En lógica matemática , la definibilidad Beth es un resultado que conecta la definibilidad implícita de una propiedad con su definibilidad explícita. Específicamente, la definibilidad de Beth establece que los dos sentidos de definibilidad son equivalentes.
La lógica de primer orden tiene la propiedad de definibilidad de Beth.
Para la lógica de primer orden, el teorema establece que, dada una teoría T en el lenguaje L' ⊇ L y una fórmula φ en L' , entonces las siguientes son equivalentes:
De manera menos formal: una propiedad es implícitamente definible en una teoría en el lenguaje L (mediante una fórmula φ de un lenguaje extendido L' ) solo si esa propiedad es explícitamente definible en esa teoría (mediante la fórmula ψ en el lenguaje original L ).
Claramente también se cumple lo contrario, de modo que tenemos una equivalencia entre definibilidad implícita y explícita. Es decir, una "propiedad" es explícitamente definible con respecto a una teoría si y sólo si es implícitamente definible.
El teorema no se cumple si la condición se restringe a modelos finitos. Podemos tener A ⊨ φ [ a ] si y solo si B ⊨ φ [ a ] para todos los pares A , B de modelos finitos sin que exista ninguna L -fórmula ψ equivalente a φ módulo T .
El resultado fue probado por primera vez por Evert Willem Beth .