Contorno de Hankel

Un camino de contorno de Hankel, recorrido en sentido positivo.

Esta es una versión del contorno de Hankel que consiste simplemente en una imagen reflejada lineal a través del eje real.

En matemáticas , un contorno de Hankel es un camino en el plano complejo que se extiende desde (+∞,δ), alrededor del origen en sentido antihorario y de regreso a (+∞,−δ), donde δ es un número positivo arbitrariamente pequeño. El contorno permanece así arbitrariamente cerca del eje real pero sin cruzar el eje real excepto para valores negativos de x . El contorno de Hankel también puede representarse por un camino que tiene imágenes especulares justo encima y debajo del eje real, conectadas a un círculo de radio ε, centrado en el origen, donde ε es un número arbitrariamente pequeño. Se dice que las dos porciones lineales del contorno están a una distancia de δ del eje real. Por lo tanto, la distancia total entre las porciones lineales del contorno es 2δ. ^[1] El contorno se recorre en el sentido de orientación positiva, lo que significa que el círculo alrededor del origen se recorre en sentido antihorario.

El uso de contornos de Hankel es uno de los métodos de integración de contornos . Este tipo de ruta para las integrales de contorno fue utilizada por primera vez por Hermann Hankel en sus investigaciones sobre la función Gamma .

El contorno de Hankel se utiliza para evaluar integrales como la función Gamma, la función zeta de Riemann y otras funciones de Hankel (que son funciones de Bessel del tercer tipo). ^{[1] [2]}

Aplicaciones

El contorno de Hankel y la función Gamma

El contorno de Hankel es útil para expresar y resolver la función Gamma en el plano t complejo . La función Gamma se puede definir para cualquier valor complejo en el plano si evaluamos la integral a lo largo del contorno de Hankel. El contorno de Hankel es especialmente útil para expresar la función Gamma para cualquier valor complejo porque los puntos finales del contorno se desvanecen y, por lo tanto, permite que se cumpla la propiedad fundamental de la función Gamma, que establece . ^[2] ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$

Derivación de la expresión integral de contorno de la función Gamma

El contorno de Hankel se puede utilizar para ayudar a derivar una expresión para la función Gamma, ^[2] basada en la propiedad fundamental . Supongamos un ansatz de la forma , donde es el contorno de Hankel. ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{C}f(t)t^{z-1}dt}$ ${\displaystyle C}$

Insertando este ansatz en la propiedad fundamental e integrando por partes en el lado derecho, se obtiene $${\displaystyle \int _{C}f(t)t^{z}dt=[t^{z}f(t)]-\int _{C}t^{z}f'(t)dt.}$$

Por lo tanto, suponiendo que se desintegra con la suficiente rapidez como para que desaparezca en los puntos finales del contorno de Hankel, ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle t^{z}f(t)}$ $${\displaystyle \int _{C}t^{z}(f(t)+f'(t))dt=0\implies f(t)+f'(t)=0.}$$

La solución de esta ecuación diferencial es Si bien es una constante con respecto a , puede ser, no obstante, una función de . Sustituyendo en la integral original, se obtiene donde el signo menos en se tiene en cuenta al absorber un factor en la definición de . ${\displaystyle f(t)=Ae^{-t}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f(t)}$ $${\displaystyle \Gamma (z)=A(z)\int _{C}e^{-t}(-t)^{z-1}dt,}$$ ${\displaystyle (-t)^{z-1}}$ ${\displaystyle (-1)^{z-1}}$ ${\displaystyle A(z)}$

Al integrar a lo largo del contorno de Hankel, la expresión integral del contorno de la función Gamma se convierte en ^{[ aclaración necesaria ]} . ^[2] ${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {i}{2\sin {\pi z}}}\int _{C}e^{-t}(-t)^{z-1}dt}$

Referencias

1. Krantz, Steven G. (Steven George), 1951- (1999). Manual de variables complejas . Boston, Mass.: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4011-8.OCLC 40964730  .{{cite book}}: CS1 maint: nombres múltiples: lista de autores ( enlace ) CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )
2. Moretti, Gino (1964). Funciones de una variable compleja . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. págs. 179–184. LCCN  64012240.

Lectura adicional

• Schmelzer, Thomas; Trefethen, Lloyd N. (2007-01). "Cálculo de la función gamma mediante integrales de contorno y aproximaciones racionales". Revista SIAM sobre análisis numérico. 45 (2): 558–571. doi :10.1137/050646342. ISSN  0036-1429.
• Hugh L. Montgomery ; Robert C. Vaughan (2007). Teoría de números multiplicativos I. Teoría clásica . Cambridge tracts in advanced mathematics. 97 . p. 515. ISBN 0-521-84903-9 . 

Enlaces externos

• http://mathworld.wolfram.com/HankelContour.html
• Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST: Función gamma: Representación integral