Diferenciación logarítmica

Método de diferenciación matemática

En cálculo , la diferenciación logarítmica o diferenciación mediante logaritmos es un método utilizado para diferenciar funciones empleando la derivada logarítmica de una función f , ^[1] $${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad \implies \quad f'=f\cdot (\ln f)'.}$$

La técnica se realiza a menudo en casos en los que es más fácil diferenciar el logaritmo de una función en lugar de la función en sí. Esto suele ocurrir en casos en los que la función de interés está compuesta por un producto de varias partes, de modo que una transformación logarítmica la convertirá en una suma de partes separadas (que es mucho más fácil de diferenciar). También puede ser útil cuando se aplica a funciones elevadas a la potencia de variables o funciones. La diferenciación logarítmica se basa en la regla de la cadena, así como en las propiedades de los logaritmos (en particular, el logaritmo natural o el logaritmo en base e ) para transformar productos en sumas y divisiones en restas. ^{[2] [3]} El principio se puede implementar, al menos en parte, en la diferenciación de casi todas las funciones diferenciables , siempre que estas funciones sean distintas de cero.

Descripción general

El método se utiliza porque las propiedades de los logaritmos proporcionan vías para simplificar rápidamente funciones complicadas que se van a diferenciar. ^[4] Estas propiedades se pueden manipular después de tomar los logaritmos naturales en ambos lados y antes de la diferenciación preliminar. Las leyes de logaritmos más utilizadas son ^[3] $${\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\qquad \ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b),\qquad \ln(a^{n})=n\ln(a).}$$

Derivadas de orden superior

Utilizando la fórmula de Faà di Bruno , la derivada logarítmica de orden n es, Utilizando esto, las primeras cuatro derivadas son, $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\ln f(x)=\sum _{m_{1}+2m_{2}+\cdots +nm_{n}=n}{\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot {\frac {(-1)^{m_{1}+\cdots +m_{n}-1}(m_{1}+\cdots +m_{n}-1)!}{f(x)^{m_{1}+\cdots +m_{n}}}}\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {f^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\ln f(x)&={\frac {f''(x)}{f(x)}}-\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{2}\\[1ex]{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}\ln f(x)&={\frac {f^{(3)}(x)}{f(x)}}-3{\frac {f'(x)f''(x)}{f(x)^{2}}}+2\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{3}\\[1ex]{\frac {d^{4}}{dx^{4}}}\ln f(x)&={\frac {f^{(4)}(x)}{f(x)}}-4{\frac {f'(x)f^{(3)}(x)}{f(x)^{2}}}-3\left({\frac {f''(x)}{f(x)}}\right)^{2}+12{\frac {f'(x)^{2}f''(x)}{f(x)^{3}}}-6\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)^{4}\end{aligned}}}$$

Aplicaciones

Productos

Se aplica un logaritmo natural a un producto de dos funciones para transformar el producto en una suma. Al diferenciar mediante la aplicación de las reglas de cadena y de suma se obtiene y, después de reorganizar, se obtiene ^[5], que es la regla del producto para derivadas. $${\displaystyle f(x)=g(x)h(x)}$$ $${\displaystyle \ln(f(x))=\ln(g(x)h(x))=\ln(g(x))+\ln(h(x)).}$$ $${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}},}$$ $${\displaystyle f'(x)=f(x)\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}=g(x)h(x)\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}=g'(x)h(x)+g(x)h'(x),}$$

Cocientes

Se aplica un logaritmo natural a un cociente de dos funciones para transformar la división en una resta. Derivando mediante la aplicación de las reglas de la cadena y la suma se obtiene y, después de reordenar, se obtiene $${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$$ $${\displaystyle \ln(f(x))=\ln \left({\frac {g(x)}{h(x)}}\right)=\ln(g(x))-\ln(h(x))}$$ $${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}},}$$ $${\displaystyle f'(x)=f(x)\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}={\frac {g(x)}{h(x)}}\times \left\{{\frac {g'(x)}{g(x)}}-{\frac {h'(x)}{h(x)}}\right\}={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}},}$$

cual es la regla del cociente para derivadas.

Exponentes funcionales

Para una función de la forma el logaritmo natural transforma la exponenciación en un producto. Al derivar aplicando las reglas de la cadena y del producto se obtiene y, después de reordenar, se obtiene El mismo resultado se puede obtener reescribiendo f en términos de exp y aplicando la regla de la cadena. $${\displaystyle f(x)=g(x)^{h(x)}}$$ $${\displaystyle \ln(f(x))=\ln \left(g(x)^{h(x)}\right)=h(x)\ln(g(x))}$$ $${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}},}$$ $${\displaystyle f'(x)=f(x)\times \left\{h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right\}=g(x)^{h(x)}\times \left\{h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right\}.}$$

Caso general

Utilizando la notación pi mayúscula , sea un producto finito de funciones con exponentes funcionales. $${\displaystyle f(x)=\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}}$$

La aplicación de logaritmos naturales da como resultado (con notación sigma mayúscula ) y después de la diferenciación, reordenar para obtener la derivada de la función original, $${\displaystyle \ln(f(x))=\sum _{i}\alpha _{i}(x)\cdot \ln(f_{i}(x)),}$$ $${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}=\sum _{i}\left[\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right].}$$ $${\displaystyle f'(x)=\overbrace {\prod _{i}(f_{i}(x))^{\alpha _{i}(x)}} ^{f(x)}\times \overbrace {\sum _{i}\left\{\alpha _{i}'(x)\cdot \ln(f_{i}(x))+\alpha _{i}(x)\cdot {\frac {f_{i}'(x)}{f_{i}(x)}}\right\}} ^{[\ln(f(x))]'}.}$$

Véase también

• Derivada de Darboux  : derivada de una función entre una variedad y un grupo de LiePages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Generalizaciones de la derivada  – Construcción fundamental del cálculo diferencial
• Grupo de Lie  : Grupo que también es una variedad diferenciable con operaciones de grupo que son suaves.
• Lista de temas sobre logaritmos
• Lista de identidades logarítmicas
• Forma Maurer-Cartan  – Concepto matemático

Notas

1. Krantz, Steven G. (2003). Cálculo desmitificado . McGraw-Hill Professional. pág. 170. ISBN 0-07-139308-0.
2. NP Bali (2005). Cálculo diferencial áureo . Firewall Media. pág. 282. ISBN. 81-7008-152-1.
3. Bird, John (2006). Matemáticas de ingeniería superior . Newnes. pág. 324. ISBN 0-7506-8152-7.
4. Blank, Brian E. (2006). Cálculo de una variable . Springer. pág. 457. ISBN. 1-931914-59-1.
5. Williamson, Benjamin (2008). Tratado elemental sobre el cálculo diferencial . BiblioBazaar, LLC. pp. 25-26. ISBN 978-0-559-47577-1.