Velocidad angular

Dirección y velocidad de rotación

En física , la velocidad angular (símbolo ω o , la letra griega minúscula omega ), también conocida como vector de frecuencia angular , ^[1] es una representación pseudovectorial de cómo la posición angular u orientación de un objeto cambia con el tiempo, es decir, qué tan rápido un objeto gira (gira o da vueltas) alrededor de un eje de rotación y qué tan rápido el eje mismo cambia de dirección . ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$

La magnitud del pseudovector, , representa la velocidad angular (o frecuencia angular ), la velocidad angular a la que rota el objeto (gira o da vueltas). La dirección del pseudovector es normal al plano instantáneo de rotación o desplazamiento angular . ${\displaystyle \omega =\|{\boldsymbol {\omega }}\|}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\omega }}}={\boldsymbol {\omega }}/\omega }$

Hay dos tipos de velocidad angular:

• La velocidad angular orbital se refiere a la rapidez con la que un objeto puntual gira alrededor de un origen fijo , es decir, la tasa temporal de cambio de su posición angular en relación con el origen . ^{[ cita requerida ]}
• La velocidad angular de espín se refiere a la rapidez con la que un cuerpo rígido gira con respecto a su centro de rotación y es independiente de la elección del origen, a diferencia de la velocidad angular orbital.

La velocidad angular tiene una dimensión de ángulo por unidad de tiempo; esto es análogo a la velocidad lineal , con el ángulo reemplazando la distancia , con el tiempo en común. La unidad SI de velocidad angular es radianes por segundo , ^[2] aunque los grados por segundo (°/s) también son comunes. El radián es una cantidad adimensional , por lo tanto, las unidades SI de velocidad angular son dimensionalmente equivalentes a segundos recíprocos , s ⁻¹ , aunque rad/s es preferible para evitar confusiones con la velocidad de rotación en unidades de hercios (también equivalente a s ⁻¹ ). ^[3]

El sentido de la velocidad angular se especifica convencionalmente mediante la regla de la mano derecha , que implica rotaciones en el sentido de las agujas del reloj (tal como se ve en el plano de rotación); la negación (multiplicación por −1) deja la magnitud sin cambios pero invierte el eje en la dirección opuesta . ^[4]

Por ejemplo, un satélite geoestacionario completa una órbita por día sobre el ecuador (360 grados cada 24 horas) tiene una magnitud de velocidad angular (rapidez angular) ω = 360°/24 h = 15°/h (o 2π rad/24 h ≈ 0,26 rad/h) y una dirección de velocidad angular (un vector unitario ) paralela al eje de rotación de la Tierra ( , en el sistema de coordenadas geocéntricas ). Si el ángulo se mide en radianes, la velocidad lineal es el radio por la velocidad angular, . Con un radio orbital de 42.000 km desde el centro de la Tierra, la velocidad tangencial del satélite a través del espacio es, por tanto, v = 42.000 km × 0,26/h ≈ 11.000 km/h. La velocidad angular es positiva ya que el satélite viaja progrado con la rotación de la Tierra (la misma dirección que la rotación de la Tierra). ${\displaystyle {\hat {\omega }}={\hat {Z}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=r{\boldsymbol {\omega }}}$

Velocidad angular orbital de una partícula puntual

Partícula en dos dimensiones

La velocidad angular de la partícula en P con respecto al origen O está determinada por el componente perpendicular del vector de velocidad v .

En el caso más simple de movimiento circular en un radio , con posición dada por el desplazamiento angular desde el eje x, la velocidad angular orbital es la tasa de cambio del ángulo con respecto al tiempo: . Si se mide en radianes , la longitud de arco desde el eje x positivo alrededor del círculo hasta la partícula es , y la velocidad lineal es , de modo que . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \phi (t)}$ ${\textstyle \omega ={\frac {d\phi }{dt}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \ell =r\phi }$ ${\textstyle v(t)={\frac {d\ell }{dt}}=r\omega (t)}$ ${\textstyle \omega ={\frac {v}{r}}}$

En el caso general de una partícula que se mueve en el plano, la velocidad angular orbital es la velocidad a la que el vector de posición relativo a un origen elegido "barre" el ángulo. El diagrama muestra el vector de posición desde el origen hasta una partícula , con sus coordenadas polares . (Todas las variables son funciones del tiempo ). La partícula tiene una velocidad lineal que se divide como , con el componente radial paralelo al radio y el componente radial transversal (o tangencial) perpendicular al radio. Cuando no hay componente radial, la partícula se mueve alrededor del origen en un círculo; pero cuando no hay componente radial transversal, se mueve en línea recta desde el origen. Dado que el movimiento radial deja el ángulo sin cambios, solo el componente radial transversal de la velocidad lineal contribuye a la velocidad angular. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (r,\phi )}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{\|}+\mathbf {v} _{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\|}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$

La velocidad angular ω es la tasa de cambio de la posición angular con respecto al tiempo, que se puede calcular a partir de la velocidad radial transversal como:

ω = re ϕ re t = v ⊥ r . {\displaystyle \omega ={\frac {d\phi }{dt}}={\frac {v_{\perp }}{r}}.}

Aquí la velocidad radial transversal es la magnitud con signo de , positiva para el movimiento en sentido contrario a las agujas del reloj, negativa para el movimiento en el sentido de las agujas del reloj. Al tomar coordenadas polares para la velocidad lineal se obtiene la magnitud (velocidad lineal) y el ángulo relativo al vector de radio; en estos términos, , de modo que ${\displaystyle v_{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle v_{\perp }=v\sin(\theta )}$

ω = v pecado ⁡ ( θ ) r . {\displaystyle \omega ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}.}

Estas fórmulas se pueden derivar haciendo , que es función de la distancia al origen respecto del tiempo, y función del ángulo entre el vector y el eje x. Entonces: que es igual a: (ver Vector unitario en coordenadas cilíndricas). ${\displaystyle \mathbf {r} =(r\cos(\varphi ),r\sin(\varphi ))}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=({\dot {r}}\cos(\varphi )-r{\dot {\varphi }}\sin(\varphi ),{\dot {r}}\sin(\varphi )+r{\dot {\varphi }}\cos(\varphi )),}$$ $${\displaystyle {\dot {r}}(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))+r{\dot {\varphi }}(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}}$$

Sabiendo , concluimos que la componente radial de la velocidad está dada por , porque es un vector unitario radial; y la componente perpendicular está dada por porque es un vector unitario perpendicular. ${\textstyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\dot {r}}}$ ${\displaystyle {\hat {r}}}$ ${\displaystyle r{\dot {\varphi }}}$ ${\displaystyle {\hat {\varphi }}}$

En dos dimensiones, la velocidad angular es un número con un signo más o menos que indica orientación, pero no apunta a una dirección. El signo se considera convencionalmente positivo si el radio vector gira en sentido antihorario y negativo si gira en el sentido horario. La velocidad angular puede entonces denominarse pseudoescalar , una cantidad numérica que cambia de signo bajo una inversión de paridad , como invertir un eje o cambiar los dos ejes.

Partícula en tres dimensiones

El vector de velocidad angular orbital codifica la tasa temporal de cambio de la posición angular, así como el plano instantáneo de desplazamiento angular. En este caso (movimiento circular en sentido antihorario), el vector apunta hacia arriba.

En el espacio tridimensional , tenemos nuevamente el vector de posición r de una partícula en movimiento. Aquí, la velocidad angular orbital es un pseudovector cuya magnitud es la velocidad a la que r barre el ángulo (en radianes por unidad de tiempo), y cuya dirección es perpendicular al plano instantáneo en el que r barre el ángulo (es decir, el plano abarcado por r y v ). Sin embargo, como hay dos direcciones perpendiculares a cualquier plano, es necesaria una condición adicional para especificar de forma única la dirección de la velocidad angular; convencionalmente, se utiliza la regla de la mano derecha .

Sea el pseudovector el vector unitario perpendicular al plano abarcado por r y v , de modo que se cumpla la regla de la mano derecha (es decir, la dirección instantánea del desplazamiento angular es en sentido antihorario si se mira desde la parte superior de ). Tomando coordenadas polares en este plano, como en el caso bidimensional anterior, se puede definir el vector de velocidad angular orbital como: ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle (r,\phi )}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\omega \mathbf {u} ={\frac {d\phi }{dt}}\mathbf {u} ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}\mathbf {u} ,}$

donde θ es el ángulo entre r y v . En términos del producto vectorial, esto es:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}.}$^[5]

De la ecuación anterior, se puede recuperar la velocidad tangencial como:

${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$

Velocidad angular de giro de un cuerpo rígido o un marco de referencia

Dado un sistema de coordenadas rotatorio de tres vectores unitarios, los tres deben tener la misma velocidad angular en cada instante. En dicho sistema, cada vector puede considerarse como una partícula en movimiento con un radio escalar constante.

El marco giratorio aparece en el contexto de los cuerpos rígidos , y se han desarrollado herramientas especiales para ello: la velocidad angular de espín puede describirse como un vector o, equivalentemente, como un tensor .

De acuerdo con la definición general, la velocidad angular de giro de un marco se define como la velocidad angular orbital de cualquiera de los tres vectores (igual para todos) con respecto a su propio centro de rotación. La suma de vectores de velocidad angular para marcos también se define mediante la suma vectorial habitual (composición de movimientos lineales), y puede ser útil para descomponer la rotación como en un cardán . Todos los componentes del vector se pueden calcular como derivadas de los parámetros que definen los marcos en movimiento (ángulos de Euler o matrices de rotación). Como en el caso general, la suma es conmutativa: . ${\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}=\omega _{2}+\omega _{1}}$

Según el teorema de rotación de Euler , cualquier marco giratorio posee un eje de rotación instantáneo , que es la dirección del vector de velocidad angular, y la magnitud de la velocidad angular es consistente con el caso bidimensional.

Si elegimos un punto de referencia fijo en el cuerpo rígido, la velocidad de cualquier punto del cuerpo viene dada por ${\displaystyle {{\boldsymbol {r}}_{0}}}$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}}$

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}={\dot {{\boldsymbol {r}}_{0}}}+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {r}}-{{\boldsymbol {r}}_{0}})}$

Componentes de los vectores base de un marco fijo al cuerpo

Considere un cuerpo rígido que gira alrededor de un punto fijo O. Construya un marco de referencia en el cuerpo que consista en un conjunto ortonormal de vectores fijos al cuerpo y con su origen común en O. El vector de velocidad angular de giro tanto del marco como del cuerpo alrededor de O es entonces ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left({\dot {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\right)\mathbf {e} _{3}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\right)\mathbf {e} _{1}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\right)\mathbf {e} _{2},}$

donde es la tasa temporal de cambio del vector de marco debido a la rotación. ${\displaystyle {\dot {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {d\mathbf {e} _{i}}{dt}}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i},i=1,2,3,}$

Esta fórmula es incompatible con la expresión de la velocidad angular orbital.

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}}{r^{2}}},}$

ya que esa fórmula define la velocidad angular para un único punto en torno a O, mientras que la fórmula de esta sección se aplica a un marco o cuerpo rígido. En el caso de un cuerpo rígido, una sola tiene que tener en cuenta el movimiento de todas las partículas en el cuerpo. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Componentes de los ángulos de Euler

Diagrama que muestra el marco de Euler en verde

Los componentes del pseudovector de velocidad angular de espín fueron calculados por primera vez por Leonhard Euler utilizando sus ángulos de Euler y el uso de un marco intermedio:

• Un eje del marco de referencia (el eje de precesión)
• La línea de nodos del marco móvil con respecto al marco de referencia (eje de nutación)
• Un eje del marco móvil (el eje de rotación intrínseco)

Euler demostró que las proyecciones del pseudovector de velocidad angular sobre cada uno de estos tres ejes es la derivada de su ángulo asociado (lo que equivale a descomponer la rotación instantánea en tres rotaciones instantáneas de Euler ). Por lo tanto: ^[6]

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\dot {\alpha }}\mathbf {u} _{1}+{\dot {\beta }}\mathbf {u} _{2}+{\dot {\gamma }}\mathbf {u} _{3}}$

Esta base no es ortonormal y es difícil de utilizar, pero ahora el vector de velocidad se puede cambiar al sistema fijo o al sistema móvil con solo cambiar las bases. Por ejemplo, cambiando al sistema móvil:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=({\dot {\alpha }}\sin \beta \sin \gamma +{\dot {\beta }}\cos \gamma ){\hat {\mathbf {i} }}+({\dot {\alpha }}\sin \beta \cos \gamma -{\dot {\beta }}\sin \gamma ){\hat {\mathbf {j} }}+({\dot {\alpha }}\cos \beta +{\dot {\gamma }}){\hat {\mathbf {k} }}}$

donde son vectores unitarios para el marco fijo en el cuerpo móvil. Este ejemplo se ha realizado utilizando la convención ZXZ para ángulos de Euler. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}}$

Tensor

El tensor de velocidad angular es una matriz antisimétrica definida por:

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\\\end{pmatrix}}}$

Los elementos escalares anteriores corresponden a los componentes del vector de velocidad angular . ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})}$

Esta es una matriz de rotación infinitesimal . La función lineal Ω actúa como un producto vectorial : ${\displaystyle ({\boldsymbol {\omega }}\times )}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}=\Omega {\boldsymbol {r}}}$

donde es un vector de posición . ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$

Cuando se multiplica por una diferencia de tiempo, da como resultado el tensor de desplazamiento angular .

Véase también

• Aceleración angular
• Frecuencia angular
• Momento angular
• Velocidad de área
• Isometría
• Grupo ortogonal
• Dinámica de cuerpo rígido
• Vorticidad

Referencias

1. Cummings, Karen; Halliday, David (2007). Understanding physics. Nueva Delhi: John Wiley & Sons Inc., reimpresión autorizada a Wiley – India. págs. 449, 484, 485, 487. ISBN 978-81-265-0882-2.(arriba1)
2. Taylor, Barry N. (2009). Sistema Internacional de Unidades (SI) (edición revisada de 2008). DIANE Publishing. p. 27. ISBN 978-1-4379-1558-7.Extracto de la página 27
3. "Unidades con nombres y símbolos especiales; unidades que incorporan nombres y símbolos especiales".
4. Hibbeler, Russell C. (2009). Ingeniería mecánica. Upper Saddle River , Nueva Jersey: Pearson Prentice Hall. pp. 314, 153. ISBN 978-0-13-607791-6.(EM1)
5. Singh, Sunil K. Velocidad angular. Universidad Rice . Recuperado el 21 de mayo de 2021 – vía OpenStax.
6. KSHEDRIH: Leonhard Euler (1707–1783) y la dinámica del cuerpo rígido

• Symon, Keith (1971). Mecánica . Addison-Wesley, Reading, MA. ISBN 978-0-201-07392-8.
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1997). Mecánica . Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-2896-9.

Enlaces externos

• Un libro de texto universitario de física Por Arthur Lalanne Kimball ( Velocidad angular de una partícula )
• Pickering, Steve (2009). "Velocidad de rotación ω [velocidad angular]". Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .