Desigualdad de Ahlswede-Daykin

Desigualdad de tipo correlación para cuatro funciones en una red distributiva finita

La desigualdad de Ahlswede-Daykin (Ahlswede y Daykin 1978), también conocida como teorema de las cuatro funciones (o desigualdad ), es una desigualdad de tipo correlación para cuatro funciones en una red distributiva finita . Es una herramienta fundamental en la mecánica estadística y la combinatoria probabilística (especialmente los grafos aleatorios y el método probabilístico ).

La desigualdad establece que si son funciones no negativas en una red distributiva finita tales que ${\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}}$

${\displaystyle f_{1}(x)f_{2}(y)\leq f_{3}(x\vee y)f_{4}(x\wedge y)}$

para todos los x , y en la red, entonces

${\displaystyle f_{1}(X)f_{2}(Y)\leq f_{3}(X\vee Y)f_{4}(X\wedge Y)}$

para todos los subconjuntos X , Y de la red, donde

${\displaystyle f(X)=\sum _{x\in X}f(x)}$

y

${\displaystyle X\vee Y=\{x\vee y\mid x\in X,y\in Y\}}$

${\displaystyle X\wedge Y=\{x\wedge y\mid x\in X,y\in Y\}.}$

La desigualdad de Ahlswede-Daykin se puede utilizar para proporcionar una prueba breve tanto de la desigualdad de Holley como de la desigualdad de FKG . También implica la desigualdad XYZ .

Para una prueba, véase el artículo original (Ahlswede y Daykin 1978) o (Alon y Spencer 2000).

Generalizaciones

El "teorema de las cuatro funciones" se generalizó independientemente a 2 k funciones en (Aharoni y Keich 1996) y (Rinott y Saks 1991).

Referencias

• Ahlswede, Rudolf; Daykin, David E. (1978), "Una desigualdad para los pesos de dos familias de conjuntos, sus uniones e intersecciones", Probability Theory and Related Fields , 43 (3): 183–185, CiteSeerX  10.1.1.380.8629 , doi :10.1007/BF00536201, ISSN  0178-8051, MR  0491189, S2CID  120659862
• Alon, N.; Spencer, JH (2000), El método probabilístico. Segunda edición. Con un apéndice sobre la vida y la obra de Paul Erdős. , Wiley-Interscience, Nueva York, ISBN 978-0-471-37046-8, Sr.  1885388
• Fishburn, PC (2001) [1994], "Desigualdad de Ahlswede-Daykin", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Aharoni, Ron; Keich, Uri (1996), "Una generalización de la desigualdad de Ahlswede Daykin", Matemáticas discretas , 152 (1–3): 1–12, doi :10.1016/0012-365X(94)00294-S
• Rinott, Yosef; Saks, Michael (1991), "Desigualdades de correlación y una conjetura para permanentes", Combinatorica , 13 (3): 269–277, doi :10.1007/BF01202353, S2CID  206791629