Medida del riesgo de desviación

En matemáticas financieras , una medida de riesgo de desviación es una función que cuantifica el riesgo financiero (y no necesariamente el riesgo a la baja ) con un método diferente al de una medida de riesgo general . Las medidas de riesgo de desviación generalizan el concepto de desviación estándar .

Definición matemática

Una función , donde es el espacio L2 de variables aleatorias ( rendimientos aleatorios de cartera ), es una medida de riesgo de desviación si ${\displaystyle D:{\mathcal {L}}^{2}\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}}$

1. Invariante al cambio: para cualquier ${\displaystyle D(X+r)=D(X)}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$
2. Normalización: ${\displaystyle D(0)=0}$
3. Positivamente homogéneo: para cualquier y ${\displaystyle D(\lambda X)=\lambda D(X)}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {L}}^{2}}$ ${\displaystyle \lambda >0}$
4. Sublinealidad: para cualquier ${\displaystyle D(X+Y)\leq D(X)+D(Y)}$ ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {L}}^{2}}$
5. Positividad: para todo X no constante , y para cualquier X constante . ^{[1] [2]} ${\displaystyle D(X)>0}$ ${\displaystyle D(X)=0}$

Relación con la medida de riesgo

Existe una relación uno a uno entre una medida de riesgo de desviación D y una medida de riesgo limitada por expectativas R donde para cualquier ${\displaystyle X\in {\mathcal {L}}^{2}}$

• ${\displaystyle D(X)=R(X-\mathbb {E} [X])}$
• ${\displaystyle R(X)=D(X)-\mathbb {E} [X]}$.

R está acotado por expectativa para cualquier X no constante y para cualquier X constante . ${\displaystyle R(X)>\mathbb {E} [-X]}$ ${\displaystyle R(X)=\mathbb {E} [-X]}$

Si para cada X (donde es el ínfimo esencial ), entonces existe una relación entre D y una medida de riesgo coherente . ^[1] ${\displaystyle D(X)<\mathbb {E} [X]-\operatorname {ess\inf } X}$ ${\displaystyle \operatorname {ess\inf } }$

Ejemplos

Los ejemplos más conocidos de medidas de desviación del riesgo son: ^[1]

• Desviación estándar ; ${\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {E[(X-EX)^{2}]}}}$
• Desviación absoluta media ; ${\displaystyle MAD(X)=E(|X-EX|)}$
• Semidesviaciones inferior y superior y , donde y ; ${\displaystyle \sigma _{-}(X)={\sqrt {{E[(X-EX)_{-}}^{2}]}}}$ ${\displaystyle \sigma _{+}(X)={\sqrt {{E[(X-EX)_{+}}^{2}]}}}$ ${\displaystyle [X]_{-}:=\max\{0,-X\}}$ ${\displaystyle [X]_{+}:=\max\{0,X\}}$
• Desviaciones basadas en rango, por ejemplo, y ; ${\displaystyle D(X)=EX-\inf X}$ ${\displaystyle D(X)=\sup X-\inf X}$
• Desviación del valor en riesgo condicional (CVaR), definida para cualquier por , donde es el déficit esperado . ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ ${\displaystyle {\rm {CVaR}}_{\alpha }^{\Delta }(X)\equiv ES_{\alpha }(X-EX)}$ ${\displaystyle ES_{\alpha }(X)}$

Véase también

• Riesgo unificado

Referencias

1. Rockafellar, Tyrrell; Uryasev, Stanislav; Zabarankin, Michael (2002). "Medidas de desviación en el análisis y optimización de riesgos". SSRN  365640. {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
2. Cheng, Siwei; Liu, Yanhui; Wang, Shouyang (2004). "Avances en la Medición de Riesgos". Modelado y optimización avanzados . 6 (1).