En matemáticas , el teorema de dimensión de los espacios vectoriales establece que todas las bases de un espacio vectorial tienen la misma cantidad de elementos. Este número de elementos puede ser finito o infinito (en este último caso, es un número cardinal ) y define la dimensión del espacio vectorial.
Formalmente, el teorema de dimensión para espacios vectoriales establece que:
Como base se tiene un grupo electrógeno que es linealmente independiente , el teorema de la dimensión es una consecuencia del siguiente teorema , que también es útil:
En particular, si V es finitamente generado , entonces todas sus bases son finitas y tienen el mismo número de elementos.
Mientras que la prueba de la existencia de una base para cualquier espacio vectorial en el caso general requiere el lema de Zorn y de hecho es equivalente al axioma de elección , la unicidad de la cardinalidad de la base requiere solo el lema del ultrafiltro , [1] que es estrictamente más débil (la prueba dada a continuación, sin embargo, supone tricotomía , es decir, que todos los números cardinales son comparables, una afirmación que también es equivalente al axioma de elección). El teorema se puede generalizar a R -módulos arbitrarios para anillos R que tienen número de base invariante .
En el caso finitamente generado, la prueba utiliza sólo argumentos elementales del álgebra y no requiere el axioma de elección ni sus variantes más débiles.
Sea V un espacio vectorial, { a i : i ∈ I } un conjunto linealmente independiente de elementos de V y { b j : j ∈ J } un conjunto generador . Hay que demostrar que la cardinalidad de I no es mayor que la de J .
Si J es finito, esto resulta del lema de intercambio de Steinitz . (De hecho, el lema de intercambio de Steinitz implica que cada subconjunto finito de I tiene una cardinalidad no mayor que la de J , por lo tanto I es finito con una cardinalidad no mayor que la de J .) Si J es finito, también es posible una prueba basada en la teoría de matrices . [2]
Supongamos que J es infinito. Si I es finito, no hay nada que demostrar. Por lo tanto, podemos suponer que I también es infinito. Supongamos que la cardinalidad de I es mayor que la de J. [nota 1] Tenemos que demostrar que esto conduce a una contradicción.
Por el lema de Zorn , todo conjunto linealmente independiente está contenido en un conjunto linealmente independiente maximal K. Esta maximalidad implica que K abarca V y, por lo tanto, es una base (la maximalidad implica que cada elemento de V depende linealmente de los elementos de K y, por lo tanto, es una combinación lineal de elementos de K ). Como la cardinalidad de K es mayor o igual que la cardinalidad de I , se puede reemplazar { a i : i ∈ I } por K , es decir, se puede suponer, sin pérdida de generalidad, que { a i : i ∈ I } es una base.
Por lo tanto, cada b j puede escribirse como una suma finita donde es un subconjunto finito de Como J es infinito, tiene la misma cardinalidad que J . [nota 1] Por lo tanto tiene cardinalidad menor que la de I . Por lo tanto, hay algún que no aparece en ningún . El correspondiente puede expresarse como una combinación lineal finita de s, que a su vez puede expresarse como una combinación lineal finita de s, que no involucra a . Por lo tanto, es linealmente dependiente del otro s, lo que proporciona la contradicción deseada.
Esta aplicación del teorema de la dimensión a veces se denomina a sí misma teorema de la dimensión . Sea
sea una transformación lineal . Entonces
es decir, la dimensión de U es igual a la dimensión del rango de la transformación más la dimensión del núcleo . Véase el teorema de rango-nulidad para una explicación más completa.
