Descomposición de Kalman

Teoría matemática

En la teoría de control , la descomposición de Kalman proporciona un medio matemático para convertir una representación de cualquier sistema de control lineal invariante en el tiempo (LTI) en una forma en la que el sistema se puede descomponer en una forma estándar que deja en claro los componentes observables y controlables del sistema. Esta descomposición da como resultado que el sistema se presente con una estructura más esclarecedora, lo que facilita la extracción de conclusiones sobre los subespacios alcanzables y observables del sistema.

Definición

Considere el sistema de control LTI de tiempo continuo

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$,

${\displaystyle \,y(t)=Cx(t)+Du(t)}$,

o el sistema de control LTI de tiempo discreto

${\displaystyle \,x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)}$,

${\displaystyle \,y(k)=Cx(k)+Du(k)}$.

La descomposición de Kalman se define como la realización de este sistema obtenida al transformar las matrices originales de la siguiente manera:

${\displaystyle \,{\hat {A}}=TA{T}^{-1}}$,

${\displaystyle \,{\hat {B}}=TB}$,

${\displaystyle \,{\hat {C}}=C{T}^{-1}}$,

${\displaystyle \,{\hat {D}}=D}$,

¿Dónde está la matriz de transformación de coordenadas definida como? ${\displaystyle \,T^{-1}}$

${\displaystyle \,T^{-1}={\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}&T_{\overline {ro}}&T_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}$,

y cuyas submatrices son

• ${\displaystyle \,T_{r{\overline {o}}}}$ :una matriz cuyas columnas abarcan el subespacio de estados que son tanto alcanzables como inobservables.
• ${\displaystyle \,T_{ro}}$ :elegido de modo que las columnas de sean una base para el subespacio alcanzable. ${\displaystyle \,{\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle \,T_{\overline {ro}}}$ :elegido de modo que las columnas de sean una base para el subespacio inobservable. ${\displaystyle \,{\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{\overline {ro}}\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle \,T_{{\overline {r}}o}}$ :elegido de modo que sea invertible. ${\displaystyle \,{\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}&T_{\overline {ro}}&T_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}$

Se puede observar que algunas de estas matrices pueden tener dimensión cero. Por ejemplo, si el sistema es observable y controlable, entonces , lo que hace que las demás matrices sean de dimensión cero. ${\displaystyle \,T^{-1}=T_{ro}}$

Consecuencias

Utilizando los resultados de controlabilidad y observabilidad, se puede demostrar que el sistema transformado tiene matrices en la siguiente forma: ${\displaystyle \,({\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},{\hat {D}})}$

${\displaystyle \,{\hat {A}}={\begin{bmatrix}A_{r{\overline {o}}}&A_{12}&A_{13}&A_{14}\\0&A_{ro}&0&A_{24}\\0&0&A_{\overline {ro}}&A_{34}\\0&0&0&A_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \,{\hat {B}}={\begin{bmatrix}B_{r{\overline {o}}}\\B_{ro}\\0\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \,{\hat {C}}={\begin{bmatrix}0&C_{ro}&0&C_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \,{\hat {D}}=D}$

Esto nos lleva a la conclusión de que

• El subsistema es a la vez alcanzable y observable. ${\displaystyle \,(A_{ro},B_{ro},C_{ro},D)}$
• El subsistema es accesible. ${\displaystyle \,\left({\begin{bmatrix}A_{r{\overline {o}}}&A_{12}\\0&A_{ro}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}B_{r{\overline {o}}}\\B_{ro}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&C_{ro}\end{bmatrix}},D\right)}$
• El subsistema es observable. ${\displaystyle \,\left({\begin{bmatrix}A_{ro}&A_{24}\\0&A_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}B_{ro}\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}C_{ro}&C_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}},D\right)}$

Variantes

También existe una descomposición de Kalman para sistemas cuánticos dinámicos lineales . A diferencia de los sistemas dinámicos clásicos, la transformación de coordenadas utilizada en esta variante requiere pertenecer a una clase específica de transformaciones debido a las leyes físicas de la mecánica cuántica. ^[1]

Véase también

• Realización (sistemas)
• Observabilidad
• Controlabilidad

Referencias

1. Zhang, Guofeng; Grivopoulos, Symeon; Petersen, Ian R.; Gough, John E. (febrero de 2018). "La descomposición de Kalman para sistemas cuánticos lineales". IEEE Transactions on Automatic Control . 63 (2): 331–346. doi :10.1109/TAC.2017.2713343. hdl : 10397/77565 . ISSN  1558-2523. S2CID  10544143.

Enlaces externos

• Conferencias sobre sistemas dinámicos y control, conferencia 25 - Mohammed Dahleh  [ar] , Munther Dahleh , George Verghese — MIT OpenCourseWare