Desigualdad de Van der Corput

En matemáticas , la desigualdad de van der Corput es un corolario de la desigualdad de Cauchy-Schwarz que es útil en el estudio de correlaciones entre vectores y, por tanto, de variables aleatorias . También es útil en el estudio de secuencias equidistribuidas , por ejemplo en la estimación de equidistribución de Weyl. En términos generales, la desigualdad de van der Corput afirma que si un vector unitario en un espacio de producto interno está fuertemente correlacionado con muchos vectores unitarios , entonces muchos de los pares deben estar fuertemente correlacionados entre sí. Aquí, la noción de correlación se precisa por el producto interno del espacio : cuando el valor absoluto de es cercano a , entonces y se consideran fuertemente correlacionados. (De manera más general, si los vectores involucrados no son vectores unitarios, entonces una correlación fuerte significa que ...) ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n}\in V}$ ${\displaystyle u_{i},u_{j}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle u,v\rangle }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle |\langle u,v\rangle |\approx \|u\|\|v\|}$

Declaración de la desigualdad

Sea un espacio de producto interno real o complejo con producto interno y norma inducida . Supongamos eso y aquello . Entonces ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle v,u_{1},\dots ,u_{n}\in V}$ ${\displaystyle \|v\|=1}$

${\displaystyle \displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}|\langle v,u_{i}\rangle |\right)^{2}\leq \sum _{i,j=1}^{n}|\langle u_{i},u_{j}\rangle |.}$

En términos de la heurística de correlación mencionada anteriormente, si está fuertemente correlacionado con muchos vectores unitarios , entonces el lado izquierdo de la desigualdad será grande, lo que obliga a una proporción significativa de los vectores a estar fuertemente correlacionados entre sí. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n}\in V}$ ${\displaystyle u_{i}}$

Prueba de la desigualdad

Empezamos notando que para cualquiera existe (real o complejo) tal que y . Entonces, ${\displaystyle i\in 1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ ${\displaystyle |\epsilon _{i}|=1}$ ${\displaystyle |\langle v,u_{i}\rangle |=\epsilon _{i}\langle v,u_{i}\rangle }$

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}\left|\langle v,u_{i}\rangle \right|\right)^{2}}$

${\displaystyle =\left(\sum _{i=1}^{n}\epsilon _{i}\langle v,u_{i}\rangle \right)^{2}}$

${\displaystyle =\left(\left\langle v,\sum _{i=1}^{n}\epsilon _{i}u_{i}\right\rangle \right)^{2}}$ya que el producto interno es bilineal

${\displaystyle \leq \|v\|^{2}\left\|\sum _{i=1}^{n}\epsilon _{i}u_{i}\right\|^{2}}$por la desigualdad de Cauchy-Schwarz

${\displaystyle =\|v\|^{2}\left\langle \sum _{i=1}^{n}\epsilon _{i}u_{i},\sum _{j=1}^{n}\epsilon _{i}u_{j}\right\rangle }$por la definición de la norma inducida

${\displaystyle =\sum _{i,j=1}^{n}\epsilon _{i}\epsilon _{j}\langle u_{i},u_{j}\rangle }$ya que es un vector unitario y el producto interno es bilineal ${\displaystyle v}$

${\displaystyle \leq \sum _{i,j=1}^{n}|\langle u_{i},u_{j}\rangle |}$ya que para todos . ${\displaystyle |\epsilon _{i}|=1}$ ${\displaystyle i}$

enlaces externos

• Una publicación de blog de Terence Tao sobre la transitividad de la correlación, incluida la desigualdad de van der Corput [1]