En topología , la teoría de nudos es el estudio de los nudos matemáticos . Aunque se inspira en los nudos que aparecen en la vida diaria, como los de los cordones de los zapatos y las cuerdas, un nudo matemático difiere en que los extremos están unidos, por lo que no se puede deshacer; el nudo más simple es un anillo (o " desanudado "). En lenguaje matemático, un nudo es una incrustación de un círculo en el espacio euclidiano tridimensional . Dos nudos matemáticos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro mediante una deformación de sobre sí mismo (conocida como isotopía ambiental ); estas transformaciones corresponden a manipulaciones de una cuerda anudada que no implican cortarla o pasarla a través de sí misma.
Los nudos se pueden describir de varias maneras. Si se utilizan distintos métodos de descripción, puede haber más de una descripción del mismo nudo. Por ejemplo, un método común para describir un nudo es un diagrama plano llamado diagrama de nudos, en el que cualquier nudo se puede dibujar de muchas maneras diferentes. Por lo tanto, un problema fundamental en la teoría de nudos es determinar cuándo dos descripciones representan el mismo nudo.
Existe una solución algorítmica completa para este problema, cuya complejidad se desconoce . [1] En la práctica, los nudos se suelen distinguir utilizando un invariante de nudo , una "cantidad" que es la misma cuando se calcula a partir de diferentes descripciones de un nudo. Entre los invariantes importantes se incluyen los polinomios de nudo , los grupos de nudos y los invariantes hiperbólicos.
La motivación original de los fundadores de la teoría de nudos fue crear una tabla de nudos y enlaces , que son nudos de varios componentes entrelazados entre sí. Se han tabulado más de seis mil millones de nudos y enlaces desde los inicios de la teoría de nudos en el siglo XIX.
Para obtener más información, los matemáticos han generalizado el concepto de nudo de varias maneras. Los nudos se pueden considerar en otros espacios tridimensionales y se pueden utilizar objetos distintos de los círculos; véase nudo (matemáticas) . Por ejemplo, un nudo de dimensiones superiores es una esfera n -dimensional incrustada en un espacio euclidiano de ( n +2) dimensiones.
Los arqueólogos han descubierto que la práctica de hacer nudos se remonta a tiempos prehistóricos. Además de sus usos, como registrar información y unir objetos, los nudos han interesado a los humanos por su estética y su simbolismo espiritual. Los nudos aparecen en diversas formas de obras de arte chinas que datan de varios siglos antes de Cristo (véase el arte de hacer nudos en China ). El nudo sin fin aparece en el budismo tibetano , mientras que los anillos borromeos han aparecido repetidamente en diferentes culturas, a menudo representando la fuerza en la unidad. Los monjes celtas que crearon el Libro de Kells prodigaron páginas enteras con intrincados nudos celtas .
Una teoría matemática de los nudos fue desarrollada por primera vez en 1771 por Alexandre-Théophile Vandermonde, quien señaló explícitamente la importancia de las características topológicas al discutir las propiedades de los nudos relacionadas con la geometría de la posición. Los estudios matemáticos de los nudos comenzaron en el siglo XIX con Carl Friedrich Gauss , quien definió la integral de enlace (Silver 2006). En la década de 1860, la teoría de Lord Kelvin de que los átomos eran nudos en el éter condujo a la creación de Peter Guthrie Tait de las primeras tablas de nudos para una clasificación completa. Tait, en 1885, publicó una tabla de nudos con hasta diez cruces, y lo que llegó a conocerse como las conjeturas de Tait . Este registro motivó a los primeros teóricos de los nudos, pero la teoría de nudos eventualmente se convirtió en parte del tema emergente de la topología .
Estos topólogos de principios del siglo XX ( Max Dehn , J. W. Alexander y otros) estudiaron los nudos desde el punto de vista del grupo de nudos y de los invariantes de la teoría de homología , como el polinomio de Alexander . Este sería el enfoque principal de la teoría de nudos hasta que una serie de avances transformaron el tema.
A finales de la década de 1970, William Thurston introdujo la geometría hiperbólica en el estudio de los nudos con el teorema de hiperbolización . Se demostró que muchos nudos eran nudos hiperbólicos , lo que permitió el uso de la geometría para definir nuevos y poderosos invariantes de nudos . El descubrimiento del polinomio de Jones por Vaughan Jones en 1984 (Sossinsky 2002, pp. 71-89), y las contribuciones posteriores de Edward Witten , Maxim Kontsevich y otros, revelaron profundas conexiones entre la teoría de nudos y los métodos matemáticos en mecánica estadística y teoría cuántica de campos . Desde entonces, se han inventado una gran cantidad de invariantes de nudos, utilizando herramientas sofisticadas como los grupos cuánticos y la homología de Floer .
En las últimas décadas del siglo XX, los científicos se interesaron en el estudio de los nudos físicos para comprender los fenómenos de anudado en el ADN y otros polímeros. La teoría de nudos se puede utilizar para determinar si una molécula es quiral (tiene una "lateralidad") o no (Simon 1986). Los ovillos , cuerdas con ambos extremos fijados en su lugar, se han utilizado con eficacia para estudiar la acción de la topoisomerasa en el ADN (Flapan 2000). La teoría de nudos puede ser crucial en la construcción de computadoras cuánticas, a través del modelo de computación cuántica topológica (Collins 2006).
Un nudo se crea comenzando con un segmento de línea unidimensional , envolviéndolo sobre sí mismo arbitrariamente y luego fusionando sus dos extremos libres para formar un bucle cerrado (Adams 2004) (Sossinsky 2002). De manera simple, podemos decir que un nudo es una "curva cerrada simple" (ver Curva ) —es decir: una función "casi" inyectiva y continua , con la única "no inyectividad" siendo . Los topólogos consideran que los nudos y otros enredos como enlaces y trenzas son equivalentes si el nudo puede ser empujado suavemente, sin intersecarse a sí mismo, para coincidir con otro nudo.
La idea de equivalencia de nudos es dar una definición precisa de cuándo dos nudos deben considerarse iguales incluso cuando se encuentran en posiciones muy diferentes en el espacio. Una definición matemática formal es que dos nudos son equivalentes si existe un homeomorfismo que preserva la orientación con .
Lo que significa esta definición de equivalencia de nudos es que dos nudos son equivalentes cuando existe una familia continua de homeomorfismos del espacio sobre sí mismo, de modo que el último de ellos lleva el primer nudo sobre el segundo nudo. (En detalle: Dos nudos y son equivalentes si existe una aplicación continua tal que a) para cada uno la aplicación que lleva a es un homeomorfismo de sobre sí mismo; b) para todos ; y c) . Una función de este tipo se conoce como isotopía ambiental .)
Estas dos nociones de equivalencia de nudos concuerdan exactamente acerca de qué nudos son equivalentes: dos nudos que son equivalentes según la definición de homeomorfismo que preserva la orientación también son equivalentes según la definición de isotopía ambiental, porque cualquier homeomorfismo que preserva la orientación de a sí mismo es la etapa final de una isotopía ambiental que comienza a partir de la identidad. Por el contrario, dos nudos equivalentes según la definición de isotopía ambiental también son equivalentes según la definición de homeomorfismo que preserva la orientación, porque la etapa (final) de la isotopía ambiental debe ser un homeomorfismo que preserva la orientación que lleva un nudo al otro.
El problema básico de la teoría de nudos, el problema de reconocimiento , es determinar la equivalencia de dos nudos. Existen algoritmos para resolver este problema, siendo el primero propuesto por Wolfgang Haken a finales de los años 1960 (Hass 1998). No obstante, estos algoritmos pueden consumir muchísimo tiempo, y una cuestión importante en la teoría es entender lo difícil que es realmente este problema (Hass 1998). El caso especial de reconocer el nudo desenredado , llamado problema de desenredado , es de particular interés (Hoste 2005). En febrero de 2021, Marc Lackenby anunció un nuevo algoritmo de reconocimiento de nudos desenredados que se ejecuta en tiempo cuasipolinomial . [2]
Una forma útil de visualizar y manipular nudos es proyectarlos sobre un plano (piense en el nudo que proyecta una sombra sobre la pared). Un pequeño cambio en la dirección de la proyección garantizará que sea uno a uno, excepto en los puntos dobles, llamados cruces , donde la "sombra" del nudo se cruza a sí misma una vez transversalmente (Rolfsen 1976). En cada cruce, para poder recrear el nudo original, se debe distinguir la hebra superior de la hebra inferior. Esto se hace a menudo creando una ruptura en la hebra que va por debajo. El diagrama resultante es una curva plana inmersa con los datos adicionales de qué hebra está por encima y cuál está por debajo en cada cruce. (Estos diagramas se denominan diagramas de nudos cuando representan un nudo y diagramas de enlaces cuando representan un enlace ). De manera análoga, las superficies anudadas en el espacio 4 se pueden relacionar con las superficies inmersas en el espacio 3.
Un diagrama reducido es un diagrama de nudos en el que no hay cruces reducibles (también cruces nugatorios o removibles ), o en el que se han eliminado todos los cruces reducibles. [3] [4] Una proyección de pétalos es un tipo de proyección en la que, en lugar de formar puntos dobles, todas las hebras del nudo se encuentran en un único punto de cruce, conectado a él por bucles que forman "pétalos" no anidados. [5]
En 1927, trabajando con esta forma diagramática de nudos, J. W. Alexander y Garland Baird Briggs, e independientemente Kurt Reidemeister , demostraron que dos diagramas de nudos pertenecientes al mismo nudo pueden relacionarse mediante una secuencia de tres tipos de movimientos en el diagrama, que se muestra a continuación. Estas operaciones, ahora llamadas movimientos de Reidemeister , son:
La prueba de que los diagramas de nudos equivalentes están conectados por movimientos de Reidemeister se basa en un análisis de lo que sucede bajo la proyección plana del movimiento que lleva un nudo a otro. El movimiento puede organizarse de modo que casi todo el tiempo la proyección sea un diagrama de nudos, excepto en un número finito de veces cuando ocurre un "evento" o "catástrofe", como cuando más de dos hebras se cruzan en un punto o múltiples hebras se vuelven tangentes en un punto. Una inspección minuciosa mostrará que los eventos complicados pueden eliminarse, dejando solo los eventos más simples: (1) una "torcedura" que se forma o se endereza; (2) dos hebras que se vuelven tangentes en un punto y pasan a través de; y (3) tres hebras que se cruzan en un punto. Estos son precisamente los movimientos de Reidemeister (Sossinsky 2002, cap. 3) (Lickorish 1997, cap. 1).
Un invariante de nudo es una "cantidad" que es la misma para nudos equivalentes (Adams 2004) (Lickorish 1997) (Rolfsen 1976). Por ejemplo, si el invariante se calcula a partir de un diagrama de nudos, debería dar el mismo valor para dos diagramas de nudos que representen nudos equivalentes. Un invariante puede tomar el mismo valor en dos nudos diferentes, por lo que por sí solo puede ser incapaz de distinguir todos los nudos. Un invariante elemental es la tricolorabilidad .
Los invariantes de nudos "clásicos" incluyen el grupo de nudos , que es el grupo fundamental del complemento de nudos , y el polinomio de Alexander , que se puede calcular a partir del invariante de Alexander, un módulo construido a partir de la cobertura cíclica infinita del complemento de nudos (Lickorish 1997) (Rolfsen 1976). A fines del siglo XX, se descubrieron invariantes como los polinomios de nudos "cuánticos", los invariantes de Vassiliev y los invariantes hiperbólicos. Estos invariantes mencionados anteriormente son solo la punta del iceberg de la teoría de nudos moderna.
Un polinomio de nudo es un invariante de nudo que es un polinomio . Algunos ejemplos conocidos son el polinomio de Jones , el polinomio de Alexander y el polinomio de Kauffman . Una variante del polinomio de Alexander, el polinomio de Alexander-Conway , es un polinomio en la variable z con coeficientes enteros (Lickorish 1997).
El polinomio de Alexander-Conway se define en realidad en términos de enlaces , que consisten en uno o más nudos entrelazados entre sí. Los conceptos explicados anteriormente para los nudos, por ejemplo, los diagramas y los movimientos de Reidemeister, también son válidos para los enlaces.
Consideremos un diagrama de enlace orientado, es decir , uno en el que cada componente del enlace tiene una dirección preferida indicada por una flecha. Para un cruce dado del diagrama, sean los diagramas de enlace orientado resultantes de cambiar el diagrama como se indica en la figura:
.svg/1280px-Skein_(HOMFLY).svg.png)
El diagrama original puede ser o , dependiendo de la configuración del cruce elegido. Entonces, el polinomio de Alexander-Conway, , se define recursivamente de acuerdo con las reglas:
La segunda regla es lo que se suele denominar relación de madeja . Para comprobar que estas reglas dan un invariante de un enlace orientado, se debe determinar que el polinomio no cambia bajo los tres movimientos de Reidemeister. Muchos polinomios de nudos importantes se pueden definir de esta manera.
El siguiente es un ejemplo de un cálculo típico que utiliza una relación de madeja. Calcula el polinomio de Alexander-Conway del nudo de trébol . Los parches amarillos indican dónde se aplica la relación.
da el nudo y el vínculo de Hopf . Aplicando la relación al vínculo de Hopf donde se indica,
da un enlace deformable a uno con 0 cruces (en realidad es la desvinculación de dos componentes) y un nudo. La desvinculación requiere un poco de astucia:
lo que implica que C (desvinculación de dos componentes) = 0, ya que los dos primeros polinomios son del desvinculado y por lo tanto iguales.
Juntando todo esto se verá:
Dado que el polinomio de Alexander-Conway es invariante respecto de los nudos, esto demuestra que el trébol no es equivalente al nudo no anudado. Por lo tanto, el trébol realmente está "anudado".
En realidad, hay dos nudos de trébol, llamados tréboles diestros y zurdos, que son imágenes especulares entre sí (tome un diagrama del trébol dado arriba y cambie cada cruce al otro lado para obtener la imagen especular). Estos no son equivalentes entre sí, lo que significa que no son anfiquirales. Esto fue demostrado por Max Dehn , antes de la invención de los polinomios de nudos, utilizando métodos teóricos de grupos (Dehn 1914). Pero el polinomio de Alexander-Conway de cada tipo de trébol será el mismo, como se puede ver al realizar el cálculo anterior con la imagen especular. De hecho, el polinomio de Jones puede distinguir entre los nudos de trébol diestros y zurdos (Lickorish 1997).
William Thurston demostró que muchos nudos son nudos hiperbólicos , lo que significa que el complemento del nudo (es decir, el conjunto de puntos del espacio tridimensional que no están sobre el nudo) admite una estructura geométrica, en particular la de la geometría hiperbólica . La estructura hiperbólica depende únicamente del nudo, por lo que cualquier cantidad calculada a partir de la estructura hiperbólica es entonces invariante del nudo (Adams 2004).
La geometría nos permite visualizar cómo se ve el interior de un nudo o complemento de enlace al imaginar rayos de luz viajando a lo largo de las geodésicas de la geometría. Un ejemplo lo proporciona la imagen del complemento de los anillos de Borromeo . El habitante de este complemento de enlace está viendo el espacio desde cerca del componente rojo. Las bolas en la imagen son vistas de los vecindarios de horobolas del enlace. Al engrosar el enlace de una manera estándar, se obtienen los vecindarios de horobolas de los componentes del enlace. Aunque el límite de un vecindario es un toro, cuando se ve desde el interior del complemento de enlace, parece una esfera. Cada componente de enlace se muestra como infinitas esferas (de un color) ya que hay infinitos rayos de luz desde el observador hasta el componente de enlace. El paralelogramo fundamental (que se indica en la imagen), se agrupa tanto vertical como horizontalmente y muestra cómo extender el patrón de esferas infinitamente.
Este patrón, el patrón de horoball, es en sí mismo un invariante útil. Otros invariantes hiperbólicos incluyen la forma del paralelogramo fundamental, la longitud de la geodésica más corta y el volumen. Los esfuerzos modernos de tabulación de nudos y enlaces han utilizado estos invariantes de manera efectiva. Las computadoras rápidas y los métodos inteligentes para obtener estos invariantes hacen que, en la práctica, calcularlos sea una tarea sencilla (Adams, Hildebrand y Weeks 1991).
Un nudo en tres dimensiones se puede desatar cuando se coloca en un espacio de cuatro dimensiones. Esto se hace cambiando los cruces. Supongamos que una hebra está detrás de otra, vista desde un punto elegido. Elévela hasta la cuarta dimensión, de modo que no haya ningún obstáculo (la hebra delantera no tiene ningún componente allí); luego deslícela hacia adelante y déjela caer hacia atrás, ahora al frente. Las analogías para el plano serían levantar una cuerda de la superficie o quitar un punto del interior de un círculo.
De hecho, en cuatro dimensiones, cualquier bucle cerrado de cuerda unidimensional que no se intersecte es equivalente a un nudo desenredado. Primero, "empuja" el bucle hacia un subespacio tridimensional, lo cual siempre es posible, aunque es técnico de explicar.
Sin embargo, en la teoría clásica de nudos existe un espacio de cuatro dimensiones, y un tema importante es el estudio de los nudos de rebanada y los nudos de cinta . Un problema abierto conocido plantea la pregunta de si cada nudo de rebanada es también una cinta.
Dado que un nudo puede considerarse topológicamente como una esfera unidimensional, la siguiente generalización es considerar una esfera bidimensional ( ) incrustada en un espacio euclidiano de cuatro dimensiones ( ). Una incrustación de este tipo está anudada si no hay homeomorfismo de sobre sí misma que lleve la 2-esfera incrustada a la incrustación "redonda" estándar de la 2-esfera. Los nudos suspendidos y los nudos hilados son dos familias típicas de tales nudos de 2-esferas.
La técnica matemática llamada "posición general" implica que para una n -esfera dada en un espacio euclidiano m -dimensional, si m es lo suficientemente grande (dependiendo de n ), la esfera debería estar desanudada. En general, las n -esferas lineales por partes forman nudos solo en un espacio ( n + 2)-dimensional (Zeeman 1963), aunque esto ya no es un requisito para esferas con nudos suaves. De hecho, hay -esferas con nudos suaves en un espacio de 6 k -dimensional; por ejemplo, hay una 3-esfera con nudos suaves en (Haefliger 1962) (Levine 1965). Por lo tanto, la codimensión de un nudo suave puede ser arbitrariamente grande cuando no se fija la dimensión de la esfera anudada; sin embargo, cualquier k -esfera suave incrustada en con está desanudada. La noción de nudo tiene más generalizaciones en matemáticas, véase: Nudo (matemáticas) , clasificación isotópica de incrustaciones .
Cada nudo en la n -esfera es el enlace de un conjunto algebraico real con singularidad aislada en (Akbulut y King 1981).
Un n -nudo es un único incrustado en . Un n -enlace consta de k -copias de incrustadas en , donde k es un número natural . Tanto los casos como los están bien estudiados, y también lo es el caso. [6] [7]
Se pueden agregar dos nudos cortando ambos nudos y uniendo los pares de extremos. La operación se llama suma de nudos o, a veces, suma o composición conectada de dos nudos. Esto se puede definir formalmente de la siguiente manera (Adams 2004): considere una proyección plana de cada nudo y suponga que estas proyecciones son disjuntas. Encuentre un rectángulo en el plano donde un par de lados opuestos sean arcos a lo largo de cada nudo mientras que el resto del rectángulo esté disjunto de los nudos. Forme un nuevo nudo eliminando el primer par de lados opuestos y uniendo el otro par de lados opuestos. El nudo resultante es una suma de los nudos originales. Dependiendo de cómo se haga esto, pueden resultar dos nudos diferentes (pero no más). Esta ambigüedad en la suma se puede eliminar con respecto a los nudos como orientados , es decir, que tengan una dirección preferida de viaje a lo largo del nudo y requieran que los arcos de los nudos en la suma estén orientados de manera consistente con el límite orientado del rectángulo.
La suma de nudos de nudos orientados es conmutativa y asociativa . Un nudo es primo si no es trivial y no se puede escribir como la suma de nudos de dos nudos no triviales. Un nudo que se puede escribir como tal suma es compuesto . Existe una descomposición prima para nudos, análoga a los números primos y compuestos (Schubert 1949). Para nudos orientados, esta descomposición también es única. También se pueden agregar nudos de dimensiones superiores, pero hay algunas diferencias. Si bien no se puede formar el nudo no trivial en tres dimensiones agregando dos nudos no triviales, se puede en dimensiones superiores, al menos cuando se consideran nudos lisos en codimensión al menos 3.
Los nudos también se pueden construir utilizando el enfoque de topología de circuitos . Esto se hace combinando unidades básicas llamadas contactos suaves utilizando cinco operaciones (Paralelo, Serie, Cruz, Concertado y Sub). [8] [9] El enfoque también es aplicable a cadenas abiertas y también se puede extender para incluir los llamados contactos duros.
Tradicionalmente, los nudos se han catalogado en términos de número de cruce . Las tablas de nudos generalmente incluyen solo nudos primos, y solo una entrada para un nudo y su imagen reflejada (incluso si son diferentes) (Hoste, Thistlethwaite y Weeks 1998). El número de nudos no triviales de un número de cruce dado aumenta rápidamente, lo que dificulta computacionalmente la tabulación (Hoste 2005, p. 20). Los esfuerzos de tabulación han tenido éxito en enumerar más de 6 mil millones de nudos y enlaces (Hoste 2005, p. 28). La secuencia del número de nudos primos de un número de cruce dado, hasta el número de cruce 16, es 0, 0, 1, 1, 2, 3, 7, 21, 49, 165, 552, 2176, 9988,46 972 ,253 293 ,1 388 705 ... (secuencia A002863 en la OEIS ). Si bien se conocen los límites exponenciales superior e inferior de esta secuencia, no se ha demostrado que esta secuencia sea estrictamente creciente (Adams 2004).
Las primeras tablas de nudos de Tait, Little y Kirkman utilizaban diagramas de nudos, aunque Tait también utilizó un precursor de la notación Dowker . Se han inventado diferentes notaciones para nudos que permiten una tabulación más eficiente (Hoste 2005).
Las primeras tablas intentaban enumerar todos los nudos de hasta 10 cruces y todos los nudos alternados de 11 cruces (Hoste, Thistlethwaite y Weeks 1998). El desarrollo de la teoría de nudos gracias a Alexander, Reidemeister, Seifert y otros facilitó la tarea de verificación y, a fines de la década de 1920, Alexander-Briggs y Reidemeister publicaron tablas de nudos de hasta 9 cruces inclusive.
La primera verificación importante de este trabajo fue realizada en la década de 1960 por John Horton Conway , quien no solo desarrolló una nueva notación sino también el polinomio de Alexander-Conway (Conway 1970) (Doll & Hoste 1991). Esto verificó la lista de nudos de como máximo 11 cruces y una nueva lista de enlaces de hasta 10 cruces. Conway encontró una serie de omisiones pero solo una duplicación en las tablas de Tait-Little; sin embargo, pasó por alto los duplicados llamados el par de Perko , que solo serían detectados en 1974 por Kenneth Perko (Perko 1974). Este famoso error se propagaría cuando Dale Rolfsen agregó una tabla de nudos en su influyente texto, basado en el trabajo de Conway. El artículo de Conway de 1970 sobre la teoría de nudos también contiene una duplicación tipográfica en su página de 11 nudos cruzados no alternados y omite 4 ejemplos: 2 previamente enumerados en la tesis de grado de Princeton de D. Lombardero de 1968 y 2 más descubiertos posteriormente por Alain Caudron. [ver Perko (1982), Primality of certain knots, Topology Proceedings] Menos famoso es el duplicado en su tabla de enlaces de 10 cruces: 2.-2.-20.20 es el espejo de 8*-20:-20. [Ver Perko (2016), Historical highlights of non-cyclic knot theory, J. Knot Theory Ramifications].
A finales de los años 1990, Hoste, Thistlethwaite y Weeks tabularon todos los nudos a través de 16 cruces (Hoste, Thistlethwaite y Weeks 1998). En 2003, Rankin, Flint y Schermann tabularon los nudos alternados a través de 22 cruces (Hoste 2005). En 2020, Burton tabuló todos los nudos primarios con hasta 19 cruces (Burton 2020).
Esta es la notación más tradicional, debido al artículo de 1927 de James W. Alexander y Garland B. Briggs y posteriormente ampliada por Dale Rolfsen en su tabla de nudos (ver imagen de arriba y Lista de nudos principales ). La notación simplemente organiza los nudos por su número de cruce. Se escribe el número de cruce con un subíndice para indicar su orden entre todos los nudos con ese número de cruce. Este orden es arbitrario y por lo tanto no tiene un significado especial (aunque en cada número de cruces el nudo torcido viene después del nudo toroidal ). Los enlaces se escriben por el número de cruce con un superíndice para indicar el número de componentes y un subíndice para indicar su orden dentro de los enlaces con el mismo número de componentes y cruces. Así, el nudo de trébol se escribe 3 1 y el enlace de Hopf es 22
1Los nombres de Alexander-Briggs en el rango 10 162 a 10 166 son ambiguos, debido al descubrimiento del par Perko en las tablas de nudos originales y posteriores de Charles Newton Little , y a las diferencias en el enfoque para corregir este error en las tablas de nudos y otras publicaciones creadas después de este punto. [10]
La notación Dowker-Thistlethwaite , también llamada notación o código Dowker, para un nudo es una secuencia finita de números enteros pares. Los números se generan siguiendo el nudo y marcando los cruces con números enteros consecutivos. Dado que cada cruce se visita dos veces, esto crea un emparejamiento de números enteros pares con números enteros impares. Se da un signo apropiado para indicar sobrecruzamiento y subcruzamiento. Por ejemplo, en esta figura, el diagrama de nudos tiene cruces etiquetados con los pares (1,6) (3,−12) (5,2) (7,8) (9,−4) y (11,−10). La notación Dowker-Thistlethwaite para este etiquetado es la secuencia: 6, −12, 2, 8, −4, −10. Un diagrama de nudos tiene más de una notación Dowker posible y existe una ambigüedad bien entendida al reconstruir un nudo a partir de una notación Dowker-Thistlethwaite.
La notación de Conway para nudos y eslabones, llamada así en honor a John Horton Conway , se basa en la teoría de los enredos (Conway 1970). La ventaja de esta notación es que refleja algunas propiedades del nudo o eslabón.
La notación describe cómo construir un diagrama de enlace particular del enlace. Comience con un poliedro básico , un grafo plano conexo de 4 valencias sin regiones digonas . Este poliedro se denota primero por el número de vértices y luego por un número de asteriscos que determinan la posición del poliedro en una lista de poliedros básicos. Por ejemplo, 10** denota el segundo poliedro de 10 vértices en la lista de Conway.
A cada vértice se le sustituye entonces un enredo algebraico (cada vértice está orientado de modo que no hay una elección arbitraria en la sustitución). Cada uno de estos enredos tiene una notación que consta de números y signos + o −.
Un ejemplo es 1*2 −3 2. El 1* denota el único poliedro básico de 1 vértice. El 2 −3 2 es una sucesión que describe la fracción continua asociada a un enredo racional . Se inserta este enredo en el vértice del poliedro básico 1*.
Un ejemplo más complicado es 8*3.1.2 0.1.1.1.1.1 Aquí también 8* se refiere a un poliedro básico con 8 vértices. Los puntos separan la notación de cada enredo.
Cualquier enlace admite una descripción de este tipo, y es evidente que se trata de una notación muy compacta incluso para un número de cruces muy grande. Hay otras abreviaturas que se suelen utilizar. El último ejemplo suele escribirse 8*3:2 0, donde se omiten los unos y se mantiene el número de puntos, excepto los puntos del final. Para un nudo algebraico como el del primer ejemplo, a menudo se omite 1*.
El artículo pionero de Conway sobre el tema enumera poliedros básicos de hasta 10 vértices que utiliza para tabular enlaces, que se han convertido en estándar para esos enlaces. Para obtener una lista más detallada de poliedros de vértices superiores, hay opciones no estándar disponibles.
El código de Gauss , similar a la notación Dowker-Thistlethwaite, representa un nudo con una secuencia de números enteros. Sin embargo, en lugar de que cada cruce se represente con dos números diferentes, los cruces se etiquetan con un solo número. Cuando el cruce es un cruce por encima, se indica un número positivo. En un cruce por debajo, un número negativo. Por ejemplo, el nudo de trébol en el código de Gauss se puede indicar como: 1,−2,3,−1,2,−3
El código de Gauss tiene una capacidad limitada para identificar nudos. Este problema se soluciona parcialmente con el código de Gauss extendido .
Existen varias introducciones a la teoría de nudos. Una introducción clásica para estudiantes de posgrado o estudiantes universitarios avanzados es (Rolfsen 1976). Otros buenos textos de las referencias son (Adams 2004) y (Lickorish 1997). Adams es informal y accesible en su mayor parte para estudiantes de secundaria. Lickorish es una introducción rigurosa para estudiantes de posgrado, que cubre una buena combinación de temas clásicos y modernos. (Cromwell 2004) es adecuado para estudiantes universitarios que conocen la topología de conjuntos puntuales; no se requieren conocimientos de topología algebraica.
![{\displaystyle K\colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3527c328346ff511b17bd2fe2ae5f3504df3d2e9)
![{\displaystyle H:\mathbb {R} ^{3}\times [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc228092f3ea7de7bbd32a579a7498ea08e9fb2)
![{\displaystyle t\en [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a5c18739ff04858eecc8fec2f53912c348e0e5)
