Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Desigualdad matemática que relaciona productos internos y normas.

La desigualdad de Cauchy-Schwarz (también llamada desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz ) ^{[1] [2] [3] [4]} es un límite superior del producto interno entre dos vectores en un espacio de producto interno en términos del producto de normas vectoriales . Se considera una de las desigualdades más importantes y más utilizadas en matemáticas. ^[5]

La desigualdad de sumas fue publicada por Augustin-Louis Cauchy  (1821). La desigualdad correspondiente para integrales fue publicada por Viktor Bunyakovsky  (1859) ^[2] y Hermann Schwarz  (1888). Schwarz dio la prueba moderna de la versión integral. ^[5]

Declaración de la desigualdad

La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para todos los vectores y de un espacio de producto interno ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

¿Dónde está el producto interno ? Ejemplos de productos internos incluyen el producto escalar real y complejo ; vea los ejemplos en el producto interno . Todo producto interno da lugar a una norma euclidiana , llamada norma canónica o inducida , donde la norma de un vector se denota y define por ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle l_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

$${\displaystyle \|\mathbf {u} \|:={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }},}$$

^{[6] [7]} ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }$

Además, los dos lados son iguales si y sólo si y son linealmente dependientes . ^{[8] [9] [10]} ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Casos especiales

Lema de Sedrakyan - Números reales positivos

La desigualdad de Sedrakyan , también llamada desigualdad de Bergström , forma de Engel , el lema T2, o lema de Titu , establece que para números reales y números reales positivos : ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}}$

$${\displaystyle {\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{n}v_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}\quad {\text{ or equivalently, }}\quad {\frac {\left(u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}\right)^{2}}{v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n}}}\leq {\frac {u_{1}^{2}}{v_{1}}}+{\frac {u_{2}^{2}}{v_{2}}}+\cdots +{\frac {u_{n}^{2}}{v_{n}}}.}$$

Es una consecuencia directa de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, obtenida utilizando el producto escalar al sustituir y . Esta forma es especialmente útil cuando la desigualdad involucra fracciones donde el numerador es un cuadrado perfecto . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle u_{i}'=u_{i}/{\sqrt {v_{i}}}}$ ${\displaystyle v_{i}'={\sqrt {v_{i}}}}$

R 2 - El avión

Desigualdad de Cauchy-Schwarz en un círculo unitario del plano euclidiano

El espacio vectorial real denota el plano bidimensional. También es el espacio euclidiano bidimensional donde el producto interno es el producto escalar . Si y entonces la desigualdad de Cauchy-Schwarz se convierte en: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{1},u_{2}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{1},v_{2}\right)}$

$${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}=(\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|\cos \theta )^{2}\leq \|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2},}$$

ángulo ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

La forma anterior es quizás la más fácil para entender la desigualdad, ya que el cuadrado del coseno puede ser como máximo 1, lo que ocurre cuando los vectores están en direcciones iguales o opuestas. También se puede reformular en términos de las coordenadas vectoriales , , y como ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle u_{2}}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$

$${\displaystyle \left(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}\right)^{2}\leq \left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}\right)\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right),}$$

${\displaystyle \left(u_{1},u_{2}\right)}$ ${\displaystyle \left(v_{1},v_{2}\right)}$

R n -espacio euclidiano n -dimensional

En el espacio euclidiano con el producto interno estándar, que es el producto escalar , la desigualdad de Cauchy-Schwarz se convierte en: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).}$$

La desigualdad de Cauchy-Schwarz se puede demostrar utilizando sólo álgebra elemental en este caso observando que la diferencia entre los lados derecho e izquierdo es ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1,\ldots ,n}(u_{i}v_{j}-u_{j}v_{i})^{2}\geq 0}$

o considerando el siguiente polinomio cuadrático en ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \left(u_{1}x+v_{1}\right)^{2}+\cdots +\left(u_{n}x+v_{n}\right)^{2}=\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)x^{2}+2\left(\sum _{i}u_{i}v_{i}\right)x+\sum _{i}v_{i}^{2}.}$$

Dado que este último polinomio no es negativo, tiene como máximo una raíz real, por lo que su discriminante es menor o igual a cero. Eso es,

$${\displaystyle \left(\sum _{i}u_{i}v_{i}\right)^{2}-\left(\sum _{i}{u_{i}^{2}}\right)\left(\sum _{i}{v_{i}^{2}}\right)\leq 0.}$$

C n - n -espacio complejo dimensional

Si con y (donde y ) y si el producto interno en el espacio vectorial es el producto interno complejo canónico (definido por dónde se usa la notación de barra para la conjugación compleja ), entonces la desigualdad se puede reformular más explícitamente de la siguiente manera: ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{1},\ldots ,u_{n}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)}$ ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle :=u_{1}{\overline {v_{1}}}+\cdots +u_{n}{\overline {v_{n}}},}$

$${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}=\left|\sum _{k=1}^{n}u_{k}{\bar {v}}_{k}\right|^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =\left(\sum _{k=1}^{n}u_{k}{\bar {u}}_{k}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}v_{k}{\bar {v}}_{k}\right)=\sum _{j=1}^{n}\left|u_{j}\right|^{2}\sum _{k=1}^{n}\left|v_{k}\right|^{2}.}$$

Eso es,

$${\displaystyle \left|u_{1}{\bar {v}}_{1}+\cdots +u_{n}{\bar {v}}_{n}\right|^{2}\leq \left(\left|u_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|u_{n}\right|^{2}\right)\left(\left|v_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|v_{n}\right|^{2}\right).}$$

L 2

Para el espacio de producto interno de funciones de valores complejos integrables al cuadrado , la siguiente desigualdad:

$${\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|^{2}\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}|g(x)|^{2}\,dx.}$$

La desigualdad de Hölder es una generalización de esto.

Aplicaciones

Análisis

En cualquier espacio producto interno , la desigualdad del triángulo es una consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, como ahora se muestra:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}&=\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle &&\\&=\|\mathbf {u} \|^{2}+\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle +\|\mathbf {v} \|^{2}~&&~{\text{ where }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }}\\&=\|\mathbf {u} \|^{2}+2\operatorname {Re} \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\|\mathbf {v} \|^{2}&&\\&\leq \|\mathbf {u} \|^{2}+2|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |+\|\mathbf {v} \|^{2}&&\\&\leq \|\mathbf {u} \|^{2}+2\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {v} \|^{2}~&&~{\text{ using CS}}\\&=(\|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|)^{2}.&&\end{alignedat}}}$$

Al sacar raíces cuadradas se obtiene la desigualdad del triángulo:

$${\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|.}$$

La desigualdad de Cauchy-Schwarz se utiliza para demostrar que el producto interno es una función continua con respecto a la topología inducida por el propio producto interno. ^{[11] [12]}

Geometría

La desigualdad de Cauchy-Schwarz permite extender la noción de "ángulo entre dos vectores" a cualquier espacio de producto interno real definiendo: ^{[13] [14]}

$${\displaystyle \cos \theta _{\mathbf {u} \mathbf {v} }={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}}.}$$

La desigualdad de Cauchy-Schwarz demuestra que esta definición es sensata, al mostrar que el lado derecho se encuentra en el intervalo [−1, 1] y justifica la noción de que los espacios (reales) de Hilbert son simplemente generalizaciones del espacio euclidiano . También se puede utilizar para definir un ángulo en espacios complejos de producto interno , tomando el valor absoluto o la parte real del lado derecho, ^{[15] [16]} como se hace al extraer una métrica de fidelidad cuántica .

Teoría de probabilidad

Sean y variables aleatorias , entonces la desigualdad de covarianza ^{[17] [18]} viene dada por: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle \operatorname {Var} (X)\geq {\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)^{2}}{\operatorname {Var} (Y)}}.}$$

Después de definir un producto interno en el conjunto de variables aleatorias utilizando la expectativa de su producto,

$${\displaystyle \langle X,Y\rangle :=\operatorname {E} (XY),}$$

$${\displaystyle |\operatorname {E} (XY)|^{2}\leq \operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (Y^{2}).}$$

Para probar la desigualdad de covarianza utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, sea y luego ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)}$ ${\displaystyle \nu =\operatorname {E} (Y),}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\operatorname {Cov} (X,Y)|^{2}&=|\operatorname {E} ((X-\mu )(Y-\nu ))|^{2}\\&=|\langle X-\mu ,Y-\nu \rangle |^{2}\\&\leq \langle X-\mu ,X-\mu \rangle \langle Y-\nu ,Y-\nu \rangle \\&=\operatorname {E} \left((X-\mu )^{2}\right)\operatorname {E} \left((Y-\nu )^{2}\right)\\&=\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y),\end{aligned}}}$$

varianzacovarianza ${\displaystyle \operatorname {Var} }$ ${\displaystyle \operatorname {Cov} }$

Pruebas

Hay muchas pruebas diferentes ^[19] de la desigualdad de Cauchy-Schwarz además de las que se indican a continuación. ^{[5] [7]} Al consultar otras fuentes, a menudo hay dos fuentes de confusión. Primero, algunos autores definen ⟨⋅,⋅⟩ como lineal en el segundo argumento en lugar del primero. En segundo lugar, algunas pruebas sólo son válidas cuando el campo es y no ^[20] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Esta sección ofrece dos demostraciones del siguiente teorema:

Desigualdad de Cauchy-Schwarz  :  sean y vectores arbitrarios en un espacio producto interno sobre el campo escalar donde está el campo de números reales o números complejos. Entonces ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

conigualdad que se mantiene en la desigualdad de Cauchy-Schwarz si y solo si yson linealmente dependientes . ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Además, si y entonces ${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {v} \|^{2}}}\mathbf {v} .}$

En las dos pruebas que se dan a continuación, la prueba en el caso trivial en el que al menos uno de los vectores es cero (o equivalentemente, en el caso de ) es la misma. Se presenta inmediatamente debajo solo una vez para reducir la repetición. También incluye la parte fácil de la prueba de la Caracterización de Igualdad dada anteriormente; es decir, demuestra que si y son linealmente dependientes entonces ${\displaystyle \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|=0}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|.}$

En consecuencia, la desigualdad de Cauchy-Schwarz solo necesita demostrarse para vectores distintos de cero y también solo debe mostrarse la dirección no trivial de la Caracterización de Igualdad.

Prueba mediante el teorema de Pitágoras

El caso especial de fue probado anteriormente, por lo que en adelante se supone que Let ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} .}$

$${\displaystyle \mathbf {z} :=\mathbf {u} -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} .}$$

De la linealidad del producto interno en su primer argumento se deduce que:

$${\displaystyle \langle \mathbf {z} ,\mathbf {v} \rangle =\left\langle \mathbf {u} -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} ,\mathbf {v} \right\rangle =\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =0.}$$

Por lo tanto, es un vector ortogonal al vector (De hecho, es la proyección de sobre el plano ortogonal a ) Así podemos aplicar el teorema de Pitágoras a ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} .}$

$${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} +\mathbf {z} }$$

$${\displaystyle \|\mathbf {u} \|^{2}=\left|{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\right|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}+\|\mathbf {z} \|^{2}={\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{(\|\mathbf {v} \|^{2})^{2}}}\,\|\mathbf {v} \|^{2}+\|\mathbf {z} \|^{2}={\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{\|\mathbf {v} \|^{2}}}+\|\mathbf {z} \|^{2}\geq {\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{\|\mathbf {v} \|^{2}}}.}$$

La desigualdad de Cauchy-Schwarz se obtiene multiplicando por y luego sacando la raíz cuadrada. Además, si la relación en la expresión anterior es en realidad una igualdad, entonces y por lo tanto la definición de entonces establece una relación de dependencia lineal entre y. Lo contrario se demostró al comienzo de esta sección, por lo que la prueba está completa. ${\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}}$ ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle \|\mathbf {z} \|^{2}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {0} ;}$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} .}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Prueba analizando una cuadrática

Considere un par arbitrario de vectores . Defina la función definida por , donde es un número complejo que satisface y . Tal existe ya que if entonces puede considerarse 1. ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} }$ ${\displaystyle p:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(t)=\langle t\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} ,t\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle |\alpha |=1}$ ${\displaystyle \alpha \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0}$ ${\displaystyle \alpha }$

Dado que el producto interno es positivo-definido, solo toma valores reales no negativos. Por otro lado, se puede ampliar utilizando la bilinealidad del producto interior: ${\displaystyle p(t)}$ ${\displaystyle p(t)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(t)&=\langle t\alpha \mathbf {u} ,t\alpha \mathbf {u} \rangle +\langle t\alpha \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {v} ,t\alpha \mathbf {u} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \\&=t\alpha t{\overline {\alpha }}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle +t\alpha \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +t{\overline {\alpha }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \\&=\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}t^{2}+2|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |t+\lVert \mathbf {v} \rVert ^{2}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =0,}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \Delta =4\left(|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}-\Vert \mathbf {u} \Vert ^{2}\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}\right)\leqslant 0.}$$

^[21]

Para el caso de igualdad, observe que sucede si y sólo si Si entonces y por tanto ${\displaystyle \Delta =0}$ ${\displaystyle p(t)=(t\Vert \mathbf {u} \Vert +\Vert \mathbf {v} \Vert )^{2}.}$ ${\displaystyle t_{0}=-\Vert \mathbf {v} \Vert /\Vert \mathbf {u} \Vert ,}$ ${\displaystyle p(t_{0})=\langle t_{0}\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} ,t_{0}\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle =0,}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =-t_{0}\alpha \mathbf {u} .}$

Generalizaciones

Existen varias generalizaciones de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. La desigualdad de Hölder la generaliza a normas. De manera más general, puede interpretarse como un caso especial de definición de la norma de un operador lineal en un espacio de Banach (es decir, cuando el espacio es un espacio de Hilbert ). Otras generalizaciones se encuentran en el contexto de la teoría de operadores , por ejemplo, para funciones operador-convexas y álgebras de operadores , donde el dominio y/o rango se reemplazan por un álgebra C* o un álgebra W* . ${\displaystyle L^{p}}$

Se puede utilizar un producto interno para definir un funcional lineal positivo . Por ejemplo, dado que un espacio de Hilbert es una medida finita, el producto interno estándar da lugar a un funcional positivo por. A la inversa, cada funcional lineal positivo on se puede usar para definir un producto interno donde es el conjugado complejo puntual de En este lenguaje, el La desigualdad de Cauchy-Schwarz se convierte en ^[22] ${\displaystyle L^{2}(m),m}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (g)=\langle g,1\rangle .}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle L^{2}(m)}$ ${\displaystyle \langle f,g\rangle _{\varphi }:=\varphi \left(g^{*}f\right),}$ ${\displaystyle g^{*}}$ ${\displaystyle g.}$

$${\displaystyle \left|\varphi \left(g^{*}f\right)\right|^{2}\leq \varphi \left(f^{*}f\right)\varphi \left(g^{*}g\right),}$$

que se extiende textualmente a funcionales positivos en C*-álgebras:

Desigualdad de Cauchy-Schwarz para funcionales positivos en álgebras C* ^{[23] [24]}  —  Si es un funcional lineal positivo en un álgebra C*, entonces para todos ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle a,b\in A,}$ ${\displaystyle \left|\varphi \left(b^{*}a\right)\right|^{2}\leq \varphi \left(b^{*}b\right)\varphi \left(a^{*}a\right).}$

Los dos teoremas siguientes son ejemplos adicionales del álgebra de operadores.

Desigualdad de Kadison-Schwarz ^{[25] [26]}  (llamada así en honor a Richard Kadison )  :  si es una aplicación unital positiva, entonces, para cada elemento normal en su dominio, tenemos y ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varphi (a^{*}a)\geq \varphi \left(a^{*}\right)\varphi (a)}$ ${\displaystyle \varphi \left(a^{*}a\right)\geq \varphi (a)\varphi \left(a^{*}\right).}$

Esto amplía el hecho de que es un funcional lineal. Es decir, el caso en el que es autoadjunto se conoce a veces como desigualdad de Kadison . ${\displaystyle \varphi \left(a^{*}a\right)\cdot 1\geq \varphi (a)^{*}\varphi (a)=|\varphi (a)|^{2},}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=a^{*},}$

Desigualdad de Cauchy-Schwarz  (Desigualdad de Schwarz modificada para mapas 2 positivos ^[27] )  :  para un mapa 2 positivos entre álgebras C*, para todos en su dominio, ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a,b}$

$${\displaystyle \varphi (a)^{*}\varphi (a)\leq \Vert \varphi (1)\Vert \varphi \left(a^{*}a\right),{\text{ and }}}$$

$${\displaystyle \Vert \varphi \left(a^{*}b\right)\Vert ^{2}\leq \Vert \varphi \left(a^{*}a\right)\Vert \cdot \Vert \varphi \left(b^{*}b\right)\Vert .}$$

Otra generalización es un refinamiento obtenido interpolando entre ambos lados de la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

La desigualdad de Callebaut ^[28]  —  De verdad ${\displaystyle 0\leqslant s\leqslant t\leqslant 1,}$

$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}~\leqslant ~\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1+s}b_{i}^{1-s}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-s}b_{i}^{1+s}\right)~\leqslant ~\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1+t}b_{i}^{1-t}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-t}b_{i}^{1+t}\right)~\leqslant ~\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right).}$$

Este teorema se puede deducir de la desigualdad de Hölder . ^[29] También existen versiones no conmutativas para operadores y productos tensoriales de matrices. ^[30]

Se aplican varias versiones matriciales de la desigualdad de Cauchy-Schwarz y de la desigualdad de Kantorovich a los modelos de regresión lineal. ^{[31] [32]}

Ver también

• Desigualdad de Bessel  – teoremaPages displaying wikidata descriptions as a fallbackPages displaying short descriptions with no spaces
• Desigualdad de Hölder  - Desigualdad entre integrales en espacios Lp
• Desigualdad de Jensen  – Teorema de funciones convexas
• Desigualdad de Kantorovich
• Desigualdad Kunita-Watanabe
• Desigualdad de Minkowski  : desigualdad que estableció que los espacios L ^p son espacios vectoriales normados
• Desigualdad de Paley-Zygmund  : desigualdad que se aplica a variables aleatorias de varianza finitaPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Notas

Citas

1. O'Connor, JJ; Robertson, EF "Hermann Amandus Schwarz". Universidad de St Andrews , Escocia .
2. Bityutskov, VI (2001) [1994], "Desigualdad de Bunyakovskii", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
3. Ćurgus, Branko. "Desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz". Departamento de Matemáticas. Universidad Occidental de Washington .
4. Joyce, David E. "La desigualdad de Cauchy" (PDF) . Departamento de Matemáticas e Informática. Universidad Clark . Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022.
5. Steele, J. Michael (2004). La clase magistral de Cauchy-Schwarz: una introducción al arte de las desigualdades matemáticas. La Asociación Matemática de América. pag. 1.ISBN​ 978-0521546775. ...no hay duda de que esta es una de las desigualdades más utilizadas e importantes en todas las matemáticas.
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9. Hassani, Sadri (1999). Física matemática: una introducción moderna a sus fundamentos . Saltador. pag. 29.ISBN​ 0-387-98579-4. La igualdad se cumple si <c|c>=0 o |c>=0. De la definición de |c>, concluimos que |a> y |b> deben ser proporcionales.
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Referencias

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• Steele, JM (2004), La clase magistral Cauchy-Schwarz, Cambridge University Press, ISBN 0-521-54677-X

enlaces externos

• Usos más tempranos: la entrada sobre la desigualdad de Cauchy-Schwarz tiene información histórica.
• Ejemplo de aplicación de la desigualdad de Cauchy-Schwarz para determinar vectores linealmente independientes Tutorial y programa interactivo.