Expresión bien definida

Expresión cuya definición le asigna una interpretación única

En matemáticas , una expresión bien definida o expresión inequívoca es una expresión cuya definición le asigna una interpretación o valor único. De lo contrario, se dice que la expresión no está bien definida , está mal definida o es ambigua . ^[1] Una función está bien definida si da el mismo resultado cuando se cambia la representación de la entrada sin cambiar el valor de la entrada. Por ejemplo, si toma números reales como entrada y si no es igual , entonces no está bien definida (y, por lo tanto, no es una función). ^[2] El término bien definida también se puede utilizar para indicar que una expresión lógica no es ambigua o no es contradictoria. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0.5)}$ ${\displaystyle f(1/2)}$ ${\displaystyle f}$

Una función que no está bien definida no es lo mismo que una función que no está definida . Por ejemplo, si , entonces, aunque no está definida, esto no significa que la función no esté bien definida; más bien, 0 no está en el dominio de . ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle f(0)}$ ${\displaystyle f}$

Ejemplo

Sean conjuntos, sean y "definan" como si y si . ${\displaystyle A_{0},A_{1}}$ ${\displaystyle A=A_{0}\cup A_{1}}$ ${\displaystyle f:A\rightarrow \{0,1\}}$ ${\displaystyle f(a)=0}$ ${\displaystyle a\in A_{0}}$ ${\displaystyle f(a)=1}$ ${\displaystyle a\in A_{1}}$

Entonces está bien definido si . Por ejemplo, si y , entonces estaría bien definido e igual a . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\emptyset \!}$ ${\displaystyle A_{0}:=\{2,4\}}$ ${\displaystyle A_{1}:=\{3,5\}}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle \operatorname {mod} (a,2)}$

Sin embargo, si , entonces no estaría bien definida porque es "ambigua" para . Por ejemplo, si y , entonces tendrían que ser tanto 0 como 1, lo que la hace ambigua. Como resultado, esta última no está bien definida y, por lo tanto, no es una función. ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle a\in A_{0}\cap A_{1}}$ ${\displaystyle A_{0}:=\{2\}}$ ${\displaystyle A_{1}:=\{2\}}$ ${\displaystyle f(2)}$ ${\displaystyle f}$

"Definición" como anticipación de la definición

Para evitar las comillas alrededor de "definir" en el ejemplo simple anterior, la "definición" de podría dividirse en dos pasos lógicos: ${\displaystyle f}$

1. La definición de la relación binaria . En el ejemplo:

   ${\displaystyle f:={\bigl \{}(a,i)\mid i\in \{0,1\}\wedge a\in A_{i}{\bigr \}},}$

   (que hasta ahora no es más que un cierto subconjunto del producto cartesiano ). ${\displaystyle A\times \{0,1\}}$
2. La afirmación . La relación binaria es una función; en el ejemplo: ${\displaystyle f}$

   ${\displaystyle f:A\rightarrow \{0,1\}.}$

Si bien la definición del paso 1 se formula con la libertad de cualquier definición y es ciertamente efectiva (sin necesidad de clasificarla como "bien definida"), la afirmación del paso 2 tiene que ser probada. Es decir, es una función si y solo si , en cuyo caso -como función- está bien definida. Por otro lado, si , entonces para un , tendríamos que y , lo que hace que la relación binaria no sea funcional (como se define en Relación binaria#Tipos especiales de relaciones binarias ) y, por lo tanto, no esté bien definida como función. Coloquialmente, la "función" también se llama ambigua en el punto (aunque per definitionem nunca hay una "función ambigua"), y la "definición" original es inútil. A pesar de estos sutiles problemas lógicos, es bastante común usar el término definición (sin apóstrofes) para "definiciones" de este tipo, por tres razones: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\emptyset }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle a\in A_{0}\cap A_{1}}$ ${\displaystyle (a,0)\in f}$ ${\displaystyle (a,1)\in f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$

1. Proporciona una abreviatura práctica del enfoque de dos pasos.
2. El razonamiento matemático relevante (es decir, el paso 2) es el mismo en ambos casos.
3. En los textos matemáticos, la afirmación es "hasta un 100%" verdadera.

Independencia del representante

A menudo surgen preguntas sobre la definición correcta de una función cuando la ecuación que define una función no solo se refiere a los argumentos en sí, sino también a los elementos de los argumentos que sirven como representantes . Esto a veces es inevitable cuando los argumentos son clases laterales y cuando la ecuación se refiere a representantes de clases laterales. El resultado de una aplicación de función no debe depender entonces de la elección del representante.

Funciones con un argumento

Por ejemplo, considere la siguiente función:

${\displaystyle {\begin{matrix}f:&\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{8}&\mapsto &{\overline {n}}_{4},\end{matrix}}}$

donde y son los números enteros módulo m y denota la clase de congruencia de n módulo m . ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,m\in \{4,8\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\overline {n}}_{m}}$

NB: es una referencia al elemento , y es el argumento de . ${\displaystyle {\overline {n}}_{4}}$ ${\displaystyle n\in {\overline {n}}_{8}}$ ${\displaystyle {\overline {n}}_{8}}$ ${\displaystyle f}$

La función está bien definida, porque: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle n\equiv n'{\bmod {8}}\;\Leftrightarrow \;8{\text{ divides }}(n-n')\Rightarrow \;4{\text{ divides }}(n-n')\;\Leftrightarrow \;n\equiv n'{\bmod {4}}.}$

Como contraejemplo, la definición inversa:

${\displaystyle {\begin{matrix}g:&\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{4}&\mapsto &{\overline {n}}_{8},\end{matrix}}}$

no conduce a una función bien definida, ya que p. ej. es igual en , pero el primero se mapearía por a , mientras que el segundo se mapearía a , y y son desiguales en . ${\displaystyle {\overline {1}}_{4}}$ ${\displaystyle {\overline {5}}_{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\overline {1}}_{8}}$ ${\displaystyle {\overline {5}}_{8}}$ ${\displaystyle {\overline {1}}_{8}}$ ${\displaystyle {\overline {5}}_{8}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$

Operaciones

En particular, el término bien definido se utiliza con respecto a operaciones (binarias) sobre clases laterales. En este caso, se puede considerar la operación como una función de dos variables, y la propiedad de estar bien definido es la misma que la de una función. Por ejemplo, la suma de números enteros módulo n se puede definir naturalmente en términos de suma de números enteros.

${\displaystyle [a]\oplus [b]=[a+b]}$

El hecho de que esto esté bien definido se desprende del hecho de que podemos escribir cualquier representante de como , donde es un entero. Por lo tanto, ${\displaystyle [a]}$ ${\displaystyle a+kn}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle [a]\oplus [b]=[a+kn]\oplus [b]=[(a+kn)+b]=[(a+b)+kn]=[a+b];}$

Lo mismo se aplica a cualquier representante de , por lo que se aplica lo mismo, independientemente de la elección del representante. ${\displaystyle [b]}$ ${\displaystyle [a+b]}$

Notación bien definida

Para los números reales, el producto es inequívoco porque ; por lo tanto, se dice que la notación está bien definida . ^[1] Esta propiedad, también conocida como asociatividad de la multiplicación, garantiza que el resultado no dependa de la secuencia de multiplicaciones; por lo tanto, se puede omitir una especificación de la secuencia. La operación de resta no es asociativa; a pesar de eso, existe una convención que es una abreviatura de , por lo que se considera "bien definida". Por otro lado, la división no es asociativa y, en el caso de , las convenciones de paréntesis no están bien establecidas; por lo tanto, esta expresión a menudo se considera mal definida. ${\displaystyle a\times b\times c}$ ${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$ ${\displaystyle a-b-c}$ ${\displaystyle (a-b)-c}$ ${\displaystyle a/b/c}$

A diferencia de las funciones, las ambigüedades de notación se pueden superar por medio de definiciones adicionales (por ejemplo, reglas de precedencia , asociatividad del operador). Por ejemplo, en el lenguaje de programación C , el operador -de resta es asociativo de izquierda a derecha , lo que significa que a-b-cse define como (a-b)-c, y el operador =de asignación es asociativo de derecha a izquierda , lo que significa que a=b=cse define como a=(b=c). ^[3] En el lenguaje de programación APL solo hay una regla: de derecha a izquierda , pero primero los paréntesis.

Otros usos del término

Se dice que una solución de una ecuación diferencial parcial está bien definida si está continuamente determinada por las condiciones de contorno a medida que estas cambian. ^[1]

Véase también

• Relación de equivalencia § Bien definida bajo una relación de equivalencia
• Definicionismo
• Existencia
• Patológico (matemáticas)
• Unicidad
• Cuantificación de unicidad
• Indefinido
• Fórmula bien formada

Referencias

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Well-Defined". De MathWorld – A Wolfram Web Resource . Consultado el 2 de enero de 2013 .
2. Joseph J. Rotman, La teoría de grupos: una introducción , pág. 287 "... una función es "univaluada" o, como preferimos decir... una función está bien definida .", Allyn y Bacon, 1965.
3. "Precedencia de operadores y asociatividad en C". GeeksforGeeks . 2014-02-07 . Consultado el 2019-10-18 .

Fuentes

• Álgebra abstracta contemporánea , Joseph A. Gallian, 6.ª edición, Houghlin Mifflin, 2006, ISBN 0-618-51471-6 . 
• Álgebra: Capítulo 0 , Paolo Aluffi, ISBN 978-0821847817 . Página 16. 
• Álgebra abstracta , Dummit y Foote, 3.ª edición, ISBN 978-0471433347 . Página 1.