Desigualdad máxima-mínima

En matemáticas, la desigualdad máxima-mínima es la siguiente:

Para cualquier función ${\displaystyle \ f:Z\times W\to \mathbb {R} \ ,}$

${\displaystyle \sup _{z\in Z}\inf _{w\in W}f(z,w)\leq \inf _{w\in W}\sup _{z\in Z}f(z,w)\ .}$

Cuando se cumple la igualdad, se dice que f , W y Z satisfacen una propiedad máxima-mín fuerte (o una propiedad del punto de silla ). La función de ejemplo ilustra que la igualdad no se cumple para todas las funciones. ${\displaystyle \ f(z,w)=\sin(z+w)\ }$

Un teorema que da condiciones sobre f , W y Z que garantizan la propiedad del punto de silla se llama teorema minimax .

Prueba

Definir For all , obtenemos for all por definición de que el mínimo es un límite inferior. A continuación, para todos , para todos por definición, el supremo es un límite superior. Por lo tanto, para todos y , estableciendo un límite superior para cualquier elección de . Debido a que el supremum es el límite superior mínimo, es válido para todos . A partir de esta desigualdad, también vemos que es un límite inferior en . Por la propiedad del límite inferior mayor del mínimo, . Juntando todas las piezas obtenemos ${\displaystyle g(z)\triangleq \inf _{w\in W}f(z,w)\ .}$ ${\displaystyle z\in Z}$ ${\textstyle g(z)\leq f(z,w)}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\textstyle w\in W}$ ${\displaystyle f(z,w)\leq \sup _{z\in Z}f(z,w)}$ ${\textstyle z\in Z}$ ${\displaystyle z\in Z}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle g(z)\leq f(z,w)\leq \sup _{z\in Z}f(z,w)}$ ${\displaystyle h(w)\triangleq \sup _{z\in Z}f(z,w)}$ ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle \sup _{z\in Z}g(z)\leq h(w)}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle \sup _{z\in Z}g(z)}$ ${\displaystyle h(w)}$ ${\displaystyle \sup _{z\in Z}g(z)\leq \inf _{w\in W}h(w)}$

${\displaystyle \sup _{z\in Z}\inf _{w\in W}f(z,w)=\sup _{z\in Z}g(z)\leq \inf _{w\in W}h(w)=\inf _{w\in W}\sup _{z\in Z}f(z,w)}$

lo que demuestra la desigualdad deseada. ${\displaystyle \blacksquare }$

Referencias

• Boyd, Esteban; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimización convexa (PDF) . Prensa de la Universidad de Cambridge .

Ver también

• Teorema minimax