Tasa (matemáticas)

Relación entre dos cantidades relacionadas en unidades diferentes

En matemáticas , una tasa es el cociente de dos cantidades en diferentes unidades de medida , a menudo representada como una fracción . ^[1] Si el divisor (o denominador de la fracción) en la tasa es igual a uno expresado como una sola unidad, y si se supone que esta cantidad puede cambiar sistemáticamente (es decir, es una variable independiente ), entonces el dividendo (el numerador de la fracción) de la tasa expresa la tasa de cambio correspondiente en la otra variable ( dependiente ). En algunos casos, puede considerarse como un cambio en un valor, que es causado por un cambio de un valor con respecto a otro valor. Por ejemplo, la aceleración es un cambio en la velocidad con respecto al tiempo.

La frecuencia temporal es un tipo común de frecuencia ("por unidad de tiempo"), como la velocidad , la frecuencia cardíaca y el flujo . ^[2] De hecho, a menudo frecuencia es sinónimo de ritmo o frecuencia , una cuenta por segundo (es decir, hercios ); por ejemplo, frecuencias de radio o frecuencias de muestreo . Al describir las unidades de una frecuencia, se utiliza la palabra "por" para separar las unidades de las dos medidas utilizadas para calcular la frecuencia; por ejemplo, una frecuencia cardíaca se expresa como "pulsaciones por minuto".

Las tasas que tienen un divisor o denominador no temporal incluyen los tipos de cambio , las tasas de alfabetización y el campo eléctrico (en voltios por metro).

Una tasa definida utilizando dos números de las mismas unidades dará como resultado una cantidad adimensional , también conocida como proporción o simplemente como tasa (como las tasas impositivas ) o como recuentos (como la tasa de alfabetización ). Las tasas adimensionales se pueden expresar como porcentaje (por ejemplo, la tasa de alfabetización mundial en 1998 fue del 80%), fracción o múltiplo .

Propiedades y ejemplos

Las tasas y proporciones a menudo varían con el tiempo, la ubicación, un elemento particular (o subconjunto) de un conjunto de objetos, etc. Por lo tanto, a menudo son funciones matemáticas .

A menudo, se puede pensar en una tasa (o proporción) como una relación producto-insumo, una relación beneficio-costo , todas consideradas en sentido amplio. Por ejemplo, las millas por hora en el transporte son el producto (o beneficio) en términos de millas recorridas, que se obtiene al dedicar una hora (un costo en tiempo) de viaje (a esta velocidad).

Se puede utilizar un conjunto de índices secuenciales para enumerar elementos (o subconjuntos) de un conjunto de ratios en estudio. Por ejemplo, en finanzas, se podría definir I asignando números enteros consecutivos a empresas, a subdivisiones políticas (como estados), a diferentes inversiones, etc. La razón para utilizar los índices I es que un conjunto de ratios (i=0, N) se puede utilizar en una ecuación para calcular una función de las tasas, como un promedio de un conjunto de ratios. Por ejemplo, la velocidad promedio encontrada a partir del conjunto de v _I mencionado anteriormente. Encontrar promedios puede implicar el uso de promedios ponderados y posiblemente el uso de la media armónica .

Una razón r=a/b tiene un numerador "a" y un denominador "b". El valor de a y b puede ser un número real o entero . La inversa de una razón r es 1/r = b/a. Una tasa puede expresarse de manera equivalente como una inversa de su valor si la razón de sus unidades también es inversa. Por ejemplo, 5 millas (mi) por kilovatio-hora (kWh) corresponden a 1/5 kWh/mi (o 200 Wh /mi).

Las tasas son relevantes para muchos aspectos de la vida cotidiana. Por ejemplo: ¿A qué velocidad conduces? La velocidad del automóvil (a menudo expresada en millas por hora) es una tasa. ¿Qué interés te paga tu cuenta de ahorros? La cantidad de interés que pagas por año es una tasa.

Tasa de cambio

Consideremos el caso en el que el numerador de una tasa es una función donde resulta ser el denominador de la tasa . Una tasa de cambio de con respecto a (donde se incrementa en ) se puede definir formalmente de dos maneras: ^[3] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \delta f/\delta a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Average rate of change}}&={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\{\mbox{Instantaneous rate of change}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\end{aligned}}}$

donde f ( x ) es la función con respecto a x en el intervalo de a a a + h . Una tasa de cambio instantánea es equivalente a una derivada .

Por ejemplo, la velocidad media de un coche se puede calcular mediante la distancia total recorrida entre dos puntos, dividida por el tiempo de viaje. En cambio, la velocidad instantánea se puede determinar observando un velocímetro .

Tasas temporales

En química y física:

• Velocidad , la tasa de cambio de posición , o el cambio de posición por unidad de tiempo.
• Aceleración , la tasa de cambio de velocidad o el cambio de velocidad por unidad de tiempo.
• Potencia , la tasa de realización del trabajo o la cantidad de energía transferida por unidad de tiempo.
• Frecuencia , el número de ocurrencias de un evento repetitivo por unidad de tiempo.
  • Frecuencia angular y velocidad de rotación , número de vueltas por unidad de tiempo.
• Velocidad de reacción , la velocidad a la que ocurren las reacciones químicas.
• Caudal volumétrico , volumen de fluido que pasa a través de una superficie determinada por unidad de tiempo; por ejemplo, metros cúbicos por segundo.

Tasas de recuento por tiempo

• Desintegración radiactiva , la cantidad de material radiactivo en el que se desintegra un núcleo por segundo, medida en becquerelios.

En informática:

• Tasa de bits , la cantidad de bits que transmite o procesa una computadora por unidad de tiempo.
• Velocidad de símbolo , la cantidad de cambios de símbolo (eventos de señalización) realizados en el medio de transmisión por segundo.
• Frecuencia de muestreo , número de muestras (mediciones de señal) por segundo

Definiciones varias:

• Tasa de refuerzo , número de refuerzos por unidad de tiempo, normalmente por minuto.
• Frecuencia cardíaca , generalmente medida en pulsaciones por minuto.

Tasas y ratios económicos/financieros

• Tipo de cambio , cuánto vale una moneda en términos de la otra.
• Tasa de inflación , relación entre el cambio en el nivel general de precios durante un año y el nivel de precios inicial.
• Tasa de interés , el precio que paga un prestatario por el uso del dinero que no posee (relación entre el pago y el monto prestado)
• Relación precio-beneficio , precio de mercado por acción dividido por las ganancias anuales por acción
• Tasa de rendimiento , la relación entre el dinero ganado o perdido en una inversión y la cantidad de dinero invertida.
• Tasa impositiva , el monto del impuesto dividido por el ingreso imponible
• Tasa de desempleo , relación entre el número de personas desempleadas y el número de personas en la fuerza laboral.
• Tasa de salario , la cantidad pagada por trabajar una cantidad determinada de tiempo (o realizar una cantidad estándar de trabajo realizado) (relación entre el pago y el tiempo)

Otras tarifas

• Tasa de natalidad y tasa de mortalidad , el número de nacimientos o muertes en relación con el tamaño de esa población, por unidad de tiempo.
• Tasa de alfabetización , proporción de la población mayor de quince años que sabe leer y escribir.
• Relación sexual o proporción de género, la relación entre hombres y mujeres en una población.

Véase también

• Derivado
• Gradiente
• Hertz
• Pendiente

Referencias

1. Véase Webster's New International Dictionary of the English Language, 2.ª edición, versión íntegra. Merriam Webster Co. 2016. p.2065, definición 3.
2. "IEC 60050 - Detalles para el número IEV 112-03-18: "tasa"". Vocabulario electrotécnico internacional (en japonés) . Consultado el 13 de septiembre de 2023 .
3. Adams, Robert A. (1995). Cálculo: un curso completo (3.ª ed.). Addison-Wesley Publishers Ltd., pág. 129. ISBN 0-201-82823-5.