Método de rigidez directa

Como uno de los métodos de análisis estructural , el método de rigidez directa , también conocido como método de rigidez de la matriz , es particularmente adecuado para el análisis automatizado por computadora de estructuras complejas, incluido el tipo estáticamente indeterminado . Es un método matricial que utiliza las relaciones de rigidez de los miembros para calcular las fuerzas y los desplazamientos de los miembros en las estructuras. El método de rigidez directa es la implementación más común del método de elementos finitos (FEM). Al aplicar el método, el sistema debe modelarse como un conjunto de elementos idealizados más simples interconectados en los nodos. Las propiedades de rigidez del material de estos elementos se compilan luego, mediante matemáticas matriciales , en una única ecuación matricial que gobierna el comportamiento de toda la estructura idealizada. Los desplazamientos y fuerzas desconocidos de la estructura se pueden determinar resolviendo esta ecuación. El método de rigidez directa forma la base de la mayoría del software de elementos finitos comercial y gratuito.

El método de rigidez directa se originó en el campo de la industria aeroespacial . Los investigadores estudiaron diversos enfoques para el análisis de estructuras complejas de aviones. Estos incluían la teoría de la elasticidad , los principios energéticos en la mecánica estructural , el método de la flexibilidad y el método de la rigidez de la matriz . Fue a través del análisis de estos métodos que el método de rigidez directa surgió como un método eficiente idealmente adecuado para la implementación en computadora.

Historia

Entre 1934 y 1938 AR Collar y WJ Duncan publicaron los primeros artículos con la representación y terminología de los sistemas matriciales que se utilizan en la actualidad. La investigación aeroelástica continuó durante la Segunda Guerra Mundial, pero las restricciones de publicación de 1938 a 1947 hicieron que este trabajo fuera difícil de rastrear. El segundo gran avance en el análisis estructural matricial se produjo entre 1954 y 1955, cuando el profesor John H. Argyris sistematizó el concepto de ensamblar componentes elementales de una estructura en un sistema de ecuaciones. Finalmente, el 6 de noviembre de 1959, MJ Turner, jefe de la Unidad de Dinámica Estructural de Boeing , publicó un artículo en el que describía el método de rigidez directa como un modelo eficiente para la implementación informática (Felippa 2001).

Relaciones de rigidez de miembros

Una relación típica de rigidez de un miembro tiene la siguiente forma general:

dónde

m = número de miembro m .

${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}}$= vector de las fuerzas características del miembro, que son fuerzas internas desconocidas.

${\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}$= matriz de rigidez del miembro que caracteriza la resistencia del miembro contra las deformaciones.

${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$= vector de desplazamientos o deformaciones características del miembro.

${\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}$= vector de las fuerzas características del miembro causadas por efectos externos (como fuerzas conocidas y cambios de temperatura) aplicados al miembro mientras . ${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}=0}$

Si son deformaciones del miembro en lugar de desplazamientos absolutos, entonces son fuerzas independientes del miembro, y en tal caso (1) se puede invertir para producir la llamada matriz de flexibilidad del miembro , que se utiliza en el método de flexibilidad . ${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}}$

Relación de rigidez del sistema

Para un sistema con muchos miembros interconectados en puntos llamados nodos, las relaciones de rigidez de los miembros, como la ecuación (1), se pueden integrar haciendo uso de las siguientes observaciones:

• Las deformaciones de los miembros se pueden expresar en términos de desplazamientos nodales del sistema r para asegurar la compatibilidad entre los miembros. Esto implica que r serán las principales incógnitas. ${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$
• Las fuerzas de los miembros ayudan a mantener los nodos en equilibrio bajo las fuerzas nodales R. Esto implica que el lado derecho de (1) se integrará en el lado derecho de las siguientes ecuaciones de equilibrio nodal para todo el sistema: ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {R} }$= vector de fuerzas nodales, que representa fuerzas externas aplicadas a los nodos del sistema.

${\displaystyle \mathbf {K} }$= matriz de rigidez del sistema, que se establece ensamblando las matrices de rigidez de los miembros . ${\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}$

${\displaystyle \mathbf {r} }$= vector de desplazamientos nodales del sistema que puede definir todas las posibles configuraciones deformadas del sistema sujetas a fuerzas nodales arbitrarias R .

${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}$= vector de fuerzas nodales equivalentes, que representa todos los efectos externos distintos de las fuerzas nodales que ya están incluidas en el vector de fuerzas nodales anterior R. Este vector se establece ensamblando los miembros . ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}$

Solución

La matriz de rigidez del sistema K es cuadrada ya que los vectores R y r tienen el mismo tamaño. Además, es simétrico porque es simétrico. Una vez que se tienen en cuenta las restricciones de los soportes en (2), los desplazamientos nodales se encuentran resolviendo el sistema de ecuaciones lineales (2), simbólicamente: ${\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}$

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {K} ^{-1}(\mathbf {R} -\mathbf {R} ^{o})\qquad \qquad \qquad \mathrm {(3)} }$

Posteriormente, las fuerzas características de los miembros se pueden encontrar a partir de la ecuación (1), donde se pueden encontrar a partir de r mediante consideración de compatibilidad. ${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$

El método de rigidez directa.

Es común tener la ecuación (1) en una forma donde y son, respectivamente, los desplazamientos y fuerzas de los extremos del miembro que coinciden en dirección con r y R. En tal caso, y se puede obtener mediante suma directa de las matrices de los miembros y . El método se conoce entonces como método de rigidez directa. ${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}$

Las ventajas y desventajas del método de rigidez de la matriz se comparan y analizan en el artículo sobre el método de flexibilidad .

Ejemplo

Descomponer

El primer paso al utilizar el método de rigidez directa es identificar los elementos individuales que componen la estructura.

Una vez identificados los elementos, la estructura se desconecta en los nodos, puntos que conectan los diferentes elementos entre sí.

Luego, cada elemento se analiza individualmente para desarrollar ecuaciones de rigidez de miembros. Las fuerzas y desplazamientos están relacionados a través de la matriz de rigidez del elemento que depende de la geometría y propiedades del elemento.

Un elemento de celosía sólo puede transmitir fuerzas en compresión o tensión. Esto significa que en dos dimensiones, cada nodo tiene dos grados de libertad (DOF): desplazamiento horizontal y vertical. La ecuación resultante contiene una matriz de rigidez de cuatro por cuatro.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}&k_{14}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}&k_{24}\\k_{31}&k_{32}&k_{33}&k_{34}\\k_{41}&k_{42}&k_{43}&k_{44}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\end{bmatrix}}}$

Un elemento de marco es capaz de soportar momentos de flexión además de compresión y tensión. Esto da como resultado tres grados de libertad: desplazamiento horizontal, desplazamiento vertical y rotación en el plano. La matriz de rigidez en este caso es de seis por seis.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\m_{z1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\m_{z2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}&k_{14}&k_{15}&k_{16}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}&k_{24}&k_{25}&k_{26}\\k_{31}&k_{32}&k_{33}&k_{34}&k_{35}&k_{36}\\k_{41}&k_{42}&k_{43}&k_{44}&k_{45}&k_{46}\\k_{51}&k_{52}&k_{53}&k_{54}&k_{55}&k_{56}\\k_{61}&k_{62}&k_{63}&k_{64}&k_{65}&k_{66}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\\theta _{z1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\theta _{z2}\\\end{bmatrix}}}$

También se pueden incorporar otros elementos, como placas y carcasas, al método de rigidez directa y se deben desarrollar ecuaciones similares.

Asamblea

Una vez que se han desarrollado las relaciones de rigidez de los elementos individuales, se deben ensamblar en la estructura original. El primer paso en este proceso es convertir las relaciones de rigidez de los elementos individuales en un sistema global para toda la estructura. En el caso de un elemento de celosía, la forma global del método de rigidez depende del ángulo del elemento con respecto al sistema de coordenadas global (este sistema suele ser el sistema de coordenadas cartesiano tradicional ).

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\\end{bmatrix}}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}c^{2}&sc&-c^{2}&-sc\\sc&s^{2}&-sc&-s^{2}\\-c^{2}&-sc&c^{2}&sc\\-sc&-s^{2}&sc&s^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\end{bmatrix}}{\begin{array}{r }s=\sin \beta \\c=\cos \beta \\\end{array}}}$(para un elemento de armadura en ángulo β) De manera equivalente, ${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\\hline f_{x2}\\f_{y2}\end{bmatrix}}={\frac {EA}{L}}\left[{\begin{array}{c c|c c}c_{x}c_{x}&c_{x}c_{y}&-c_{x}c_{x}&-c_{x}c_{y}\\c_{y}c_{x}&c_{y}c_{y}&-c_{y}c_{x}&-c_{y}c_{y}\\\hline -c_{x}c_{x}&-c_{x}c_{y}&c_{x}c_{x}&c_{x}c_{y}\\-c_{y}c_{x}&-c_{y}c_{y}&c_{y}c_{x}&c_{y}c_{y}\\\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\\hline u_{x2}\\u_{y2}\end{bmatrix}}}$

donde y son los cosenos directores del elemento de celosía (es decir, son componentes de un vector unitario alineado con el miembro). Esta forma revela cómo generalizar la rigidez del elemento a armaduras espaciales tridimensionales simplemente extendiendo el patrón que es evidente en esta formulación. ${\displaystyle c_{x}}$ ${\displaystyle c_{y}}$

Después de desarrollar la matriz de rigidez del elemento en el sistema de coordenadas global, se deben fusionar en una única matriz de rigidez "maestra" o "global". Al fusionar estas matrices, se deben seguir dos reglas: compatibilidad de desplazamientos y equilibrio de fuerzas en cada nodo. Estas reglas se mantienen al relacionar los desplazamientos nodales de los elementos con los desplazamientos nodales globales.

Los vectores de fuerza y ​​desplazamiento global contienen cada uno una entrada para cada grado de libertad en la estructura. Las matrices de rigidez de los elementos se fusionan aumentando o expandiendo cada matriz en conformación con los vectores de carga y desplazamiento global.

${\displaystyle k^{(1)}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}1&0&-1&0\\0&0&0&0\\-1&0&1&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\rightarrow K^{(1)}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}1&0&-1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}$(para el elemento (1) de la estructura anterior)

Finalmente, la matriz de rigidez global se construye sumando las matrices de elementos expandidos individuales.

Solución

Una vez que se han construido la matriz de rigidez global, el vector de desplazamiento y el vector de fuerza, el sistema se puede expresar como una ecuación matricial única.

Para cada grado de libertad en la estructura, se conoce el desplazamiento o la fuerza.

Después de insertar el valor conocido para cada grado de libertad, la ecuación maestra de rigidez está completa y lista para ser evaluada. Hay varios métodos diferentes disponibles para evaluar una ecuación matricial que incluyen, entre otros, la descomposición de Cholesky y la evaluación de fuerza bruta de sistemas de ecuaciones. Si una estructura no está restringida adecuadamente, la aplicación de una fuerza hará que se mueva rígidamente y se deberán agregar condiciones de soporte adicionales.

El método descrito en esta sección pretende ser una descripción general del método de rigidez directa. Se deben consultar fuentes adicionales para obtener más detalles sobre el proceso, así como las suposiciones sobre las propiedades del material inherentes al proceso.

Aplicaciones

El método de rigidez directa fue desarrollado específicamente para implementarse de manera efectiva y sencilla en software de computadora para evaluar estructuras complicadas que contienen una gran cantidad de elementos. Hoy en día, casi todos los solucionadores de elementos finitos disponibles se basan en el método de rigidez directa. Si bien cada programa utiliza el mismo proceso, muchos se han simplificado para reducir el tiempo de cálculo y la memoria requerida. Para lograr esto, se han desarrollado atajos.

Una de las áreas más importantes para utilizar el método de rigidez directa es el campo del análisis estructural, donde este método se ha incorporado al software de modelado. El software permite a los usuarios modelar una estructura y, después de que el usuario define las propiedades materiales de los elementos, el programa genera automáticamente relaciones entre elementos y rigidez global. Cuando se aplican varias condiciones de carga, el software evalúa la estructura y genera las deflexiones para el usuario.

Ver también

• método de elementos finitos
• Método de elementos finitos en mecánica estructural.
• Análisis estructural
• Método de flexibilidad
• Lista de paquetes de software de elementos finitos

Enlaces externos

• Aplicación del método de rigidez directa a un sistema de resorte 1-D
• Análisis estructural matricial
• Animaciones de simulaciones de análisis de rigidez

Referencias

• Felippa, Carlos A. (2001), "Un esquema histórico del análisis estructural matricial: una obra de teatro en tres actos" (PDF) , Computers & Structures , 79 (14): 1313–1324, doi :10.1016/S0045-7949(01 )00025-6, ISSN  0045-7949, archivado desde el original (PDF) el 29 de junio de 2007 , consultado el 5 de octubre de 2005
• Felippa, Carlos A. Introducción al Método de los Elementos Finitos. Otoño de 2001. Universidad de Colorado. 18 de septiembre de 2005
• Robinson, Juan. Análisis de matrices estructurales para el ingeniero. Nueva York: John Wiley & Sons, 1966
• Rubinstein, Moshe F. Análisis matricial de estructuras por computadora. Nueva Jersey: Prentice-Hall, 1966
• McGuire, W., Gallagher, RH y Ziemian, RD Matrix Structural Analysis, 2ª ed. Nueva York: John Wiley & Sons, 2000.