Funciones de utilidad sobre bienes indivisibles.

Algunas ramas de la economía y la teoría de juegos se ocupan de bienes indivisibles , artículos discretos que sólo pueden comercializarse en su conjunto. Por ejemplo, en las subastas combinatorias hay un conjunto finito de artículos y cada agente puede comprar un subconjunto de artículos, pero un artículo no puede dividirse entre dos o más agentes.

Generalmente se supone que cada agente asigna utilidad subjetiva a cada subconjunto de elementos. Esto se puede representar de dos maneras:

• Una relación de preferencia de utilidad ordinal , generalmente marcada por . Se escribe el hecho de que un agente prefiere un conjunto a un conjunto . Si el agente sólo prefiere débilmente (es decir, prefiere o es indiferente entre y ), entonces se escribe . ${\displaystyle \succ }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\succ B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\succeq B}$
• Una función de utilidad cardinal , normalmente denotada por . Se escribe la utilidad que un agente obtiene de un conjunto . Las funciones de utilidad cardinales a menudo se normalizan de modo que donde está el conjunto vacío. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle u(A)}$ ${\displaystyle u(\emptyset )=0}$ ${\displaystyle \emptyset }$

Una función de utilidad cardinal implica una relación de preferencia: implica e implica . Las funciones de utilidad pueden tener varias propiedades. ^[1] ${\displaystyle u(A)>u(B)}$ ${\displaystyle A\succ B}$ ${\displaystyle u(A)\geq u(B)}$ ${\displaystyle A\succeq B}$

monotonicidad

Monotonicidad significa que un agente siempre prefiere (débilmente) tener elementos adicionales. Formalmente:

• Para una relación de preferencia: implica . ${\displaystyle A\supseteq B}$ ${\displaystyle A\succeq B}$
• Para una función de utilidad: implica (es decir, u es una función monótona ). ${\displaystyle A\supseteq B}$ ${\displaystyle u(A)\geq u(B)}$

La monotonicidad es equivalente al supuesto de libre disposición : si un agente siempre puede descartar elementos no deseados, entonces los elementos adicionales nunca podrán disminuir la utilidad.

Aditividad

La aditividad (también llamada linealidad o modularidad ) significa que “el todo es igual a la suma de sus partes”. Es decir, la utilidad de un conjunto de elementos es la suma de las utilidades de cada elemento por separado. Esta propiedad es relevante sólo para funciones de utilidad cardinales. Dice que para cada conjunto de elementos, ${\displaystyle A}$

${\displaystyle u(A)=\sum _{x\in A}u({x})}$

asumiendo que . En otras palabras, es una función aditiva . Una definición equivalente es: para cualquier conjunto de elementos y , ${\displaystyle u(\emptyset )=0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle u(A)+u(B)=u(A\cup B)+u(A\cap B).}$

Una función de utilidad aditiva es característica de los bienes independientes . Por ejemplo, una manzana y un sombrero se consideran independientes: la utilidad que recibe una persona por tener una manzana es la misma tenga o no sombrero, y viceversa. A la derecha se muestra una función de utilidad típica para este caso.

Submodularidad y supermodularidad

Submodularidad significa que "el todo no es más que la suma de sus partes (y puede ser menos)". Formalmente, para todos los conjuntos y , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle u(A)+u(B)\geq u(A\cup B)+u(A\cap B)}$

En otras palabras, es una función de conjunto submodular . ${\displaystyle u}$

Una propiedad equivalente es la utilidad marginal decreciente , lo que significa que para cualquier conjunto y con , y cada : ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle x\notin B}$

${\displaystyle u(A\cup \{x\})-u(A)\geq u(B\cup \{x\})-u(B)}$.

Una función de utilidad submodular es característica de los bienes sustitutos . Por ejemplo, una manzana y una hogaza de pan pueden considerarse sustitutos: la utilidad que recibe una persona al comer una manzana es menor si ya ha comido pan (y viceversa), ya que en ese caso tiene menos hambre. A la derecha se muestra una función de utilidad típica para este caso.

La supermodularidad es lo opuesto a la submodularidad: significa que "el todo no es menos que la suma de sus partes (y puede ser más)". Formalmente, para todos los conjuntos y , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle u(A)+u(B)\leq u(A\cup B)+u(A\cap B)}$

En otras palabras, es una función de conjunto supermodular . ${\displaystyle u}$

Una propiedad equivalente es la utilidad marginal creciente , lo que significa que para todos los conjuntos y con , y cada : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle x\notin B}$

${\displaystyle u(B\cup \{x\})-u(B)\geq u(A\cup \{x\})-u(A)}$.

Una función de utilidad de supermódulo es característica de los bienes complementarios . Por ejemplo, una manzana y un cuchillo pueden considerarse complementarios: la utilidad que una persona recibe de una manzana es mayor si ya tiene un cuchillo (y viceversa), ya que es más fácil comerse una manzana después de cortarla con un cuchillo. A la derecha se muestra una posible función de utilidad para este caso.

Una función de utilidad es aditiva si y sólo si es submodular y supermodular.

Subaditividad y superaditividad

La subaditividad significa que por cada par de conjuntos disjuntos ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle u(A\cup B)\leq u(A)+u(B)}$

En otras palabras, es una función de conjunto subaditiva . ${\displaystyle u}$

Suponiendo que no es negativo, cada función submodular es subaditiva. Sin embargo, existen funciones subaditivas no negativas que no son submodulares. Por ejemplo, supongamos que hay 3 artículos idénticos, , y Z, y la utilidad depende sólo de su cantidad. La tabla de la derecha describe una función de utilidad que es subaditiva pero no submodular, ya que ${\displaystyle u(\emptyset )}$ ${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle u(\{X,Y\})+u(\{Y,Z\})<u(\{X,Y\}\cup \{Y,Z\})+u(\{X,Y\}\cap \{Y,Z\}).}$

La superaditividad significa que por cada par de conjuntos disjuntos ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle u(A\cup B)\geq u(A)+u(B)}$

En otras palabras, es una función de conjunto superaditiva . ${\displaystyle u}$

Suponiendo que no es positivo, toda función supermodular es superaditiva. Sin embargo, existen funciones superaditivas no negativas que no son supermodulares. Por ejemplo, supongamos que hay 3 artículos idénticos, , y Z, y la utilidad depende sólo de su cantidad. La tabla de la derecha describe una función de utilidad que es no negativa y superaditiva pero no supermodular, ya que ${\displaystyle u(\emptyset )}$ ${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle u(\{X,Y\})+u(\{Y,Z\})<u(\{X,Y\}\cup \{Y,Z\})+u(\{X,Y\}\cap \{Y,Z\}).}$

Se dice que una función de utilidad con es aditiva si y sólo si es superaditiva y subaditiva. ${\displaystyle u(\emptyset )=0}$

Con el supuesto típico de que , toda función submodular es subaditiva y toda función supermodular es superaditiva. Sin ningún supuesto sobre la utilidad del conjunto vacío, estas relaciones no se mantienen. ${\displaystyle u(\emptyset )=0}$

En particular, si una función submodular no es subaditiva, entonces debe ser negativa. Por ejemplo, supongamos que hay dos elementos, , con y . Esta función de utilidad es submodular y supermodular y no negativa excepto en el conjunto vacío, pero no es subaditiva, ya que ${\displaystyle u(\emptyset )}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle u(\emptyset )=-1}$ ${\displaystyle u(\{X\})=u(\{Y\})=1}$ ${\displaystyle u(\{X,Y\})=3}$

${\displaystyle u(\{X,Y\})>u(\{X\})+u(\{Y\}).}$

Además, si una función supermodular no es superaditiva, entonces debe ser positiva. Supongamos en cambio que . Esta función de utilidad es no negativa, supermodular y submodular, pero no superaditiva, ya que ${\displaystyle u(\emptyset )}$ ${\displaystyle u(\emptyset )=u(\{X\})=u(\{Y\})=u(\{X,Y\})=1}$

${\displaystyle u(\{X,Y\})<u(\{X\})+u(\{Y\}).}$

Demanda unitaria

La demanda unitaria (UD) significa que el agente sólo quiere un bien. Si el agente obtiene dos o más bienes, utiliza aquel de ellos que le proporciona mayor utilidad y descarta el resto. Formalmente:

• Para una relación de preferencia: para cada conjunto hay un subconjunto con cardinalidad , tal que . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle |A|=1}$ ${\displaystyle A\succeq B}$
• Para una función de utilidad: Para cada conjunto : ^[3] ${\displaystyle A}$

${\displaystyle u(A)=\max _{x\in A}u({x})}$

Una función de demanda unitaria es un caso extremo de una función submodular. Es característico de bienes que son sustitutos puros. Por ejemplo, si hay una manzana y una pera, y un agente quiere comer una sola fruta, entonces su función de utilidad es demanda unitaria, como se ejemplifica en la tabla de la derecha.

sustitutos brutos

Una ilustración de las relaciones de contención entre clases comunes de funciones de utilidad.

Sustitutos brutos (GS) significa que los agentes consideran los artículos como bienes sustitutos o bienes independientes pero no como bienes complementarios . Existen muchas definiciones formales de esta propiedad, todas las cuales son equivalentes.

• Toda valoración de UD es GS, pero no ocurre lo contrario.
• Toda valoración de GS es submodular, pero no ocurre lo contrario.

Consulte Sustitutos brutos (partidas indivisibles) para obtener más detalles.

Por tanto, entre las clases se mantienen las siguientes relaciones:

${\displaystyle UD\subsetneq GS\subsetneq Submodular\subsetneq Subadditive}$

Ver diagrama a la derecha.

Agregados de funciones de utilidad

Una función de utilidad describe la felicidad de un individuo. A menudo necesitamos una función que describa la felicidad de toda una sociedad. Esta función se denomina función de bienestar social y suele ser una función agregada de dos o más funciones de utilidad. Si las funciones de utilidad individuales son aditivas, entonces lo siguiente es cierto para las funciones agregadas:

Ver también

• Funciones de utilidad en bienes divisibles.
• Agente decidido

Referencias

1. Gul, F.; Stacchetti, E. (1999). "Equilibrio walrasiano con sustitutos brutos". Revista de teoría económica . 87 : 95-124. doi :10.1006/jeth.1999.2531.
2. Moulin, Hervé (1991). Axiomas de la toma de decisiones cooperativa . Cambridge Inglaterra Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 9780521424585.
3. Koopmans, TC; Beckmann, M. (1957). «Problemas de asignación y localización de actividades económicas» (PDF) . Econométrica . 25 (1): 53–76. doi :10.2307/1907742. JSTOR  1907742.