Expresión de números como secuencias de dígitos.
Una representación decimal de un número real no negativo r es su expresión como una secuencia de símbolos que consta de dígitos decimales escritos tradicionalmente con un único separador:
![{\displaystyle r=b_{k}b_{k-1}\ldots b_{0}.a_{1}a_{2}\ldots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
. separador decimalknúmero entero no negativodígitos![{\displaystyle b_{0},\ldots ,b_{k},a_{1},a_{2},\ldots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Comúnmente, si la secuencia de los dígitos después del punto es generalmente infinita . Si es finito, se supone que los dígitos que faltan son 0. Si todos son 0 , el separador también se omite, lo que da como resultado una secuencia finita de dígitos, que representa un número natural . ![{\displaystyle b_{k}\neq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k\geq 1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle a_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle a_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La representación decimal representa la suma infinita :
![{\displaystyle r=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{ 10^{i}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Todo número real no negativo tiene al menos una de esas representaciones; tiene dos representaciones de este tipo (con if ) si y solo si una tiene una secuencia infinita final de 0 y la otra tiene una secuencia infinita final de 9 . Por tener una correspondencia uno a uno entre números reales no negativos y representaciones decimales, a veces se excluyen las representaciones decimales con una secuencia infinita final de 9 . [1]![{\displaystyle b_{k}\neq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Partes enteras y fraccionarias
El número natural se denomina parte entera de r y se denota con un 0 en el resto de este artículo. La secuencia de representa el número. ![{\textstyle \sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle a_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 0.a_{1}a_{2}\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
intervaloparte fraccionariar9![{\displaystyle [0,1),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle a_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aproximaciones decimales finitas
Cualquier número real puede aproximarse con cualquier grado de precisión deseado mediante números racionales con representaciones decimales finitas.
Asumir . Entonces para cada número entero existe un decimal finito tal que:![{\displaystyle x\geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\geq 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle r_ {n} = a_ {0}. a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r_{n}\leq x<r_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Prueba : Vamos , dónde . Entonces , y el resultado se obtiene al dividir todos los lados por . (El hecho de que tenga una representación decimal finita se establece fácilmente).![{\displaystyle r_{n}=\textstyle {\frac {p}{10^{n}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p=\lpiso 10^{n}x\rpiso }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p\leq 10^{n}x<p+1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 10^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle r_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
No unicidad de la representación decimal y convenciones de notación
Algunos números reales tienen dos representaciones decimales infinitas. Por ejemplo, el número 1 puede representarse igualmente por 1,000... como por 0,999... (donde las secuencias infinitas de 0 o 9, respectivamente, se representan por "..."). Convencionalmente, se prefiere la representación decimal sin nueves finales. Además, en la representación decimal estándar de , se omite una secuencia infinita de ceros finales que aparecen después del punto decimal , junto con el propio punto decimal si es un número entero.![{\displaystyle x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ciertos procedimientos para construir la expansión decimal de evitarán el problema de los nueves finales. Por ejemplo, el siguiente procedimiento algorítmico dará la representación decimal estándar: Dado , primero definimos (la parte entera de ) como el entero más grande tal que (es decir, ). Si el procedimiento termina. De lo contrario, para lo ya encontrado, lo definimos inductivamente como el mayor entero tal que:![{\displaystyle x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle a_ {0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{0}\leq x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{0}=\lfloor x\rfloor }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x=a_{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle a_ {k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El procedimiento termina siempre que se encuentre que la igualdad se cumple en ( * ); de lo contrario, continúa indefinidamente dando una secuencia infinita de dígitos decimales. Se puede demostrar que [2] (convencionalmente escrito como ), donde y el número entero no negativo se representa en notación decimal . Esta construcción se amplía aplicando el procedimiento anterior y denotando la expansión decimal resultante por .![{\ Displaystyle a_ {k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle x=\sup _ {k}\left\{\sum _ {i=0}^{k}{\frac {a_ {i}}{10^{i}}}\right\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\ldots \in \{0,1,2,\ldots ,9\},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle a_ {0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x<0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle -x>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle -a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tipos
Finito
La expansión decimal del número real no negativo x terminará en ceros (o en nueves) si, y sólo si, x es un número racional cuyo denominador es de la forma 2 n 5 m , donde m y n son enteros no negativos .
Prueba :
Si la expansión decimal de x terminará en ceros, o
para algún n , entonces el denominador de x tiene la forma 10 n = 2 n 5 n .![{\textstyle x=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}=\sum _{i=0}^{n}10^{ ni}a_{i}/10^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por el contrario, si el denominador de x es de la forma 2 n 5 m ,
para algún p . Mientras que x es de la forma , para algunos n . Por , x terminará en ceros.![{\displaystyle x={\frac {p}{2^{n}5^{m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{2^{n+m}5 ^{n+m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{10^{n+m}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \textstyle {\frac {p}{10^{k}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p=\sum _ {i=0}^{n}10^{i}a_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x=\sum _{i=0}^{n}10^{ni}a_{i}/10^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_ {i}}{10^{i}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Infinito
Representaciones decimales repetidas
Algunos números reales tienen expansiones decimales que eventualmente forman bucles, repitiendo sin cesar una secuencia de uno o más dígitos:
- 1 ⁄ 3 = 0,33333...
- 1 ⁄ 7 = 0,142857142857...
- 1318 ⁄ 185 = 7,1243243243...
Cada vez que esto sucede, el número sigue siendo un número racional (es decir, también puede representarse como una relación entre un número entero y un número entero positivo). También es cierto lo contrario: la expansión decimal de un número racional es finita o se repite infinitamente.
Las representaciones decimales finitas también pueden verse como un caso especial de representaciones decimales periódicas infinitas. Por ejemplo, 36 ⁄ 25 = 1,44 = 1,4400000...; la secuencia repetida infinitamente es la secuencia de un dígito "0".
Representaciones decimales no periódicas
Otros números reales tienen expansiones decimales que nunca se repiten. Estos son precisamente los números irracionales , números que no pueden representarse como una razón de números enteros. Algunos ejemplos bien conocidos son:
- √ 2 = 1,41421356237309504880...
- e = 2,71828182845904523536...
- π = 3,14159265358979323846...
Conversión a fracción
Cada representación decimal de un número racional se puede convertir en una fracción convirtiéndola en una suma de las partes enteras, no repetidas y repetidas y luego convirtiendo esa suma en una sola fracción con un denominador común.
Por ejemplo, para convertir a fracción se observa el lema:![{\textstyle \pm 8.123{\overline {4567}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0,000{\overline {4567}}&=4567\times 0,000{\overline {0001}}\\&=4567\times 0.{\overline {0001}}\times {\ frac {1}{10^{3}}}\\&=4567\times {\frac {1}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={ \frac {4567}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{ 3}}}&{\text{Los exponentes son el número de dígitos no repetidos después del punto decimal (3) y el número de dígitos repetidos (4).}}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Así se convierte de la siguiente manera:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\pm 8.123{\overline {4567}}&=\pm \left(8+{\frac {123}{10^{3}}}+{\frac {4567}{ (10^{4}-1)\times 10^{3}}}\right)&{\text{desde arriba}}\\&=\pm {\frac {8\times (10^{4}- 1)\veces 10^{3}+123\veces (10^{4}-1)+4567}{(10^{4}-1)\veces 10^{3}}}&{\text{común denominador}}\\&=\pm {\frac {81226444}{9999000}}&{\text{multiplicando y sumando el numerador}}\\&=\pm {\frac {20306611}{2499750}}&{ \text{reduciendo}}\\\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si no hay dígitos repetidos, se supone que hay un 0 que se repite siempre, por ejemplo , aunque como eso hace que el término repetido sea cero, la suma se simplifica a dos términos y una conversión más simple.![{\displaystyle 1.9=1.9{\overline {0}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por ejemplo:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\pm 8.1234&=\pm \left(8+{\frac {1234}{10^{4}}}\right)&\\&=\pm {\frac {8 \times 10^{4}+1234}{10^{4}}}&{\text{común denominador}}\\&=\pm {\frac {81234}{10000}}&{\text{multiplicando, y sumando el numerador}}\\&=\pm {\frac {40617}{5000}}&{\text{reduciendo}}\\\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
Otras lecturas
- Apóstol, Tom (1974). Análisis matemático (Segunda ed.). Addison-Wesley .
- Savard, John JG (2018) [2006]. "Representaciones decimales". cuadribloc . Archivado desde el original el 16 de julio de 2018 . Consultado el 16 de julio de 2018 .