Derivado de Grünwald-Letnikov

En matemáticas , la derivada de Grünwald-Letnikov es una extensión básica de la derivada en cálculo fraccionario que permite tomar la derivada un número no entero de veces. Fue introducida por Anton Karl Grünwald (1838-1920) en Praga , en 1867, y por Aleksey Vasilievich Letnikov (1837-1888) en Moscú en 1868.

Construcción de la derivada de Grünwald-Letnikov

La fórmula

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

La derivada se puede aplicar de forma recursiva para obtener derivadas de orden superior. Por ejemplo, la derivada de segundo orden sería:

${\displaystyle {\begin{aligned}f''(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}\\&=\lim _{h_{1}\to 0}{\frac {\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{1}+h_{2})-f(x+h_{1})}{h_{2}}}-\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{2})-f(x)}{h_{2}}}}{h_{1}}}\end{aligned}}}$

Suponiendo que las h convergen sincrónicamente, esto se simplifica a:

${\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}}$

lo cual se puede justificar rigurosamente mediante el teorema del valor medio . En general, tenemos (ver coeficiente binomial ):

${\displaystyle f^{(n)}(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\sum \limits _{0\leq m\leq n}(-1)^{m}{n \choose m}f(x+(n-m)h)}{h^{n}}}}$

Eliminando la restricción de que n sea un entero positivo, es razonable definir:

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{q}}}\sum _{0\leq m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+(q-m)h).}$

Esto define la derivada de Grünwald-Letnikov.

Para simplificar la notación, establecemos:

${\displaystyle \Delta _{h}^{q}f(x)=\sum _{0\leq m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+(q-m)h).}$

Por lo tanto, la derivada de Grünwald-Letnikov puede escribirse sucintamente como:

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\Delta _{h}^{q}f(x)}{h^{q}}}.}$

Una definición alternativa

En la sección anterior se derivó la ecuación general de primeros principios para derivadas de orden entero. Se puede demostrar que la ecuación también puede escribirse como

${\displaystyle f^{(n)}(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {(-1)^{n}}{h^{n}}}\sum _{0\leq m\leq n}(-1)^{m}{n \choose m}f(x+mh).}$

o eliminando la restricción de que n debe ser un entero positivo:

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {(-1)^{q}}{h^{q}}}\sum _{0\leq m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+mh).}$

Esta ecuación se denomina derivada inversa de Grünwald-Letnikov. Si se realiza la sustitución h → − h , la ecuación resultante se denomina derivada directa de Grünwald-Letnikov: ^[1]

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{q}}}\sum _{0\leq m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x-mh).}$

Referencias

1. Ortigueira, Manuel Duarte; Coito, Fernando (2004), "De las diferencias a las derivadas" (PDF) , Cálculo fraccional y análisis aplicado , 7 (4): 459–471, MR  2251527

Lectura adicional

• El cálculo fraccionario , de Oldham, K.; y Spanier, J. Tapa dura: 234 páginas. Editorial: Academic Press, 1974. ISBN 0-12-525550-0