Control digital

El control digital es una rama de la teoría del control que utiliza computadoras digitales para actuar como controladores del sistema. Dependiendo de los requisitos, un sistema de control digital puede tomar la forma de un microcontrolador , un ASIC o una computadora de escritorio estándar. Dado que una computadora digital es un sistema discreto , la transformada de Laplace se reemplaza por la transformada Z. Dado que una computadora digital tiene una precisión finita ( ver cuantificación ), se necesita un cuidado adicional para garantizar que el error en los coeficientes, la conversión de analógico a digital , la conversión de digital a analógico , etc. no produzcan efectos no deseados o no planificados.

Desde la creación del primer ordenador digital a principios de la década de 1940 el precio de los ordenadores digitales ha bajado considerablemente, lo que los ha convertido en piezas clave para los sistemas de control porque son fáciles de configurar y reconfigurar a través de software, pueden escalar hasta los límites de la memoria o espacio de almacenamiento sin coste extra, los parámetros del programa pueden cambiar con el tiempo ( Ver control adaptativo ) y los ordenadores digitales son mucho menos propensos a las condiciones ambientales que los condensadores , inductores , etc.

Implementación de un controlador digital

Un controlador digital suele estar conectado en cascada con la planta en un sistema de retroalimentación. El resto del sistema puede ser digital o analógico.

Normalmente, un controlador digital requiere:

Conversión de analógico a digital para convertir entradas analógicas a formato legible por máquina (digital)
Conversión de digital a analógico para convertir salidas digitales a un formato que pueda introducirse en una planta (analógico)
Un programa que relaciona las salidas con las entradas.

Programa de salida

Las salidas del controlador digital son funciones de las muestras de entrada actuales y pasadas, así como de las muestras de salida pasadas; esto se puede implementar almacenando los valores de entrada y salida relevantes en registros. La salida se puede formar entonces mediante una suma ponderada de estos valores almacenados.

Los programas pueden adoptar numerosas formas y realizar muchas funciones.

Un filtro digital para filtrado de paso bajo
Un modelo de espacio de estados de un sistema que actúa como observador de estados
Un sistema de telemetría

Estabilidad

Aunque un controlador puede ser estable cuando se implementa como un controlador analógico, podría ser inestable cuando se implementa como un controlador digital debido a un intervalo de muestreo grande. Durante el muestreo, el aliasing modifica los parámetros de corte. Por lo tanto, la frecuencia de muestreo caracteriza la respuesta transitoria y la estabilidad del sistema compensado, y debe actualizar los valores en la entrada del controlador con la frecuencia suficiente para no causar inestabilidad.

Al sustituir la frecuencia en el operador z, los criterios de estabilidad regulares siguen aplicándose a los sistemas de control discretos. Los criterios de Nyquist se aplican a las funciones de transferencia del dominio z y son generales para las funciones de valores complejos. Los criterios de estabilidad de Bode se aplican de manera similar. El criterio de Jury determina la estabilidad del sistema discreto en relación con su polinomio característico.

Diseño de controlador digital en dominio s

El controlador digital también puede diseñarse en el dominio s (continuo). La transformación de Tustin puede transformar el compensador continuo en el compensador digital correspondiente. El compensador digital logrará una salida que se aproxima a la salida de su respectivo controlador analógico a medida que se reduce el intervalo de muestreo.

$s={\frac {2(z-1)}{T(z+1)}}$

Deducción de la transformación de Tustin

Tustin es la aproximación de Padé _(1,1) de la función exponencial : ${\begin{aligned}z&=e^{sT}\end{aligned}}$

{\begin{aligned}z&=e^{sT}\\&={\frac {e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}}\\&\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\end{aligned}}

Y su inversa

{\begin{aligned}s&={\frac {1}{T}}\ln(z)\\&={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+{\frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\cdots \right]\\&\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\\&={\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\end{aligned}}

La teoría del control digital es la técnica para diseñar estrategias en tiempo discreto, (y/o) amplitud cuantificada (y/o) en forma codificada (binaria) para ser implementadas en sistemas informáticos (microcontroladores, microprocesadores) que controlarán la dinámica analógica (continua en tiempo y amplitud) de sistemas analógicos. A partir de esta consideración se identificaron y solucionaron muchos errores del control digital clásico y se propusieron nuevos métodos:

Marcelo Tredinnick y Marcelo Souza y su nuevo tipo de mapeo analógico-digital ^[1]^[2]^[3]
Yutaka Yamamoto y su “modelo espacial de función elevadora” ^[4]
Alexander Sesekin y sus estudios sobre sistemas impulsivos. ^[5]
MU Akhmetov y sus estudios sobre el control de los impulsos y del pulso ^[6]

Diseño de controlador digital en dominio z

El controlador digital también puede diseñarse en el dominio z (discreto). La función de transferencia de pulsos (PTF) representa el punto de vista digital del proceso continuo cuando se interconecta con el conversor analógico-digital (ADC) y el conversor analógico-digital (DAC) adecuados, y para un tiempo de muestra especificado se obtiene como: ^[7] $G(z)$ $G(s)$ $T$

$G(z)={\frac {B(z)}{A(z)}}={\frac {(z-1)}{z}}Z{\biggl (}{\frac {G(s)}{s}}{\Biggr )}$

Donde denota la transformada z para el tiempo de muestra elegido . Hay muchas formas de diseñar directamente un controlador digital para lograr una especificación dada. ^[7] Para un sistema de tipo 0 bajo control de retroalimentación negativa unitaria, Michael Short y sus colegas han demostrado que un método relativamente simple pero efectivo para sintetizar un controlador para un polinomio denominador de bucle cerrado ( mónico ) dado y preservar los ceros (escalados) del numerador PTF es usar la ecuación de diseño: ^[8] $Z()$ $T$ $D(z)$ $P(z)$ $B(z)$

$D(z)={\frac {k_{p}A(z)}{P(z)-k_{p}B(z)}}$

Donde el término escalar garantiza que el controlador exhiba una acción integral y se logre una ganancia de estado estable de la unidad en el circuito cerrado. La función de transferencia discreta de circuito cerrado resultante de la transformada z de la entrada de referencia a la transformada z de la salida del proceso se da entonces por: ^[8] $k_{p}=P(1)/B(1)$ $D(z)$ $R(z)$ $Y(z)$

${\frac {Y(z)}{R(z)}}={\frac {k_{p}B(z)}{P(z)}}$

Dado que el retraso en el tiempo del proceso se manifiesta como coeficientes principales de cero en el numerador PTF del proceso , el método de síntesis anterior produce inherentemente un controlador predictivo si dicho retraso está presente en la planta continua. ^[8] $B(z)$

Véase también

Referencias

^ http://mtc-m18.sid.inpe.br/col/sid.inpe.br/mtc-m18@80/2008/03.17.15.17.24/doc/mirrorget.cgi?languagebutton=pt-BR&metadatarepository=sid .inpe.br/mtc-m18@80/2009/02.09.14.45.33&index=0&choice=full
^ "Copia archivada" (PDF) . mtc-m05.sid.inpe.br . Archivado desde el original (PDF) el 6 de julio de 2011 . Consultado el 12 de enero de 2022 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
^ "Un enfoque analítico para el diseño de controladores discretos utilizando un nuevo mapeo SZ con dos parámetros de ajuste". www.sae.org . Archivado desde el original el 13 de enero de 2013 . Consultado el 27 de enero de 2022 .
^ "Copia archivada" (PDF) . wiener.kuamp.kyoto-u.ac.jp . Archivado desde el original (PDF) el 22 de julio de 2011 . Consultado el 12 de enero de 2022 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
^ Zavalishchin, ST; Sesekin, AN (28 de febrero de 1997). Sistemas de impulso dinámico: teoría y aplicaciones . Springer. ISBN 0792343948.
^ "Copia archivada". Archivado desde el original el 24 de marzo de 2022. Consultado el 20 de marzo de 2009 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
^ de Åström, Karl J.; Wittenmark, Björn (13 de junio de 2013). Sistemas controlados por computadora: teoría y diseño, tercera edición. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-28404-0.
^ abc Short, Michael; Abugchem, Fathi; Abrar, Usama (11 de febrero de 2015). "Control confiable para sistemas de control distribuido inalámbrico". Electrónica . 4 (4): 857–878. doi : 10.3390/electronics4040857 .

FRANKLIN, GF; POWELL, JD, Emami-Naeini, A., Control digital de sistemas dinámicos, 3.ª edición (1998). Ellis-Kagle Press, Half Moon Bay, CA ISBN 978-0-9791226-1-3
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PHILLIPS, CL; NAGLE, HT Análisis y diseño de sistemas de control digital. Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall International. 1995.
M. Sami Fadali, Antonio Visioli, (2009) "Ingeniería de control digital", Academic Press, ISBN 978-0-12-374498-2 .
JURADO, EI Sistemas de control de datos muestreados. Nueva York: John Wiley. 1958.