Energía de enlace gravitacional

Energía mínima para sacar un sistema de un estado ligado gravitacionalmente

Los cúmulos de galaxias son las estructuras unidas gravitacionalmente más grandes conocidas en el universo. ^[1]

La energía de enlace gravitacional de un sistema es la energía mínima que se le debe agregar para que el sistema deje de estar en un estado ligado gravitacionalmente . Un sistema ligado gravitacionalmente tiene una energía potencial gravitacional menor ( es decir , más negativa) que la suma de las energías de sus partes cuando éstas están completamente separadas; esto es lo que mantiene el sistema agregado de acuerdo con el principio de energía potencial total mínima .

Para un cuerpo esférico de densidad uniforme , la energía de enlace gravitacional U viene dada por la fórmula ^{[2] [3]}

$${\displaystyle U=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}}$$

Gconstante gravitacionalMR

Suponiendo que la Tierra es una esfera de densidad uniforme (que no lo es, pero está lo suficientemente cerca como para obtener una estimación del orden de magnitud ) con M =5,97 × 10 ²⁴  kg y r =6,37 × 10 ⁶  m , entonces U =2,24 × 10 ³²  J . Esto equivale aproximadamente a una semana de la producción total de energía del Sol . Es37,5 MJ/kg , 60% del valor absoluto de la energía potencial por kilogramo en la superficie.

La dependencia real de la densidad con la profundidad, inferida de los tiempos de viaje sísmico (ver ecuación de Adams-Williamson ), se proporciona en el Modelo Terrestre de Referencia Preliminar (PREM). ^[4] Usando esto, la energía de enlace gravitacional real de la Tierra se puede calcular numéricamente como U =2,49 × 10 ³²  J .

Según el teorema del virial , la energía de enlace gravitacional de una estrella es aproximadamente dos veces su energía térmica interna para que se mantenga el equilibrio hidrostático . ^[2] A medida que el gas en una estrella se vuelve más relativista , la energía de enlace gravitacional requerida para el equilibrio hidrostático se acerca a cero y la estrella se vuelve inestable (altamente sensible a las perturbaciones), lo que puede conducir a una supernova en el caso de una estrella de gran masa. debido a una fuerte presión de radiación o a un agujero negro en el caso de una estrella de neutrones .

Derivación para una esfera uniforme

La energía de enlace gravitacional de una esfera con radio se encuentra imaginando que se separa moviendo sucesivamente capas esféricas hasta el infinito, la más externa primero, y encontrando la energía total necesaria para eso. ${\displaystyle R}$

Suponiendo una densidad constante , las masas de una cáscara y la esfera dentro de ella son: ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle m_{\mathrm {shell} }=4\pi r^{2}\rho \,dr}$$

$${\displaystyle m_{\mathrm {interior} }={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho }$$

La energía requerida para un caparazón es el negativo de la energía potencial gravitacional:

$${\displaystyle dU=-G{\frac {m_{\mathrm {shell} }m_{\mathrm {interior} }}{r}}}$$

La integración de todos los shells produce:

$${\displaystyle U=-G\int _{0}^{R}{\frac {\left(4\pi r^{2}\rho \right)\left({\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}\rho \right)}{r}}dr=-G{\frac {16}{3}}\pi ^{2}\rho ^{2}\int _{0}^{R}{r^{4}}dr=-G{\frac {16}{15}}{\pi }^{2}{\rho }^{2}R^{5}}$$

Dado que es simplemente igual a la masa del todo dividida por su volumen para objetos con densidad uniforme, por lo tanto ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle \rho ={\frac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}}$$

Y finalmente, conectar esto a nuestro resultado conduce a

$${\displaystyle U=-G{\frac {16}{15}}\pi ^{2}R^{5}\left({\frac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}\right)^{2}=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}}$$

Energía de enlace gravitacional

${\displaystyle U=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}}$

Componente de masa negativa

Dos cuerpos, colocados a una distancia R entre sí y sin moverse recíprocamente, ejercen una fuerza gravitacional sobre un tercer cuerpo ligeramente más pequeño cuando R es pequeño. Esto puede verse como un componente de masa negativo del sistema, igual, para soluciones uniformemente esféricas, a:

$${\displaystyle M_{\mathrm {binding} }=-{\frac {3GM^{2}}{5Rc^{2}}}}$$

Por ejemplo, el hecho de que la Tierra sea una esfera gravitacional de su tamaño actual cuesta 2,494 21 × 10 ¹⁵  kg de masa (aproximadamente una cuarta parte de la masa de Fobos ; véase más arriba el mismo valor en julios ), y si sus átomos estuvieran escasos en un volumen arbitrariamente grande, la Tierra pesaría su masa actual más2,494 21 × 10 ¹⁵  kg kilogramos (y, en consecuencia, su atracción gravitacional sobre un tercer cuerpo sería más fuerte).

Se puede demostrar fácilmente que este componente negativo nunca puede exceder al componente positivo de un sistema. Una energía de enlace negativa mayor que la masa del sistema mismo requeriría que el radio del sistema fuera menor que:

$${\displaystyle R\leq {\frac {3GM}{5c^{2}}}}$$

radio de Schwarzschild ${\textstyle {\frac {3}{10}}}$

$${\displaystyle R\leq {\frac {3}{10}}r_{\mathrm {s} }}$$

relativistas^[5]

Esferas no uniformes

Los planetas y las estrellas tienen gradientes de densidad radial desde sus superficies de menor densidad hasta sus núcleos comprimidos mucho más densos. Los objetos de materia degenerada (enanas blancas; púlsares de estrellas de neutrones) tienen gradientes de densidad radial más correcciones relativistas.

Las ecuaciones de estado relativistas de las estrellas de neutrones incluyen una gráfica de radio versus masa para varios modelos. ^[6] Los radios más probables para una determinada masa de estrella de neutrones están agrupados por los modelos AP4 (radio más pequeño) y MS2 (radio más grande). BE es la relación entre la masa de energía de enlace gravitacional equivalente y la masa gravitacional observada de una estrella de neutrones de M con radio R ,

$${\displaystyle BE={\frac {0.60\,\beta }{1-{\frac {\beta }{2}}}}}$$

$${\displaystyle \beta ={\frac {GM}{Rc^{2}}}.}$$

Dados los valores actuales

• ${\displaystyle G=6.6743\times 10^{-11}\,\mathrm {m^{3}\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}} }$^[7]
• ${\displaystyle c^{2}=8.98755\times 10^{16}\,\mathrm {m^{2}\cdot s^{-2}} }$
• ${\displaystyle M_{\odot }=1.98844\times 10^{30}\,\mathrm {kg} }$

y la masa de la estrella M expresada en relación con la masa solar,

$${\displaystyle M_{x}={\frac {M}{M_{\odot }}},}$$

entonces la energía de enlace fraccionaria relativista de una estrella de neutrones es

$${\displaystyle BE={\frac {885.975\,M_{x}}{R-738.313\,M_{x}}}}$$

Ver también

• Tensor estrés-energía
• Pseudotensor estrés-energía-momento
• efecto Nordtvedt

Referencias

1. "Detecta el grupo". www.eso.org . Consultado el 31 de julio de 2017 .
2. Chandrasekhar, S. 1939, Introducción al estudio de la estructura estelar (Chicago: U. de Chicago; reimpreso en Nueva York: Dover), sección 9, ecuaciones. 90–92, pág. 51 (edición de Dover)
3. Lang, KR 1980, Fórmulas astrofísicas (Berlín: Springer Verlag), pág. 272
4. Dziewonski, AM ; Anderson, DL (1981). "Modelo terrestre de referencia preliminar". Física de la Tierra e Interiores Planetarios . 25 (4): 297–356. Código Bib : 1981PEPI...25..297D. doi :10.1016/0031-9201(81)90046-7.
5. Katz, José; Lynden-Bell, Donald; Bičák, Jiří (27 de octubre de 2006). "Energía gravitacional en espacios-tiempos estacionarios". Gravedad clásica y cuántica . 23 (23): 7111–7128. arXiv : gr-qc/0610052 . Código Bib : 2006CQGra..23.7111K. doi :10.1088/0264-9381/23/23/030. S2CID  1375765.
6. Masas y radios de estrellas de neutrones Archivado el 17 de diciembre de 2011 en Wayback Machine , p. 9/20, abajo
7. "Valor CODATA 2018: constante de gravitación newtoniana". La referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . 20 de mayo de 2019 . Consultado el 20 de mayo de 2019 .