Densidad de estados

Número de estados físicos disponibles por unidad de energía

En física de la materia condensada , la densidad de estados ( DOS ) de un sistema describe el número de modos o estados permitidos por rango de energía unitaria. La densidad de estados se define como , donde es el número de estados en el sistema de volumen cuyas energías se encuentran en el rango de a . Se representa matemáticamente como una distribución por una función de densidad de probabilidad y generalmente es un promedio sobre los dominios de espacio y tiempo de los diversos estados ocupados por el sistema. La densidad de estados está directamente relacionada con las relaciones de dispersión de las propiedades del sistema. Una DOS alta en un nivel de energía específico significa que muchos estados están disponibles para ser ocupados. ${\displaystyle D(E)=N(E)/V}$ ${\displaystyle N(E)\delta E}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E+\delta E}$

En general, la densidad de estados de la materia es continua. Sin embargo, en sistemas aislados , como átomos o moléculas en fase gaseosa, la distribución de densidad es discreta , como una densidad espectral . Las variaciones locales, que suelen deberse a distorsiones del sistema original, suelen denominarse densidades locales de estados (LDOS).

Introducción

En los sistemas mecánicos cuánticos, las ondas, o partículas similares a ondas, pueden ocupar modos o estados con longitudes de onda y direcciones de propagación dictadas por el sistema. Por ejemplo, en algunos sistemas, el espaciamiento interatómico y la carga atómica de un material pueden permitir que solo existan electrones de ciertas longitudes de onda. En otros sistemas, la estructura cristalina de un material puede permitir que las ondas se propaguen en una dirección, mientras que suprime la propagación de ondas en otra dirección. A menudo, solo se permiten estados específicos. Por lo tanto, puede suceder que muchos estados estén disponibles para ser ocupados en un nivel de energía específico, mientras que ningún estado esté disponible en otros niveles de energía.

Si se observa la densidad de estados de los electrones en el borde de la banda entre las bandas de valencia y conducción en un semiconductor, para un electrón en la banda de conducción, un aumento de la energía del electrón hace que haya más estados disponibles para ocupar. Alternativamente, la densidad de estados es discontinua para un intervalo de energía, lo que significa que no hay estados disponibles para que los electrones los ocupen dentro del intervalo de banda del material. Esta condición también significa que un electrón en el borde de la banda de conducción debe perder al menos la energía del intervalo de banda del material para poder pasar a otro estado en la banda de valencia.

Esto determina si el material es un aislante o un metal en la dimensión de la propagación. El resultado del número de estados en una banda también es útil para predecir las propiedades de conducción. Por ejemplo, en una estructura cristalina unidimensional, un número impar de electrones por átomo da como resultado una banda superior medio llena; hay electrones libres en el nivel de Fermi, lo que da como resultado un metal. Por otro lado, un número par de electrones llena exactamente un número entero de bandas, dejando el resto vacío. Si entonces el nivel de Fermi se encuentra en un hueco de banda ocupado entre el estado ocupado más alto y el estado vacío más bajo, el material será un aislante o semiconductor .

Dependiendo del sistema mecánico cuántico, la densidad de estados se puede calcular para electrones , fotones o fonones , y se puede dar como una función de la energía o del vector de onda k . Para convertir entre la DOS como una función de la energía y la DOS como una función del vector de onda, se debe conocer la relación de dispersión de energía específica del sistema entre E y k .

En general, las propiedades topológicas del sistema, como la estructura de bandas, tienen un gran impacto en las propiedades de la densidad de estados. Los sistemas más conocidos, como la materia de neutrones en las estrellas de neutrones y los gases de electrones libres en los metales (ejemplos de materia degenerada y un gas de Fermi ), tienen una topología euclidiana tridimensional . Los sistemas menos conocidos, como los gases de electrones bidimensionales (2DEG) en capas de grafito y el sistema de efecto Hall cuántico en dispositivos tipo MOSFET , tienen una topología euclidiana bidimensional. Aún menos conocidos son los nanotubos de carbono , el cable cuántico y el líquido de Luttinger con sus topologías unidimensionales. Es probable que los sistemas con topologías 1D y 2D se vuelvan más comunes, suponiendo que continúen los desarrollos en nanotecnología y ciencia de materiales .

Definición

La densidad de estados relacionada con el volumen V y N niveles de energía contables se define como: Debido a que el cambio de momento permitido más pequeño para una partícula en una caja de dimensión y longitud es , la densidad de estados relacionada con el volumen para niveles de energía continuos se obtiene en el límite como Aquí, es la dimensión espacial del sistema considerado y el vector de onda. $${\displaystyle D(E)={\frac {1}{V}}\,\sum _{i=1}^{N}\delta (E-E({\mathbf {k} }_{i})).}$$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (\Delta k)^{d}=({2\pi }/{L})^{d}}$ ${\displaystyle L\to \infty }$ $${\displaystyle D(E):=\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\frac {\mathrm {d} ^{d}k}{(2\pi )^{d}}}\cdot \delta (E-E(\mathbf {k} )),}$$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

Para sistemas unidimensionales isótropos con dispersión de energía parabólica, la densidad de estados es . En dos dimensiones, la densidad de estados es una constante , mientras que en tres dimensiones se convierte en . ${\textstyle D_{1D}(E)={\tfrac {1}{2\pi \hbar }}({\tfrac {2m}{E}})^{1/2}}$ ${\displaystyle D_{2D}={\tfrac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}}$ ${\displaystyle D_{3D}(E)={\tfrac {m}{2\pi ^{2}\hbar ^{3}}}(2mE)^{1/2}}$

De manera equivalente, la densidad de estados también puede entenderse como la derivada de la función de partición microcanónica (es decir, el número total de estados con energía menor que ) con respecto a la energía: ${\displaystyle Z_{m}(E)}$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle D(E)={\frac {1}{V}}\cdot {\frac {\mathrm {d} Z_{m}(E)}{\mathrm {d} E}}.}$$

El número de estados con energía (grado de degeneración) viene dado por: donde la última igualdad sólo se aplica cuando el teorema del valor medio para integrales es válido. ${\displaystyle E'}$ $${\displaystyle g\left(E'\right)=\lim _{\Delta E\to 0}\int _{E'}^{E'+\Delta E}D(E)\,\mathrm {d} E=\lim _{\Delta E\to 0}D\left(E'\right)\Delta E,}$$

Simetría

Primera zona de Brillouin de la red FCC , un octaedro truncado , que muestra etiquetas de simetría para líneas y puntos de alta simetría

Existe una gran variedad de sistemas y tipos de estados para los que se pueden realizar cálculos DOS.

Algunos sistemas de materia condensada poseen una simetría estructural a escala microscópica que puede aprovecharse para simplificar el cálculo de sus densidades de estados. En sistemas esféricamente simétricos, las integrales de funciones son unidimensionales porque todas las variables en el cálculo dependen únicamente del parámetro radial de la relación de dispersión. Los fluidos , los vidrios y los sólidos amorfos son ejemplos de un sistema simétrico cuyas relaciones de dispersión tienen una simetría rotacional.

Octaedro.

Las mediciones en polvos o muestras policristalinas requieren funciones de evaluación y cálculo e integrales sobre todo el dominio , con mayor frecuencia una zona de Brillouin , de las relaciones de dispersión del sistema de interés. A veces, la simetría del sistema es alta, lo que hace que la forma de las funciones que describen las relaciones de dispersión del sistema aparezca muchas veces sobre todo el dominio de la relación de dispersión. En tales casos, el esfuerzo para calcular la DOS se puede reducir en gran medida cuando el cálculo se limita a una zona reducida o dominio fundamental . ^[1] La zona de Brillouin de la red cúbica centrada en las caras (FCC) en la figura de la derecha tiene la simetría de 48 pliegues del grupo puntual O _h con simetría octaédrica completa . Esta configuración significa que la integración sobre todo el dominio de la zona de Brillouin se puede reducir a una 48ª parte de toda la zona de Brillouin. Como muestra la tabla periódica de estructuras cristalinas , hay muchos elementos con una estructura cristalina FCC, como el diamante , el silicio y el platino , y sus zonas de Brillouin y relaciones de dispersión tienen esta simetría de 48 pliegues. Otras dos estructuras cristalinas conocidas son la red cúbica centrada en el cuerpo (BCC) y las estructuras hexagonales cerradas empaquetadas (HCP) con redes cúbicas y hexagonales, respectivamente. La estructura BCC tiene la simetría piritoédrica de 24 pliegues del grupo puntual T _h . La estructura HCP tiene la simetría diédrica prismática de 12 pliegues del grupo puntual D _3h . Se puede encontrar una lista completa de las propiedades de simetría de un grupo puntual en las tablas de caracteres de grupos puntuales .

En general, es más fácil calcular una DOS cuando la simetría del sistema es mayor y el número de dimensiones topológicas de la relación de dispersión es menor. La DOS de las relaciones de dispersión con simetría rotacional a menudo se puede calcular analíticamente. Este resultado es afortunado, ya que muchos materiales de interés práctico, como el acero y el silicio, tienen una alta simetría.

En sistemas de materia condensada anisotrópica, como un monocristal de un compuesto, la densidad de estados podría ser diferente en una dirección cristalográfica que en otra. Esto hace que la densidad anisotrópica de estados sea más difícil de visualizar y podría requerir métodos como el cálculo de la DOS solo para puntos o direcciones particulares, o el cálculo de la densidad proyectada de estados (PDOS) para una orientación particular del cristal.

a-topologías espaciales

Figura 1: Superficie esférica en el espacio k para electrones en tres dimensiones.

La densidad de estados depende de los límites dimensionales del propio objeto. En un sistema descrito por tres parámetros ortogonales (3 dimensiones), las unidades de DOS son [Energía] ⁻¹ [Volumen] ⁻¹ , en un sistema bidimensional, las unidades de DOS son [Energía] ⁻¹ [Área] ⁻¹ , en un sistema unidimensional, las unidades de DOS son [Energía] ⁻¹ [Longitud] ⁻¹ . El volumen de referencia es el volumen del espacio k ; el espacio encerrado por la superficie de energía constante del sistema derivada a través de una relación de dispersión que relaciona E con k . En la figura 1 se da un ejemplo de un espacio k tridimensional . Se puede ver que la dimensionalidad del sistema confina el momento de las partículas dentro del sistema.

Densidad de estados del vector de onda (esfera)

El cálculo para DOS comienza contando los N estados permitidos en un cierto k que están contenidos dentro de [ k , k + d k ] dentro del volumen del sistema. Este procedimiento se realiza diferenciando todo el volumen del espacio k en n-dimensiones en un k arbitrario , con respecto a k . El volumen, área o longitud en espacios k esféricos de 3, 2 o 1 dimensiones se expresan mediante ${\displaystyle \Omega _{n,k}}$ $${\displaystyle \Omega _{n}(k)=c_{n}k^{n}}$$

para un espacio k n -dimensional con las constantes determinadas topológicamente para funciones simétricas lineales, de disco y esféricas en espacios k euclidianos unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales respectivamente. $${\displaystyle c_{1}=2,\ c_{2}=\pi ,\ c_{3}={\frac {4\pi }{3}}}$$

Según este esquema, la densidad de estados del vector de onda N se expresa, mediante la diferenciación con respecto a k , por ${\displaystyle \Omega _{n,k}}$ $${\displaystyle N_{n}(k)={\frac {\mathrm {d} \Omega _{n}(k)}{\mathrm {d} k}}=n\;c_{n}\;k^{n-1}}$$

La densidad unidimensional, bidimensional y tridimensional de los estados del vector de onda para una línea, un disco o una esfera se escriben explícitamente como $${\displaystyle {\begin{aligned}N_{1}(k)&=2\\N_{2}(k)&=2\pi k\\N_{3}(k)&=4\pi k^{2}\end{aligned}}}$$

Un estado es lo suficientemente grande como para contener partículas que tienen una longitud de onda λ. La longitud de onda está relacionada con k a través de la relación. $${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$$

En un sistema cuántico, la longitud de λ dependerá de un espaciamiento característico del sistema L que confina las partículas. Finalmente, la densidad de estados N se multiplica por un factor , donde s es un factor de degeneración constante que tiene en cuenta los grados de libertad internos debidos a fenómenos físicos como el espín o la polarización. Si no existe tal fenómeno, entonces . V _k es el volumen en el espacio k cuyos vectores de onda son más pequeños que los vectores de onda más pequeños posibles determinados por el espaciamiento característico del sistema. ${\displaystyle s/V_{k}}$ ${\displaystyle s=1}$

Densidad de estados de energía

Para finalizar el cálculo de la DOS, encuentre el número de estados por unidad de volumen de muestra a una energía dentro de un intervalo . La forma general de la DOS de un sistema se da como El esquema esbozado hasta ahora solo se aplica a relaciones de dispersión monótonamente crecientes y esféricamente simétricas . En general, la relación de dispersión no es esféricamente simétrica y en muchos casos tampoco aumenta continuamente. Para expresar D como una función de E, la inversa de la relación de dispersión debe sustituirse en la expresión de como una función de k para obtener la expresión de como una función de la energía. Si la relación de dispersión no es esféricamente simétrica o continuamente creciente y no se puede invertir fácilmente, entonces en la mayoría de los casos la DOS debe calcularse numéricamente. Hay derivaciones más detalladas disponibles. ^{[2] [3]} ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle [E,E+\mathrm {d} E]}$ $${\displaystyle D_{n}\left(E\right)={\frac {\mathrm {d} \Omega _{n}(E)}{\mathrm {d} E}}}$$ ${\displaystyle E(k)}$ ${\displaystyle E(k)}$ ${\displaystyle \Omega _{n}(k)}$ ${\displaystyle \Omega _{n}(E)}$

Relaciones de dispersión

La relación de dispersión de los electrones en un sólido viene dada por la estructura de banda electrónica .

La energía cinética de una partícula depende de la magnitud y la dirección del vector de onda k , de las propiedades de la partícula y del entorno en el que se mueve la partícula. Por ejemplo, la energía cinética de un electrón en un gas de Fermi está dada por $${\displaystyle E=E_{0}+{\frac {\left(\hbar k\right)^{2}}{2m}}\ ,}$$

donde m es la masa del electrón . La relación de dispersión es una parábola esféricamente simétrica y aumenta continuamente, por lo que la DOS se puede calcular fácilmente.

Figura 2: Relación de dispersión de fonones de cadena monoatómica

Para los fonones longitudinales en una cadena de átomos, la relación de dispersión de la energía cinética en un espacio k unidimensional , como se muestra en la Figura 2, está dada por donde es la frecuencia del oscilador, la masa de los átomos, la constante de fuerza interatómica y el espaciamiento interatómico. Para valores pequeños de la relación de dispersión es lineal: $${\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}\left|\sin \left({\frac {ka}{2}}\right)\right|}$$ ${\textstyle \omega _{0}={\sqrt {k_{\text{F}}/m}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k_{\text{F}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle k\ll \pi /a}$ $${\displaystyle E=\hbar \omega _{0}ka}$$

Cuando la energía es ${\displaystyle k\approx \pi /a}$ $${\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}\left|\cos \left({\frac {\pi -ka}{2}}\right)\right|}$$

Con la transformación y lo pequeño esta relación se puede transformar en ${\displaystyle q=k-\pi /a}$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}\left[1-\left({\frac {qa}{2}}\right)^{2}\right]}$$

Relaciones de dispersión isotrópica

Los dos ejemplos mencionados aquí se pueden expresar así: $${\displaystyle E=E_{0}+c_{k}k^{p}}$$

Esta expresión es un tipo de relación de dispersión porque interrelaciona dos propiedades de onda y es isotrópica porque en la expresión solo aparece la longitud y no la dirección del vector de onda. La magnitud del vector de onda está relacionada con la energía como: $${\displaystyle k=\left({\frac {E-E_{0}}{c_{k}}}\right)^{{1}/{p}},}$$

En consecuencia, el volumen del espacio k n-dimensional que contiene vectores de onda menores que k es: $${\displaystyle \Omega _{n}(k)=c_{n}k^{n}}$$

La sustitución de la relación de energía isótropa da el volumen de estados ocupados $${\displaystyle \Omega _{n}(E)={\frac {c_{n}}{{c_{k}}^{\frac {n}{p}}}}\left(E-E_{0}\right)^{{n}/{p}},}$$

Diferenciando este volumen con respecto a la energía se obtiene una expresión para la DOS de la relación de dispersión isótropa. $${\displaystyle D_{n}\left(E\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} E}}\Omega _{n}(E)={\frac {nc_{n}}{p{c_{k}}^{\frac {n}{p}}}}\left(E-E_{0}\right)^{{\frac {n}{p}}-1}}$$

Dispersión parabólica

Figura 3: DOS de electrones libres en el espacio k tridimensional

En el caso de una relación de dispersión parabólica ( p = 2), tal como se aplica a los electrones libres en un gas de Fermi, la densidad de estados resultante, , para los electrones en un sistema n-dimensional es ${\displaystyle D_{n}\left(E\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}D_{1}\left(E\right)&={\frac {1}{2{\sqrt {c_{k}\left(E-E_{0}\right)}}}}\\[1ex]D_{2}\left(E\right)&={\frac {\pi }{2c_{k}}}\\[1ex]D_{3}\left(E\right)&=\pi {\sqrt {\frac {E-E_{0}}{c_{k}^{3}}}}\,.\end{aligned}}}$$

para , con para . ${\displaystyle E>E_{0}}$ ${\displaystyle D(E)=0}$ ${\displaystyle E<E_{0}}$

En sistemas unidimensionales, la DOS diverge en la parte inferior de la banda a medida que cae a . En sistemas bidimensionales, la DOS resulta ser independiente de . Finalmente, para sistemas tridimensionales, la DOS aumenta como la raíz cuadrada de la energía. ^[4] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle E}$

Incluyendo el prefactor , la expresión para el DOS 3D es ${\displaystyle s/V_{k}}$ $${\displaystyle N(E)={\frac {V}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}},}$$

donde es el volumen total, e incluye la degeneración de espín doble. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N(E-E_{0})}$

Dispersión lineal

En el caso de una relación lineal ( p = 1), tal como se aplica a los fotones , fonones acústicos o algunos tipos especiales de bandas electrónicas en un sólido, la DOS en sistemas unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales está relacionada con la energía como:

$${\displaystyle {\begin{aligned}D_{1}\left(E\right)&={\frac {1}{c_{k}}}\\[1ex]D_{2}\left(E\right)&=2\pi {\frac {E-E_{0}}{c_{k}^{2}}}\\[1ex]D_{3}\left(E\right)&=4\pi {\frac {\left(E-E_{0}\right)^{2}}{c_{k}^{3}}}\end{aligned}}}$$

Funciones de distribución

La densidad de estados juega un papel importante en la teoría cinética de los sólidos . El producto de la densidad de estados y la función de distribución de probabilidad es el número de estados ocupados por unidad de volumen a una energía dada para un sistema en equilibrio térmico. Este valor se utiliza ampliamente para investigar varias propiedades físicas de la materia. Los siguientes son ejemplos, utilizando dos funciones de distribución comunes, de cómo la aplicación de una función de distribución a la densidad de estados puede dar lugar a propiedades físicas.

Figura 4: La  Distribución de probabilidad de Fermi-Dirac,  densidad de estados, y  Su producto para un semiconductor. El lóbulo verde inferior representa la energía del hueco y, por lo tanto, se utiliza como función de distribución. ${\displaystyle f(-x)}$

Estadísticas de Fermi-Dirac : La función de distribución de probabilidad de Fermi-Dirac, figura 4, se utiliza para encontrar la probabilidad de que un fermión ocupe un estado cuántico específico en un sistema en equilibrio térmico. Los fermiones son partículas que obedecen al principio de exclusión de Pauli (por ejemplo, electrones, protones, neutrones). La función de distribución se puede escribir como $${\displaystyle f_{\mathrm {FD} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)+1}}.}$$

${\displaystyle \mu }$es el potencial químico (también denominado E _F y llamado nivel de Fermi cuando T = 0), es la constante de Boltzmann y es la temperatura. La figura 4 ilustra cómo el producto de la función de distribución de Fermi-Dirac y la densidad tridimensional de estados para un semiconductor puede brindar información sobre propiedades físicas como la concentración de portadores y las brechas de banda de energía. ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ ${\displaystyle T}$

Estadísticas de Bose-Einstein : La función de distribución de probabilidad de Bose-Einstein se utiliza para encontrar la probabilidad de que un bosón ocupe un estado cuántico específico en un sistema en equilibrio térmico. Los bosones son partículas que no obedecen al principio de exclusión de Pauli (por ejemplo, los fonones y los fotones). La función de distribución se puede escribir como $${\displaystyle f_{\mathrm {BE} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\text{B}}T}}\right)-1}}.}$$

A partir de estas dos distribuciones es posible calcular propiedades como la energía interna por unidad de volumen , el número de partículas , la capacidad calorífica específica y la conductividad térmica . Las relaciones entre estas propiedades y el producto de la densidad de estados y la distribución de probabilidad, que denota la densidad de estados por en lugar de , se dan por ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle g(E)}$ ${\displaystyle D(E)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\int E\,f(E)\,g(E)\,\mathrm {d} E\\[1ex]N&=V\int f(E)\,g(E)\,\mathrm {d} E\\[1ex]c&={\frac {\partial }{\partial T}}\int E\,f(E)\,g(E)\,\mathrm {d} E\\[1ex]k&={\frac {1}{d}}{\frac {\partial }{\partial T}}\int Ef(E)\,g(E)\,\nu (E)\,\Lambda (E)\,\mathrm {d} E\end{aligned}}}$$

${\displaystyle d}$es dimensionalidad, es velocidad del sonido y es camino libre medio . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Lambda }$

Aplicaciones

La densidad de estados aparece en muchas áreas de la física y ayuda a explicar una serie de fenómenos mecánicos cuánticos.

Cuantización

El cálculo de la densidad de estados para estructuras pequeñas muestra que la distribución de electrones cambia a medida que se reduce la dimensionalidad. En el caso de los cables cuánticos , la DOS para ciertas energías en realidad se vuelve más alta que la DOS para semiconductores masivos, y en el caso de los puntos cuánticos, los electrones se cuantifican a ciertas energías.

Cristales fotónicos

La densidad de fotones de los estados se puede manipular utilizando estructuras periódicas con escalas de longitud del orden de la longitud de onda de la luz. Algunas estructuras pueden inhibir completamente la propagación de la luz de ciertos colores (energías), creando una brecha de banda fotónica: la DOS es cero para esas energías de fotones. Otras estructuras pueden inhibir la propagación de la luz solo en ciertas direcciones para crear espejos, guías de ondas y cavidades. Estas estructuras periódicas se conocen como cristales fotónicos . ^{[5] [6] [7] [8]} En los medios nanoestructurados, el concepto de densidad local de estados (LDOS) suele ser más relevante que el de DOS, ya que la DOS varía considerablemente de un punto a otro.

Cálculo computacional

Los sistemas interesantes son en general complejos, por ejemplo, compuestos, biomoléculas, polímeros, etc. Debido a la complejidad de estos sistemas, el cálculo analítico de la densidad de estados es en la mayoría de los casos imposible. Las simulaciones por computadora ofrecen un conjunto de algoritmos para evaluar la densidad de estados con una alta precisión. Uno de estos algoritmos se denomina algoritmo de Wang y Landau . ^[9]

En el esquema de Wang y Landau no se requiere ningún conocimiento previo de la densidad de estados. Se procede de la siguiente manera: se discretiza la función de costo (por ejemplo, la energía) del sistema. Cada vez que se alcanza el bin i se actualiza un histograma para la densidad de estados, , mediante donde f se denomina factor de modificación. Tan pronto como se visita cada bin en el histograma un cierto número de veces (10-15), el factor de modificación se reduce mediante algún criterio, por ejemplo, donde n denota el n -ésimo paso de actualización. La simulación finaliza cuando el factor de modificación es menor que un cierto umbral, por ejemplo . ${\displaystyle g(i)}$ $${\displaystyle g(i)\rightarrow g(i)+f}$$ $${\displaystyle f_{n+1}\rightarrow {\frac {1}{2}}f_{n}}$$ ${\displaystyle f_{n}<10^{-8}}$

El algoritmo de Wang y Landau tiene algunas ventajas sobre otros algoritmos comunes como las simulaciones multicanónicas y el templado paralelo . Por ejemplo, la densidad de estados se obtiene como el producto principal de la simulación. Además, las simulaciones de Wang y Landau son completamente independientes de la temperatura. Esta característica permite calcular la densidad de estados de sistemas con un panorama energético muy irregular como las proteínas. ^[10]

Matemáticamente, la densidad de estados se formula en términos de una torre de mapas de cobertura. ^[11]

Densidad local de estados

Una característica importante de la definición del DOS es que se puede extender a cualquier sistema. Una de sus propiedades es la invariabilidad traslacional, lo que significa que la densidad de los estados es homogénea y es la misma en cada punto del sistema. Pero esto es sólo un caso particular y el LDOS da una descripción más amplia con una densidad heterogénea de estados a través del sistema.

Concepto

La densidad local de estados (LDOS) describe una densidad de estados resuelta espacialmente. En la ciencia de los materiales, por ejemplo, este término es útil para interpretar los datos de un microscopio de efecto túnel (STM), ya que este método es capaz de generar imágenes de densidades electrónicas de estados con resolución atómica. Según la estructura cristalina, esta cantidad se puede predecir mediante métodos computacionales, como por ejemplo con la teoría del funcional de la densidad .

Una definición general

En una densidad local de estados, la contribución de cada estado se pondera por la densidad de su función de onda en el punto. se convierte en ${\displaystyle N(E)}$ ${\displaystyle n(E,x)}$

$${\displaystyle n(E,x)=\sum _{j}|\phi _{j}(x)|^{2}\delta (E-\varepsilon _{j})}$$

El factor de significa que cada estado contribuye más en las regiones donde la densidad es alta. Un promedio de esta expresión restablecerá la fórmula habitual para un DOS. El LDOS es útil en sistemas no homogéneos, donde contiene más información que solo. ${\displaystyle |\phi _{j}(x)|^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n(E,x)}$ ${\displaystyle n(E)}$

Para un sistema unidimensional con una pared, las ondas sinusoidales dan

$${\displaystyle n_{1D}(E,x)={\frac {2}{\pi \hbar }}{\sqrt {\frac {2m}{E}}}\sin ^{2}{kx}}$$

dónde . ${\textstyle k={\sqrt {2mE}}/\hbar }$

En un sistema tridimensional con la expresión es ${\displaystyle x>0}$

$${\displaystyle n_{3D}(E,x)=\left(1-{\frac {\sin {2kx}}{2kx}}\right)n_{3D}(E)}$$

De hecho, podemos generalizar aún más la densidad local de estados.

$${\displaystyle n(E,x,x')=\sum _{j}\phi _{j}(x)\phi _{j}^{*}(x')\delta (E-\varepsilon _{j})}$$

Esto se denomina función espectral y es una función en la que cada función de onda se representa por separado en su propia variable. En teoría más avanzada, está relacionada con las funciones de Green y proporciona una representación compacta de algunos resultados, como la absorción óptica .

Densidad local de estados resuelta en el espacio. Una secuencia de imágenes con polarización de compuerta variable en un MOSFET de nanocables con polarización de drenaje {{{1}}} Observe los niveles de energía confinados a medida que se mueven con una polarización de compuerta creciente.

Dispositivos de estado sólido

La LDOS se puede utilizar para obtener ganancias en un dispositivo de estado sólido. Por ejemplo, la figura de la derecha ilustra la LDOS de un transistor cuando se enciende y se apaga en una simulación balística. La LDOS tiene un límite claro en la fuente y el drenaje, que corresponde a la ubicación del borde de la banda. En el canal, la DOS aumenta a medida que aumenta el voltaje de la compuerta y la barrera de potencial disminuye.

Óptica y fotónica

En óptica y fotónica , el concepto de densidad local de estados se refiere a los estados que puede ocupar un fotón. Para la luz, generalmente se mide mediante métodos de fluorescencia, métodos de escaneo de campo cercano o técnicas de catodoluminiscencia. Diferentes estructuras fotónicas tienen diferentes comportamientos LDOS con diferentes consecuencias para la emisión espontánea. En cristales fotónicos, se esperan LDOS cercanos a cero, lo que inhibe la emisión espontánea. ^[12] También se espera una mejora similar de LDOS en la cavidad plasmónica. ^[13] Sin embargo, en nanoestructuras fotónicas desordenadas, los LDOS se comportan de manera diferente. Fluctúan espacialmente con sus estadísticas y son proporcionales a la fuerza de dispersión de las estructuras. ^[14] Además, la relación con el camino libre medio de la dispersión es trivial ya que los LDOS aún pueden verse fuertemente influenciados por los detalles cortos de fuertes desordenes en forma de una fuerte mejora de Purcell de la emisión. ^[15] y finalmente, para el desorden plasmónico, este efecto es mucho más fuerte para las fluctuaciones LDOS, ya que se puede observar como una fuerte localización de campo cercano. ^[16]

Véase también

• Masa efectiva (física del estado sólido)
• Estructura de la banda
• teoría de perturbación k·p
• Semiconductor
• Conducción eléctrica
• Banda de valencia
• Modelo de Kronig-Penney
• Modelo de unión fuerte
• Aproximación de molde para muffins
• Guía de Britney Spears sobre la física de semiconductores

Referencias

1. Walter Ashley Harrison (1989). Estructura electrónica y propiedades de los sólidos. Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-66021-9.
2. Cálculo de la densidad de muestra de estados
3. "Otro cálculo de densidad de estados". Archivado desde el original el 16 de mayo de 2008. Consultado el 22 de mayo de 2008 .
4. Charles Kittel (1996). Introducción a la física del estado sólido (7.ª ed.). Wiley. Ecuación (37), pág. 216. ISBN 978-0-471-11181-8.
5. Yablonovitch, E. (1987). "Emisión espontánea inhibida en física del estado sólido y electrónica". Phys. Rev. Lett . 58 (20): 2059–2062. Bibcode :1987PhRvL..58.2059Y. doi : 10.1103/PhysRevLett.58.2059 . PMID  10034639.
6. John, Sajeev; Wang, Jian (1990). "Electrodinámica cuántica cerca de una brecha de banda fotónica: estados ligados a fotones y átomo revestido". Phys. Rev. Lett . 64 (20): 2418–2421. Bibcode :1990PhRvL..64.2418J. doi :10.1103/PhysRevLett.64.2418. PMID  10041707.
7. Lodahl, P.; van Driel, AF; Nikolaev, I. (2004). "Control de la dinámica de la emisión espontánea de puntos cuánticos mediante cristales fotónicos". Nature . 430 (1): 654–657. Bibcode :2004Natur.430..654L. doi :10.1038/nature02772. hdl : 1874/16698 . PMID  15295594. S2CID  4334567.
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Lectura adicional

• Chen, Gang. Transporte y conversión de energía a escala nanométrica. Nueva York: Oxford, 2005
• Streetman, Ben G. y Sanjay Banerjee. Dispositivos electrónicos de estado sólido. Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall, 2000.
• Muller, Richard S. y Theodore I. Kamins. Electrónica de dispositivos para circuitos integrados. Nueva York: John Wiley and Sons, 2003.
• Kittel, Charles y Herbert Kroemer. Física térmica. Nueva York: WH Freeman and Company, 1980
• Sze, Simon M. Física de dispositivos semiconductores. Nueva York: John Wiley and Sons, 1981

Enlaces externos

• Conferencia en línea: ECE 606, lección 8: Densidad de estados, por M. Alam
• Los científicos arrojan luz sobre los materiales brillantes Cómo medir el LDOS fotónico