directores y las coordenadas cartesianas del vector unitario v /| v |, y a , b y c son los ángulos directores del vector v .

Los ángulos directores a , b y c son ángulos agudos u obtusos , es decir, 0 ≤ a ≤ π, 0 ≤ b ≤ π y 0 ≤ c ≤ π , y denotan los ángulos formados entre v y los vectores base unitarios, e _x , e _y y e _z .

Significado general

En términos más generales, el coseno de dirección se refiere al coseno del ángulo entre dos vectores cualesquiera . Son útiles para formar matrices de cosenos de dirección que expresan un conjunto de vectores de base ortonormales en términos de otro conjunto, o para expresar un vector conocido en una base diferente. En términos simples, los cosenos de dirección brindan un método fácil para representar la dirección de un vector en un sistema de coordenadas cartesianas.

Aplicaciones

Determinación de ángulos entre dos vectores

Si los vectores u y v tienen cosenos directores ( α _u , β _u , γ _u ) y ( α _v , β _v , γ _v ) respectivamente, con un ángulo θ entre ellos, sus vectores unitarios son,

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {\hat {u}} &={\frac {1}{\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}}}}\left(u_{x}\mathbf {e} _{x}+u_{y}\mathbf {e} _{y}+u_{z}\mathbf {e} _{z}\right)=\alpha _{u}\mathbf {e} _{x}+\beta _{u}\mathbf {e} _{y}+\gamma _{u}\mathbf {e} _{z}\\\mathbf {\hat {v}} &={\frac {1}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}\left(v_{x}\mathbf {e} _{x}+v_{y}\mathbf {e} _{y}+v_{z}\mathbf {e} _{z}\right)=\alpha _{v}\mathbf {e} _{x}+\beta _{v}\mathbf {e} _{y}+\gamma _{v}\mathbf {e} _{z}.\end{alignedat}}}$

Tomando el producto escalar de estos dos vectores unitarios obtenemos,

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {{\hat {u}}\cdot {\hat {v}}} &=\alpha _{u}\alpha _{v}+\beta _{u}\beta _{v}+\gamma _{u}\gamma _{v}=\cos \theta ,\end{alignedat}}}$

donde θ es el ángulo entre los dos vectores unitarios, y también es el ángulo entre u y v .

Como θ es un ángulo geométrico y nunca es negativo, solo se toma el valor positivo del producto escalar, lo que nos da el resultado final,

${\displaystyle \theta \ =\arccos \left(\alpha _{u}\alpha _{v}+\beta _{u}\beta _{v}+\gamma _{u}\gamma _{v}\right).}$

Véase también

• Tensor cartesiano
• Ángulos de Euler

Referencias

• Kay, DC (1988). Cálculo tensorial . Esquemas de Schaum. McGraw-Hill. págs. 18-19. ISBN 0-07-033484-6.
• Spiegel, señor; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Análisis vectorial . Esquemas de Schaum (2ª ed.). McGraw-Hill. págs.15, 25. ISBN 978-0-07-161545-7.
• Tyldesley, JR (1975). Introducción al análisis tensorial para ingenieros y científicos aplicados. Longman. pág. 5. ISBN 0-582-44355-5.
• Tang, KT (2006). Métodos matemáticos para ingenieros y científicos . Vol. 2. Springer. pág. 13. ISBN 3-540-30268-9.
• Weisstein, Eric W. "Coseno direccional". MathWorld .