En matemáticas financieras , la volatilidad implícita ( VI ) de un contrato de opción es el valor de la volatilidad del instrumento subyacente que, cuando se ingresa en un modelo de fijación de precios de opciones (generalmente Black–Scholes ), arrojará un valor teórico igual al precio de la opción. Un instrumento financiero que no sea una opción que tenga opcionalidad incorporada, como un límite de tasa de interés , también puede tener una volatilidad implícita. La volatilidad implícita, una medida subjetiva y prospectiva, difiere de la volatilidad histórica porque esta última se calcula a partir de los rendimientos pasados conocidos de un valor . Para comprender dónde se ubica la volatilidad implícita en términos del subyacente, se utiliza el rango de volatilidad implícita para comprender su volatilidad implícita a partir de una VI máxima y mínima de un año.
Un modelo de valoración de opciones, como el de Black–Scholes, utiliza una variedad de datos de entrada para derivar un valor teórico para una opción. Los datos de entrada de los modelos de valoración varían según el tipo de opción que se está valorando y el modelo de valoración utilizado. Sin embargo, en general, el valor de una opción depende de una estimación de la volatilidad futura del precio realizado, σ, del subyacente. O, matemáticamente:
donde C es el valor teórico de una opción y f es un modelo de precios que depende de σ, junto con otras entradas.
La función f aumenta monótonamente en σ, lo que significa que un valor más alto de volatilidad da como resultado un valor teórico más alto de la opción. Por el contrario, según el teorema de la función inversa , puede haber como máximo un valor para σ que, cuando se aplica como entrada a , dará como resultado un valor particular para C .
En otros términos, supongamos que existe alguna función inversa g = f −1 , tal que
donde es el precio de mercado de una opción. El valor es la volatilidad implícita en el precio de mercado o la volatilidad implícita .
En general, no es posible dar una fórmula de forma cerrada para la volatilidad implícita en términos del precio de la opción call (para una revisión, véase [1] ). Sin embargo, en algunos casos (precio de ejercicio alto, precio de ejercicio bajo, vencimiento corto, vencimiento alto) es posible dar una expansión asintótica de la volatilidad implícita en términos del precio de la opción call. [2] También se ha investigado un enfoque diferente basado en aproximaciones de forma cerrada. [3] [4]
Una opción de compra europea , , sobre una acción de XYZ Corp que no paga dividendos con un precio de ejercicio de $50 vence en 32 días. La tasa de interés libre de riesgo es del 5%. La acción de XYZ se cotiza actualmente a $51,25 y el precio de mercado actual de es de $2,00. Usando un modelo de precios Black-Scholes estándar, la volatilidad implícita en el precio de mercado es del 18,7%, o:
Para verificarlo, aplicamos la volatilidad implícita al modelo de precios, f, y generamos un valor teórico de $2,0004:
lo que confirma nuestro cálculo de la volatilidad implícita del mercado.
En general, una función de modelo de precios, f , no tiene una solución de forma cerrada para su inversa, g . En cambio, se suele utilizar una técnica de búsqueda de raíces para resolver la ecuación:
Si bien existen muchas técnicas para encontrar raíces, dos de las más utilizadas son el método de Newton y el método de Brent . Debido a que los precios de las opciones pueden variar muy rápidamente, a menudo es importante utilizar el método más eficiente al calcular las volatilidades implícitas.
El método de Newton proporciona una convergencia rápida; sin embargo, requiere la primera derivada parcial del valor teórico de la opción con respecto a la volatilidad; es decir, , que también se conoce como vega (ver Los griegos ). Si la función del modelo de precios produce una solución de forma cerrada para vega , que es el caso del modelo de Black-Scholes , entonces el método de Newton puede ser más eficiente. Sin embargo, para la mayoría de los modelos de precios prácticos, como un modelo binomial , este no es el caso y vega debe derivarse numéricamente. Cuando se ve obligado a resolver numéricamente para vega , se puede utilizar el método de Christopher y Salkin o, para un cálculo más preciso de las volatilidades implícitas fuera del dinero, se puede utilizar el modelo de Corrado-Miller. [5]
En el caso específico del modelo Black[-Scholes-Merton], el método "Let's Be Rational" [6] de Jaeckel calcula la volatilidad implícita hasta alcanzar la precisión de máquina completa (coma flotante estándar de 64 bits) para todos los valores de entrada posibles en un tiempo de submicrosegundo. El algoritmo comprende una estimación inicial basada en expansiones asintóticas coincidentes, más (siempre exactamente) dos pasos de mejora de Householder (de orden de convergencia 4), lo que hace que este sea un procedimiento de tres pasos (es decir, no iterativo). Una implementación de referencia [7] en C++ está disponible de forma gratuita. Además de las técnicas de búsqueda de raíces mencionadas anteriormente , también existen métodos que aproximan la función inversa multivariada directamente. A menudo se basan en polinomios o funciones racionales . [8]
Para el modelo Bachelier ("normal", en oposición a "lognormal"), Jaeckel [9] publicó una fórmula de dos etapas totalmente analítica y comparativamente simple que brinda una precisión de máquina completamente alcanzable (coma flotante estándar de 64 bits) para todos los valores de entrada posibles.
Con la llegada del big data y la ciencia de datos , la parametrización de la volatilidad implícita ha adquirido una importancia central para fines de interpolación y extrapolación coherentes. Los modelos clásicos son el modelo SABR y el SVI con su extensión IVP. [10]
Como afirma Brian Byrne, la volatilidad implícita de una opción es una medida más útil del valor relativo de la opción que su precio. La razón es que el precio de una opción depende más directamente del precio de su activo subyacente. Si una opción se mantiene como parte de una cartera delta neutral (es decir, una cartera que está cubierta contra pequeños movimientos en el precio del activo subyacente), entonces el siguiente factor más importante para determinar el valor de la opción será su volatilidad implícita.
La volatilidad implícita es tan importante que las opciones a menudo se cotizan en términos de volatilidad en lugar de precio, particularmente entre los operadores profesionales.
Una opción de compra se cotiza a 1,50 dólares y el subyacente a 42,05 dólares. Se ha determinado que la volatilidad implícita de la opción es del 18,0 %. Poco tiempo después, la opción se negocia a 2,10 dólares y el subyacente a 43,34 dólares, lo que arroja una volatilidad implícita del 17,2 %. Aunque el precio de la opción es más alto en la segunda medición, se sigue considerando más barata en función de la volatilidad. La razón es que el subyacente necesario para cubrir la opción de compra se puede vender a un precio más alto.
Otra forma de considerar la volatilidad implícita es pensar en ella como un precio, no como una medida de futuros movimientos de las acciones. Desde este punto de vista, es simplemente una forma más conveniente de comunicar los precios de las opciones que las divisas. Los precios son de naturaleza diferente a las cantidades estadísticas: se puede estimar la volatilidad de los futuros rendimientos subyacentes utilizando cualquiera de un gran número de métodos de estimación; sin embargo, el número que se obtiene no es un precio. Un precio requiere dos contrapartes, un comprador y un vendedor. Los precios están determinados por la oferta y la demanda. Las estimaciones estadísticas dependen de la serie temporal y de la estructura matemática del modelo utilizado. Es un error confundir un precio, que implica una transacción, con el resultado de una estimación estadística, que es simplemente lo que surge de un cálculo. Las volatilidades implícitas son precios: se han derivado de transacciones reales. Vistas desde esta perspectiva, no debería sorprender que las volatilidades implícitas puedan no ajustarse a lo que predeciría un modelo estadístico particular.
Sin embargo, la visión anterior ignora el hecho de que los valores de las volatilidades implícitas dependen del modelo utilizado para calcularlas: diferentes modelos aplicados a los mismos precios de opciones de mercado producirán diferentes volatilidades implícitas. Por lo tanto, si se adopta esta visión de la volatilidad implícita como un precio, entonces también hay que admitir que no existe un precio único de volatilidad implícita y que un comprador y un vendedor en la misma transacción pueden estar negociando a diferentes "precios".
En general, las opciones basadas en el mismo subyacente pero con diferentes valores de ejercicio y tiempos de vencimiento arrojarán diferentes volatilidades implícitas. Esto puede verse como evidencia de que la volatilidad de un subyacente no es constante sino que depende de factores como el nivel de precios o el tiempo, o puede verse como evidencia de que los cambios de precio del subyacente no siguen la distribución que se supone en el modelo en consideración (como Black-Scholes). Existen pocas parametrizaciones conocidas de la superficie de volatilidad (Schonbusher, SVI y gSVI), así como sus metodologías de desarbitraje. [11] Véase volatilidad estocástica y sonrisa de volatilidad para más información.
Los instrumentos de volatilidad son instrumentos financieros que rastrean el valor de la volatilidad implícita de otros valores derivados. Por ejemplo, el índice de volatilidad CBOE ( VIX ) se calcula a partir de un promedio ponderado de las volatilidades implícitas de varias opciones en el índice S&P 500. También existen otros índices de volatilidad a los que se hace referencia comúnmente, como el índice VXN ( medida de volatilidad de futuros del índice Nasdaq 100), el QQV (medida de volatilidad QQQ), IVX (índice de volatilidad implícita) (una volatilidad bursátil esperada durante un período futuro para cualquiera de los valores estadounidenses e instrumentos negociados en bolsa), así como opciones y derivados de futuros basados directamente en estos mismos índices de volatilidad.
