En álgebra lineal , el determinante de Dieudonné es una generalización del determinante de una matriz a matrices sobre anillos de división y anillos locales . Fue introducido por Dieudonné (1943).
Si K es un anillo de división, entonces el determinante de Dieudonné es un homomorfismo de grupo del grupo GL n ( K ) de matrices invertibles n -by- n sobre K sobre la abelianización K × / [ K × , K × ] del grupo multiplicativo K × de K .
Por ejemplo, el determinante de Dieudonné para una matriz de 2 por 2 es la clase de residuo, en K × / [ K × , K × ], de
![{\displaystyle \det \left({\begin{array}{*{20}c}a&b\\c&d\end{array}}\right)=\left\lbrace {\begin{array}{*{20} c}-cb&{\text{if }}a=0\\ad-aca^{-1}b&{\text{if }}a\neq 0.\end{array}}\right.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Propiedades
Sea R un anillo local. Hay un mapa determinante desde el anillo matricial GL( R ) hasta el grupo unitario abelianizado R × ab con las siguientes propiedades: [1]
- El determinante es invariante en operaciones elementales de renglón.
- El determinante de la matriz identidad es 1.
- Si una fila se deja multiplicar por a en R × entonces el determinante se deja multiplicar por a
- El determinante es multiplicativo: det( AB ) = det( A )det( B )
- Si se intercambian dos filas, el determinante se multiplica por −1
- Si R es conmutativo , entonces el determinante es invariante bajo transposición
Problema de Tannaka-Artin
Supongamos que K es finito respecto de su centro F. La norma reducida da un homomorfismo N n de GL n ( K ) a F × . También tenemos un homomorfismo de GL n ( K ) a F × obtenido componiendo el determinante Dieudonné de GL n ( K ) a K × / [ K × , K × ] con la norma reducida N 1 de GL 1 ( K ) = K × a F × mediante la abelianización.
El problema de Tannaka-Artin es si estos dos mapas tienen el mismo núcleo SL n ( K ). Esto es cierto cuando F es localmente compacto [2] pero falso en general. [3]
Ver también
Referencias
- ^ Rosenberg (1994) p.64
- ^ Nakayama, Tadasi; Matsushima, Yozo (1943). "Über die multiplicative Gruppe einer p-adischen Divisionsalgebra". Proc. Diablillo. Acad. Tokio (en alemán). 19 : 622–628. doi : 10.3792/pia/1195573246 . Zbl 0060.07901.
- ^ Platonov, vicepresidente (1976). "El problema de Tannaka-Artin y la teoría K reducida". Izv. Akád. Nauk SSSR, ser. Estera. (en ruso). 40 (2): 227–261. Código Bib : 1976IzMat..10..211P. doi :10.1070/IM1976v010n02ABEH001686. Zbl 0338.16005.
- Dieudonné, Jean (1943), "Les determinantes sur un corps non commutatif", Bulletin de la Société Mathématique de France , 71 : 27–45, doi : 10.24033/bsmf.1345 , ISSN 0037-9484, MR 0012273, Zbl 0028.33904
- Rosenberg, Jonathan (1994), Teoría K algebraica y sus aplicaciones, Textos de Posgrado en Matemáticas , vol. 147, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94248-3, SEÑOR 1282290, Zbl 0801.19001. Erratas
- Serre, Jean-Pierre (2003), Árboles , Springer, pág. 74, ISBN 3-540-44237-5, Zbl 1013.20001
- Suprunenko, DA (2001) [1994], "Determinante", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press