Determinante de Fuglede-Kadison

En matemáticas , el determinante Fuglede-Kadison de un operador invertible en un factor finito es un número real positivo asociado a él. Define un homomorfismo multiplicativo del conjunto de operadores invertibles al conjunto de números reales positivos. El determinante Fuglede-Kadison de un operador a menudo se denota por . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Delta (A)}$

Para una matriz en , que es la forma normalizada del valor absoluto del determinante de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \Delta (A)=\left|\det(A)\right|^{1/n}}$ ${\displaystyle A}$

Definición

Sea un factor finito con la traza canónica normalizada y sea un operador invertible en . Entonces el determinante de Fuglede-Kadison se define como ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Delta (X):=\exp \tau (\log(X^{*}X)^{1/2}),}$

(cf. Relación entre determinante y traza a través de valores propios ). El número está bien definido mediante cálculo funcional continuo . ${\displaystyle \Delta (X)}$

Propiedades

• ${\displaystyle \Delta (XY)=\Delta (X)\Delta (Y)}$para operadores reversibles , ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {M}}}$
• ${\displaystyle \Delta (\exp A)=\left|\exp \tau (A)\right|=\exp \Re \tau (A)}$para ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}.}$
• ${\displaystyle \Delta }$es norma continua en , el conjunto de operadores invertibles en ${\displaystyle GL_{1}({\mathcal {M}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}},}$
• ${\displaystyle \Delta (X)}$no excede el radio espectral de . ${\displaystyle X}$

Extensiones a operadores singulares

Hay muchas extensiones posibles del determinante Fuglede-Kadison a operadores singulares en . Todos ellos deben asignar un valor de 0 a los operadores con espacio nulo no trivial. Ninguna extensión del determinante de los operadores invertibles a todos los operadores en es continua en la topología uniforme. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

extensión algebraica

La extensión algebraica de asigna un valor de 0 a un operador singular en . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Extensión analítica

Para un operador en , la extensión analítica de utiliza la descomposición espectral de para definir con el entendimiento de que si . Esta extensión satisface la propiedad de continuidad. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle |A|=\int \lambda \;dE_{\lambda }}$ ${\displaystyle \Delta (A):=\exp \left(\int \log \lambda \;d\tau (E_{\lambda })\right)}$ ${\displaystyle \Delta (A)=0}$ ${\displaystyle \int \log \lambda \;d\tau (E_{\lambda })=-\infty }$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\Delta (H+\varepsilon I)=\Delta (H)}$para ${\displaystyle H\geq 0.}$

Generalizaciones

Aunque originalmente el determinante de Fuglede-Kadison se definió para operadores en factores finitos, se traslada al caso de operadores en álgebras de von Neumann con un estado trazal ( ) en cuyo caso se denota por . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \Delta _{\tau }(\cdot )}$

Referencias

• Fuglede, doblado; Kadison, Richard (1952), "Teoría determinante en factores finitos", Ann. Matemáticas. , Serie 2, 55 (3): 520–530, doi :10.2307/1969645, JSTOR  1969645.

• de la Harpe, Pierre (2013), "Determinante de Fuglede-Kadison: tema y variaciones", Proc. Nacional. Acad. Ciencia. EE. UU. , 110 (40): 15864–15877, doi : 10.1073/pnas.1202059110 , PMC  3791716 , PMID  24082099.