Desigualdad de Turán-Kubilius

Teorema de la teoría probabilística de números sobre funciones aritméticas complejas aditivas

La desigualdad de Turán-Kubilius es un teorema matemático de la teoría probabilística de números . Es útil para demostrar resultados sobre el orden normal de una función aritmética . ^{[1] : 305–308} El teorema fue demostrado en un caso especial en 1934 por Pál Turán y generalizado en 1956 y 1964 por Jonas Kubilius . ^{[1] : 316}

Enunciado del teorema

Esta formulación es de Tenenbaum . ^{[1] : 302} Otras formulaciones están en Narkiewicz ^{[2] : 243} y en Cojocaru & Murty. ^{[3] : 45–46}

Supongamos que f es una función aritmética compleja aditiva y escribimos p para un primo arbitrario y ν para un entero positivo arbitrario. Escribimos

${\displaystyle A(x)=\sum _{p^{\nu }\leq x}f(p^{\nu })p^{-\nu }(1-p^{-1})}$

y

${\displaystyle B(x)^{2}=\sum _{p^{\nu }\leq x}\left|f(p^{\nu })\right|^{2}p^{-\nu }.}$

Entonces existe una función ε( x ) que tiende a cero cuando x tiende a infinito, y tal que para x ≥ 2 tenemos

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\sum _{n\leq x}|f(n)-A(x)|^{2}\leq (2+\varepsilon (x))B(x)^{2}.}$

Aplicaciones del teorema

Turán desarrolló la desigualdad para crear una prueba más simple del teorema de Hardy-Ramanujan acerca del orden normal del número ω( n ) de divisores primos distintos de un entero n . ^{[1] : 316} Hay una exposición de la prueba de Turán en Hardy & Wright, §22.11. ^[4] Tenenbaum ^{[1] : 305–308} da una prueba del teorema de Hardy-Ramanujan usando la desigualdad de Turán-Kubilius y establece sin prueba varias otras aplicaciones.

Notas

1. Tenenbaum, Gérald (1995). Introducción a la teoría analítica y probabilística de números . Estudios de Cambridge sobre matemáticas avanzadas. Vol. 46. Cambridge University Press. ISBN 0-521-41261-7.
2. Narkiewicz, Władysław (1983). Teoría de números. Singapur: World Scientific. ISBN 978-9971-950-13-2.
3. Cojocaru, Alina Carmen ; Murty, M. Ram (2005). Introducción a los métodos de tamiz y sus aplicaciones . Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 66. Cambridge University Press. ISBN 0-521-61275-6.
4. Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [Primera edición 1938]. Introducción a la teoría de números . Revisado por DR Heath-Brown y Joseph H. Silverman (sexta edición). Oxford, Oxfordshire: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5.