Una densidad de empaque o fracción de empaque de un empaque en algún espacio es la fracción del espacio ocupado por las figuras que componen el empaque. En términos más simples, esta es la relación entre el volumen de los cuerpos en un espacio y el volumen del espacio mismo. En los problemas de empaquetamiento , el objetivo suele ser obtener un empaque de la mayor densidad posible.
Si K 1 ,..., K n son subconjuntos medibles de un espacio de medida compacto X y sus interiores por pares no se cruzan, entonces la colección [ K i ] es un empaquetamiento en X y su densidad de empaquetamiento es
Si el espacio que se está empaquetando es de medida infinita, como en el espacio euclidiano , se acostumbra definir la densidad como el límite de densidades exhibidas en bolas de radios cada vez mayores. Si B t es la bola de radio t centrada en el origen, entonces la densidad de un empaque [ K i : i ∈ ] es
Dado que este límite no siempre existe, también es útil definir las densidades superior e inferior como el límite superior y el límite inferior de las anteriores respectivamente. Si la densidad existe, las densidades superior e inferior son iguales. Siempre que cualquier bola del espacio euclidiano interseque solo un número finito de elementos del empaquetamiento y que los diámetros de los elementos estén acotados desde arriba, la densidad (superior, inferior) no depende de la elección del origen, y μ ( K i ∩ B t ) se puede reemplazar por μ ( K i ) para cada elemento que cruza a B t . [1] La bola también puede ser reemplazada por dilataciones de algún otro cuerpo convexo, pero en general las densidades resultantes no son iguales.
One is often interested in packings restricted to use elements of a certain supply collection. For example, the supply collection may be the set of all balls of a given radius. The optimal packing density or packing constant associated with a supply collection is the supremum of upper densities obtained by packings that are subcollections of the supply collection. If the supply collection consists of convex bodies of bounded diameter, there exists a packing whose packing density is equal to the packing constant, and this packing constant does not vary if the balls in the definition of density are replaced by dilations of some other convex body.[1]
A particular supply collection of interest is all Euclidean motions of a fixed convex body K. In this case, we call the packing constant the packing constant of K. The Kepler conjecture is concerned with the packing constant of 3-balls. Ulam's packing conjecture states that 3-balls have the lowest packing constant of any convex solid. All translations of a fixed body is also a common supply collection of interest, and it defines the translative packing constant of that body.
