Del

Operador diferencial vectorial

Operador del,
representado por
el símbolo nabla

Del , o nabla , es un operador utilizado en matemáticas (particularmente en cálculo vectorial ) como operador diferencial vectorial , generalmente representado por el símbolo de nabla ∇ . Cuando se aplica a una función definida en un dominio unidimensional , denota la derivada estándar de la función tal como se define en cálculo . Cuando se aplica a un campo (una función definida en un dominio multidimensional), puede denotar cualquiera de tres operaciones dependiendo de la forma en que se aplica: el gradiente o la pendiente (localmente) más pronunciada de un campo escalar (o a veces de un campo vectorial , como en las ecuaciones de Navier-Stokes ); la divergencia de un campo vectorial; o la curvatura (rotación) de un campo vectorial.

Del es una notación matemática muy conveniente para esas tres operaciones (gradiente, divergencia y curvatura) que hace que muchas ecuaciones sean más fáciles de escribir y recordar. El símbolo del (o nabla) se puede definir formalmente como un operador vectorial cuyos componentes son los correspondientes operadores de derivada parcial . Como operador vectorial, puede actuar sobre campos escalares y vectoriales de tres maneras diferentes, dando lugar a tres operaciones diferenciales diferentes: primero, puede actuar sobre campos escalares mediante una multiplicación escalar "formal", para dar un campo vectorial llamado gradiente. ; en segundo lugar, puede actuar sobre campos vectoriales mediante un producto escalar "formal" , para dar un campo escalar llamado divergencia; y, por último, puede actuar sobre campos vectoriales mediante un producto cruzado "formal" , para dar un campo vectorial llamado rizo. Estos productos "formales" no necesariamente conmutan con otros operadores o productos. Estos tres usos, que se detallan a continuación, se resumen en:

• Degradado: ${\displaystyle \operatorname {grad} f=\nabla f}$
• Divergencia: ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=\nabla \cdot {\vec {v}}}$
• Rizo: ${\displaystyle \operatorname {curl} {\vec {v}}=\nabla \times {\vec {v}}}$

Definición

En el sistema de coordenadas cartesiano con coordenadas y base estándar , del es un operador vectorial cuyos componentes son los operadores de derivada parcial ; eso es, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \{{\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}\}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle {\partial \over \partial x_{1}},\dots ,{\partial \over \partial x_{n}}}$

${\displaystyle \nabla =\sum _{i=1}^{n}{\vec {e}}_{i}{\partial \over \partial x_{i}}=\left({\partial \over \partial x_{1}},\ldots ,{\partial \over \partial x_{n}}\right)}$

Donde la expresión entre paréntesis es un vector de fila. En un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional con coordenadas y base estándar o vectores unitarios de ejes , del se escribe como ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle \{{\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}\}}$

${\displaystyle \nabla =\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}=\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)}$

Como operador vectorial, del actúa naturalmente en campos escalares mediante multiplicación escalar y actúa naturalmente en campos vectoriales mediante productos escalares y productos cruzados.

Más específicamente, para cualquier campo escalar y cualquier campo vectorial , si se define ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}\right)f:={\partial \over \partial x_{i}}(\mathbf {e} _{i}f)={\partial f \over \partial x_{i}}\mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}\right)\cdot \mathbf {F} :={\partial \over \partial x_{i}}(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {F} )={\partial F_{i} \over \partial x_{i}}}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial x}(\mathbf {e} _{x}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial x}(0,-F_{z},F_{y})}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial y}(\mathbf {e} _{y}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial y}(F_{z},0,-F_{x})}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial z}(\mathbf {e} _{z}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial z}(-F_{y},F_{x},0),}$

luego, usando la definición anterior de , se puede escribir ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla f=\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\right)f+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\right)f+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\right)f={\partial f \over \partial x}\mathbf {e} _{x}+{\partial f \over \partial y}\mathbf {e} _{y}+{\partial f \over \partial z}\mathbf {e} _{z}}$

y

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\cdot \mathbf {F} \right)={\partial F_{x} \over \partial x}+{\partial F_{y} \over \partial y}+{\partial F_{z} \over \partial z}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &=\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\times \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\times \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\times \mathbf {F} \right)\\&={\partial \over \partial x}(0,-F_{z},F_{y})+{\partial \over \partial y}(F_{z},0,-F_{x})+{\partial \over \partial z}(-F_{y},F_{x},0)\\&=\left({\partial F_{z} \over \partial y}-{\partial F_{y} \over \partial z}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\partial F_{x} \over \partial z}-{\partial F_{z} \over \partial x}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\partial F_{y} \over \partial x}-{\partial F_{x} \over \partial y}\right)\mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}$

Ejemplo:

${\displaystyle f(x,y,z)=x+y+z}$

${\displaystyle \nabla f=\mathbf {e} _{x}{\partial f \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial f \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial f \over \partial z}=\left(1,1,1\right)}$

Del también se puede expresar en otros sistemas de coordenadas, véase por ejemplo del en coordenadas cilíndricas y esféricas .

Usos notacionales

Del se utiliza como forma abreviada para simplificar muchas expresiones matemáticas largas. Se utiliza más comúnmente para simplificar expresiones de gradiente , divergencia , curvatura , derivada direccional y laplaciana .

Degradado

La derivada vectorial de un campo escalar se llama gradiente y se puede representar como: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \operatorname {grad} f={\partial f \over \partial x}{\vec {e}}_{x}+{\partial f \over \partial y}{\vec {e}}_{y}+{\partial f \over \partial z}{\vec {e}}_{z}=\nabla f}$

Siempre apunta en la dirección de mayor aumento de y tiene una magnitud igual a la tasa máxima de aumento en el punto, como una derivada estándar. En particular, si una colina se define como una función de altura sobre un plano , el gradiente en una ubicación determinada será un vector en el plano xy (visualizable como una flecha en un mapa) que apunta a la dirección más empinada. La magnitud del gradiente es el valor de esta pendiente más pronunciada. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h(x,y)}$

En particular, esta notación es poderosa porque la regla del producto gradiente es muy similar al caso de la derivada 1d:

${\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f}$

Sin embargo, las reglas para los productos escalables no resultan simples, como lo ilustra:

${\displaystyle \nabla ({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})=({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {u}}+{\vec {u}}\times (\nabla \times {\vec {v}})+{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {u}})}$

Divergencia

La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar que se puede representar como: ${\displaystyle {\vec {v}}(x,y,z)=v_{x}{\vec {e}}_{x}+v_{y}{\vec {e}}_{y}+v_{z}{\vec {e}}_{z}}$

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}={\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}+{\partial v_{z} \over \partial z}=\nabla \cdot {\vec {v}}}$

La divergencia es aproximadamente una medida del aumento de un campo vectorial en la dirección en la que apunta; pero más exactamente, es una medida de la tendencia de ese campo a converger o divergir hacia un punto.

El poder de la notación del se muestra mediante la siguiente regla del producto:

${\displaystyle \nabla \cdot (f{\vec {v}})=(\nabla f)\cdot {\vec {v}}+f(\nabla \cdot {\vec {v}})}$

La fórmula para el producto vectorial es un poco menos intuitiva, porque este producto no es conmutativo:

${\displaystyle \nabla \cdot ({\vec {u}}\times {\vec {v}})=(\nabla \times {\vec {u}})\cdot {\vec {v}}-{\vec {u}}\cdot (\nabla \times {\vec {v}})}$

Rizo

La curvatura de un campo vectorial es una función vectorial que se puede representar como: ${\displaystyle {\vec {v}}(x,y,z)=v_{x}{\vec {e}}_{x}+v_{y}{\vec {e}}_{y}+v_{z}{\vec {e}}_{z}}$

${\displaystyle \operatorname {curl} {\vec {v}}=\left({\partial v_{z} \over \partial y}-{\partial v_{y} \over \partial z}\right){\vec {e}}_{x}+\left({\partial v_{x} \over \partial z}-{\partial v_{z} \over \partial x}\right){\vec {e}}_{y}+\left({\partial v_{y} \over \partial x}-{\partial v_{x} \over \partial y}\right){\vec {e}}_{z}=\nabla \times {\vec {v}}}$

La curvatura en un punto es proporcional al par sobre el eje al que estaría sometido un pequeño molinete si estuviera centrado en ese punto.

La operación del producto vectorial se puede visualizar como un pseudodeterminante :

${\displaystyle \nabla \times {\vec {v}}=\left|{\begin{matrix}{\vec {e}}_{x}&{\vec {e}}_{y}&{\vec {e}}_{z}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\[2pt]v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{matrix}}\right|}$

Nuevamente el poder de la notación se muestra mediante la regla del producto:

${\displaystyle \nabla \times (f{\vec {v}})=(\nabla f)\times {\vec {v}}+f(\nabla \times {\vec {v}})}$

La regla para el producto vectorial no resulta sencilla:

${\displaystyle \nabla \times ({\vec {u}}\times {\vec {v}})={\vec {u}}\,(\nabla \cdot {\vec {v}})-{\vec {v}}\,(\nabla \cdot {\vec {u}})+({\vec {v}}\cdot \nabla )\,{\vec {u}}-({\vec {u}}\cdot \nabla )\,{\vec {v}}}$

Derivado direccional

La derivada direccional de un campo escalar en la dirección se define como: ${\displaystyle f(x,y,z)}$ ${\displaystyle {\vec {a}}(x,y,z)=a_{x}{\vec {e}}_{x}+a_{y}{\vec {e}}_{y}+a_{z}{\vec {e}}_{z}}$

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot \operatorname {grad} f=a_{x}{\partial f \over \partial x}+a_{y}{\partial f \over \partial y}+a_{z}{\partial f \over \partial z}={\vec {a}}\cdot (\nabla f)}$

Esto da la tasa de cambio de un campo en la dirección de , escalada por la magnitud de . En notación de operador, el elemento entre paréntesis puede considerarse una única unidad coherente; La dinámica de fluidos utiliza ampliamente esta convención, denominándola derivada convectiva , la derivada "en movimiento" del fluido. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\vec {a}}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}}$

Tenga en cuenta que es un operador que lleva de un escalar a un escalar. Se puede ampliar para operar en un vector, operando por separado en cada uno de sus componentes. ${\displaystyle ({\vec {a}}\cdot \nabla )}$

laplaciano

El operador de Laplace es un operador escalar que se puede aplicar a campos vectoriales o escalares; para sistemas de coordenadas cartesianas se define como:

${\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}=\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$

y la definición de sistemas de coordenadas más generales se da en vector laplaciano .

El laplaciano es omnipresente en toda la física matemática moderna , apareciendo por ejemplo en la ecuación de Laplace , la ecuación de Poisson , la ecuación del calor , la ecuación de onda y la ecuación de Schrödinger .

matriz Hessiana

Si bien suele representar al laplaciano , en ocasiones también representa a la matriz hessiana . El primero se refiere al producto interno de , mientras que el segundo se refiere al producto diádico de : ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla ^{T}}$.

Entonces, si se refiere a una matriz laplaciana o hessiana depende del contexto. ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Derivada tensorial

Del también se puede aplicar a un campo vectorial y el resultado es un tensor . La derivada tensorial de un campo vectorial (en tres dimensiones) es un tensor de segundo rango de 9 términos, es decir, una matriz de 3 × 3, pero se puede denotar simplemente como , donde representa el producto diádico . Esta cantidad es equivalente a la transpuesta de la matriz jacobiana del campo vectorial con respecto al espacio. La divergencia del campo vectorial puede entonces expresarse como la traza de esta matriz. ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle \nabla \otimes {\vec {v}}}$ ${\displaystyle \otimes }$

Para un desplazamiento pequeño , el cambio en el campo vectorial viene dado por: ${\displaystyle \delta {\vec {r}}}$

${\displaystyle \delta {\vec {v}}=(\nabla \otimes {\vec {v}})^{T}\cdot \delta {\vec {r}}}$

Reglas del producto

Para cálculo vectorial :

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (fg)&=f\nabla g+g\nabla f\\\nabla ({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})&={\vec {u}}\times (\nabla \times {\vec {v}})+{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {u}})+({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {u}}\\\nabla \cdot (f{\vec {v}})&=f(\nabla \cdot {\vec {v}})+{\vec {v}}\cdot (\nabla f)\\\nabla \cdot ({\vec {u}}\times {\vec {v}})&={\vec {v}}\cdot (\nabla \times {\vec {u}})-{\vec {u}}\cdot (\nabla \times {\vec {v}})\\\nabla \times (f{\vec {v}})&=(\nabla f)\times {\vec {v}}+f(\nabla \times {\vec {v}})\\\nabla \times ({\vec {u}}\times {\vec {v}})&={\vec {u}}\,(\nabla \cdot {\vec {v}})-{\vec {v}}\,(\nabla \cdot {\vec {u}})+({\vec {v}}\cdot \nabla )\,{\vec {u}}-({\vec {u}}\cdot \nabla )\,{\vec {v}}\end{aligned}}}$

Para cálculo matricial (para el cual se puede escribir ): ${\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}^{\text{T}}{\vec {v}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {A} \nabla \right)^{\text{T}}{\vec {u}}&=\nabla ^{\text{T}}\left(\mathbf {A} ^{\text{T}}{\vec {u}}\right)-\left(\nabla ^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}}\right){\vec {u}}\end{aligned}}}$

Otra relación de interés (ver, por ejemplo, ecuaciones de Euler ) es la siguiente, donde está el tensor del producto exterior : ${\displaystyle {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot ({\vec {u}}\otimes {\vec {v}})=(\nabla \cdot {\vec {u}}){\vec {v}}+({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {v}}\end{aligned}}}$

Segundas derivadas

Gráfico DCG: un gráfico simple que muestra todas las reglas relacionadas con las segundas derivadas. D, C, G, L y CC representan divergencia, rizo, gradiente, laplaciano y rizo de rizo, respectivamente. Las flechas indican la existencia de segundas derivadas. El círculo azul en el medio representa rizo de rizo, mientras que los otros dos círculos rojos (discontinuos) significan que DD y GG no existen.

Cuando del opera en un escalar o un vector, se devuelve un escalar o un vector. Debido a la diversidad de productos vectoriales (escalar, punto, cruz), una aplicación de del ya da lugar a tres derivadas principales: el gradiente (producto escalar), la divergencia (producto escalar) y el rizo (producto cruz). Al aplicar nuevamente estos tres tipos de derivadas entre sí se obtienen cinco segundas derivadas posibles, para un campo escalar f o un campo vectorial v ; el uso del escalar laplaciano y del vector laplaciano da dos más:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f\\\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)\\\operatorname {grad} (\operatorname {div} {\vec {v}})&=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} {\vec {v}})&=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})\\\operatorname {curl} (\operatorname {curl} {\vec {v}})&=\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}})\\\Delta f&=\nabla ^{2}f\\\Delta {\vec {v}}&=\nabla ^{2}{\vec {v}}\end{aligned}}}$

Estos son de interés principalmente porque no siempre son únicos o independientes entre sí. Siempre que las funciones se comporten bien ( en la mayoría de los casos), dos de ellas siempre son cero: ${\displaystyle C^{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)=0\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} {\vec {v}})&=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})=0\end{aligned}}}$

Dos de ellos son siempre iguales:

${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f=\Delta f}$

Las 3 derivadas vectoriales restantes están relacionadas por la ecuación:

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times {\vec {v}}\right)=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})-\nabla ^{2}{\vec {v}}}$

Y uno de ellos puede incluso expresarse con el producto tensorial, si las funciones se comportan bien:

${\displaystyle \nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})=\nabla \cdot ({\vec {v}}\otimes \nabla )}$

Precauciones

La mayoría de las propiedades de los vectores anteriores (excepto aquellas que se basan explícitamente en las propiedades diferenciales de del, por ejemplo, la regla del producto) se basan únicamente en la reordenación de símbolos y necesariamente deben cumplirse si el símbolo del se reemplaza por cualquier otro vector. Esto es parte del valor que se obtiene al representar notacionalmente este operador como un vector.

Aunque a menudo se puede reemplazar del con un vector y obtener una identidad vectorial, haciendo que esas identidades sean mnemotécnicas, lo contrario no es necesariamente confiable, porque del no conmuta en general.

Un contraejemplo que demuestra que la divergencia ( ) y el operador de advección ( ) no son conmutativos: ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {v}}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}\cdot \nabla }$

${\displaystyle {\begin{aligned}({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})f&\equiv ({\vec {v}}\cdot {\vec {u}})f\\(\nabla \cdot {\vec {v}})f&=\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)f={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}f+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}f+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}f\\({\vec {v}}\cdot \nabla )f&=\left(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)f=v_{x}{\frac {\partial f}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial f}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}\\\Rightarrow (\nabla \cdot {\vec {v}})f&\neq ({\vec {v}}\cdot \nabla )f\\\end{aligned}}}$

Un contraejemplo que se basa en las propiedades diferenciales de del:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla x)\times (\nabla y)&=\left({\vec {e}}_{x}{\frac {\partial x}{\partial x}}+{\vec {e}}_{y}{\frac {\partial x}{\partial y}}+{\vec {e}}_{z}{\frac {\partial x}{\partial z}}\right)\times \left({\vec {e}}_{x}{\frac {\partial y}{\partial x}}+{\vec {e}}_{y}{\frac {\partial y}{\partial y}}+{\vec {e}}_{z}{\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\\&=({\vec {e}}_{x}\cdot 1+{\vec {e}}_{y}\cdot 0+{\vec {e}}_{z}\cdot 0)\times ({\vec {e}}_{x}\cdot 0+{\vec {e}}_{y}\cdot 1+{\vec {e}}_{z}\cdot 0)\\&={\vec {e}}_{x}\times {\vec {e}}_{y}\\&={\vec {e}}_{z}\\({\vec {u}}x)\times ({\vec {u}}y)&=xy({\vec {u}}\times {\vec {u}})\\&=xy{\vec {0}}\\&={\vec {0}}\end{aligned}}}$

Central para estas distinciones es el hecho de que del no es simplemente un vector; es un operador vectorial . Mientras que un vector es un objeto con magnitud y dirección, del no tiene magnitud ni dirección hasta que opera sobre una función.

Por esa razón, las identidades que involucran del deben derivarse con cuidado, utilizando tanto identidades vectoriales como identidades de diferenciación como la regla del producto.

Ver también

• Del en coordenadas cilíndricas y esféricas
• Notación para diferenciación
• Identidades de cálculo vectorial
• ecuaciones de maxwell
• Ecuaciones de Navier-Stokes
• Tabla de símbolos matemáticos
• operador de cuabla

Referencias

• Willard Gibbs y Edwin Bidwell Wilson (1901) Análisis vectorial , Yale University Press , 1960: Publicaciones de Dover .
• Schey, HM (1997). Div, Grad, Curl y todo eso: un texto informal sobre cálculo vectorial . Nueva York: Norton. ISBN 0-393-96997-5.
• Molinero, Jeff. "Primeros usos de los símbolos del cálculo".
• Arnold Neumaier (26 de enero de 1998). Cleve Moler (ed.). "Historia de Nabla". NA Digest, volumen 98, número 03. netlib.org.

enlaces externos

• Un estudio sobre el uso inadecuado de ∇ en el análisis vectorial (1994) Tai, Chen