Diferencia de temperatura media logarítmica

Método de cálculo de la transferencia de calor en sistemas de flujo

En ingeniería térmica , la diferencia media logarítmica de temperatura ( LMTD ) se utiliza para determinar la fuerza impulsora de la temperatura para la transferencia de calor en sistemas de flujo , más notablemente en intercambiadores de calor . La LMTD es un promedio logarítmico de la diferencia de temperatura entre las alimentaciones caliente y fría en cada extremo del intercambiador de doble tubo. Para un intercambiador de calor dado con área constante y coeficiente de transferencia de calor , cuanto mayor sea la LMTD, más calor se transfiere. El uso de la LMTD surge directamente del análisis de un intercambiador de calor con caudal constante y propiedades térmicas del fluido .

Definición

Suponemos que un intercambiador de calor genérico tiene dos extremos (que llamamos "A" y "B") en los que las corrientes caliente y fría entran o salen por cada lado; entonces, el LMTD se define por la media logarítmica de la siguiente manera:

El LMTD ilustrado en un perfil de temperatura en contracorriente ^[1]

${\displaystyle \mathrm {LMTD} ={\frac {\Delta T_{A}-\Delta T_{B}}{\ln \left({\frac {\Delta T_{A}}{\Delta T_{B}}}\right)}}={\frac {\Delta T_{A}-\Delta T_{B}}{\ln \Delta T_{A}-\ln \Delta T_{B}}}}$

donde Δ T _A es la diferencia de temperatura entre las dos corrientes en el extremo A , y Δ T _B es la diferencia de temperatura entre las dos corrientes en el extremo B. Cuando las dos diferencias de temperatura son iguales, esta fórmula no se resuelve directamente, por lo que el LMTD se toma convencionalmente como igual a su valor límite, que en este caso es trivialmente igual a las dos diferencias.

Con esta definición, el LMTD se puede utilizar para encontrar el calor intercambiado en un intercambiador de calor:

${\displaystyle Q=U\times A\times \mathrm {LMTD} }$

donde (en unidades SI ):

• Q es la potencia térmica intercambiada ( vatios ),
• U es el coeficiente de transferencia de calor (vatios por kelvin por metro cuadrado),
• A es el área de intercambio.

Tenga en cuenta que estimar el coeficiente de transferencia de calor puede ser bastante complicado.

Esto es válido tanto para el flujo en paralelo, donde las corrientes entran desde el mismo extremo, como para el flujo en contracorriente , donde entran desde extremos diferentes.

En un sistema de flujo cruzado, en el que un sistema, normalmente el disipador de calor, tiene la misma temperatura nominal en todos los puntos de la superficie de transferencia de calor, se mantiene una relación similar entre el calor intercambiado y la temperatura media de transferencia de calor (LMTD), pero con un factor de corrección. También se requiere un factor de corrección para otras geometrías más complejas, como un intercambiador de carcasa y tubos con deflectores.

Derivación

Supongamos que se produce una transferencia de calor ^{[2] en un intercambiador de calor a lo largo de un eje} z , desde la coordenada genérica A a la B , entre dos fluidos, identificados como 1 y 2 , cuyas temperaturas a lo largo de z son T ₁ ( z ) y T ₂ ( z ) .

El flujo de calor intercambiado localmente en z es proporcional a la diferencia de temperatura:

${\displaystyle q(z)=U(T_{2}(z)-T_{1}(z))=U\;\Delta T(z)}$

El calor que sale de los fluidos provoca un gradiente de temperatura según la ley de Fourier :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\,T_{1}}{dz}}&=k_{a}(T_{1}(z)-T_{2}(z))=-k_{a}\,\Delta T(z)\\[4pt]{\frac {d\,T_{2}}{dz}}&=k_{b}(T_{2}(z)-T_{1}(z))=k_{b}\,\Delta T(z)\end{aligned}}}$

donde k _a , k _b son las conductividades térmicas del material intermedio en los puntos A y B respectivamente. Sumados, esto se convierte en

donde K = k _a + k _b .

La energía total intercambiada se obtiene integrando la transferencia de calor local q de A a B :

${\displaystyle Q=D\int _{A}^{B}q(z)dz=UD\int _{A}^{B}\Delta T(z)dz=UD\int _{A}^{B}\Delta T\,dz,}$

Observe que B − A es claramente la longitud de la tubería, que es la distancia a lo largo de z , y D es la circunferencia. Al multiplicarlos, obtenemos Ar, el área del intercambiador de calor de la tubería, y utilizamos este hecho:

${\displaystyle Q={\frac {UAr}{B-A}}\int _{A}^{B}\Delta T\,dz={\frac {UAr\displaystyle \int _{A}^{B}\Delta T\,dz}{\displaystyle \int _{A}^{B}\,dz}}}$

En ambas integrales, haga un cambio de variables de z a Δ T :

${\displaystyle Q={\frac {UAr\displaystyle \int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}\Delta T{\frac {dz}{d\Delta T}}\,d(\Delta T)}{\displaystyle \int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {dz}{d\Delta T}}\,d(\Delta T)}}}$

Con la relación para Δ T (ecuación 1 ), esto se convierte en

${\displaystyle Q={\frac {UAr\displaystyle \int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {1}{K}}\,d(\Delta T)}{\displaystyle \int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {1}{K\Delta T}}\,d(\Delta T)}}}$

La integración en este punto es trivial y finalmente da:

${\displaystyle Q=U\times Ar\times {\frac {\Delta T(B)-\Delta T(A)}{\ln \left({\frac {\Delta T(B)}{\Delta T(A)}}\right)}}}$,

de donde se desprende la definición de LMTD.

Supuestos y limitaciones

• Se ha supuesto que la tasa de cambio de la temperatura de ambos fluidos es proporcional a la diferencia de temperatura; esta suposición es válida para fluidos con un calor específico constante , lo que constituye una buena descripción de fluidos que cambian de temperatura en un rango relativamente pequeño. Sin embargo, si el calor específico cambia, el método LMTD ya no será preciso.
• Un caso particular de la LMTD son los condensadores y rehervidores , donde el calor latente asociado al cambio de fase es un caso especial de la hipótesis. Para un condensador, la temperatura de entrada del fluido caliente es entonces equivalente a la temperatura de salida del fluido caliente.
• También se ha supuesto que el coeficiente de transferencia de calor ( U ) es constante y no una función de la temperatura. Si este no es el caso, el enfoque LMTD será nuevamente menos válido.
• El LMTD es un concepto de estado estable y no se puede utilizar en análisis dinámicos. En particular, si el LMTD se aplicara a un transitorio en el que, durante un breve período, la diferencia de temperatura tuviera signos diferentes en los dos lados del intercambiador, el argumento de la función logarítmica sería negativo, lo cual no es admisible.
• No hay cambio de fase durante la transferencia de calor
• Se descuidan los cambios en la energía cinética y la energía potencial.

Diferencia de presión media logarítmica

Una cantidad relacionada, la diferencia de presión media logarítmica o LMPD , se utiliza a menudo en la transferencia de masa para solventes estancados con solutos diluidos para simplificar el problema del flujo a granel.

Referencias

1. "Transferencia de calor básica". www.swep.net . Consultado el 12 de mayo de 2020 .
2. "Curso web del MIT sobre intercambiadores de calor". [MIT].

• Kay JM y Nedderman RM (1985) Mecánica de fluidos y procesos de transferencia , Cambridge University Press