Marco (álgebra lineal)

Similar a la base de un espacio vectorial, pero no necesariamente linealmente independiente

En álgebra lineal , un marco de un espacio de producto interno es una generalización de una base de un espacio vectorial a conjuntos que pueden ser linealmente dependientes . En la terminología del procesamiento de señales , un marco proporciona una forma redundante y estable de representar una señal . ^[1] Los marcos se utilizan en la detección y corrección de errores y en el diseño y análisis de bancos de filtros y, de manera más general, en matemáticas aplicadas , informática e ingeniería . ^[2]

Historia

Debido a los diversos componentes matemáticos que rodean a los marcos, la teoría de marcos tiene raíces en el análisis armónico y funcional , la teoría de operadores , el álgebra lineal y la teoría de matrices . ^[3]

La transformada de Fourier se ha utilizado durante más de un siglo como forma de descomponer y expandir señales. Sin embargo, la transformada de Fourier enmascara información clave sobre el momento de emisión y la duración de una señal. En 1946, Dennis Gabor pudo resolver este problema utilizando una técnica que simultáneamente reducía el ruido, proporcionaba resiliencia y creaba cuantificación al tiempo que encapsulaba características importantes de la señal. ^[1] Este descubrimiento marcó el primer esfuerzo concertado hacia la teoría de tramas.

La condición de marco fue descrita por primera vez por Richard Duffin y Albert Charles Schaeffer en un artículo de 1952 sobre series de Fourier no armónicas como una forma de calcular los coeficientes en una combinación lineal de los vectores de un conjunto generador linealmente dependiente (en su terminología, un " marco espacial de Hilbert "). ^[4] En la década de 1980, Stéphane Mallat , Ingrid Daubechies e Yves Meyer utilizaron marcos para analizar wavelets . Hoy en día, los marcos están asociados con wavelets, procesamiento de señales e imágenes y compresión de datos .

Definición y motivación

Ejemplo motivador: calcular una base a partir de un conjunto linealmente dependiente

Supongamos que tenemos un espacio vectorial sobre un cuerpo y queremos expresar un elemento arbitrario como una combinación lineal de los vectores , es decir, encontrar coeficientes tales que ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}\in V}$ ${\displaystyle \{c_{k}\}\in F}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}c_{k}\mathbf {e} _{k}.}$

Si el conjunto no abarca , entonces dichos coeficientes no existen para cada uno de dichos . Si abarca y también es linealmente independiente , este conjunto forma una base de , y los coeficientes están determinados de forma única por . Sin embargo, si abarca pero no es linealmente independiente, la cuestión de cómo determinar los coeficientes se vuelve menos evidente, en particular si es de dimensión infinita. ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle c_{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Dado que los vectores y son linealmente dependientes, una estrategia es eliminar vectores del conjunto hasta que se vuelva linealmente independiente y forme una base. Este plan presenta algunos problemas: ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ ${\displaystyle V}$

1. Eliminar vectores arbitrarios del conjunto puede provocar que este no pueda abarcar todo antes de volverse linealmente independiente. ${\displaystyle V}$
2. Incluso si es posible idear una forma específica de eliminar vectores del conjunto hasta que se convierta en una base, este enfoque puede resultar inviable en la práctica si el conjunto es grande o infinito.
3. En algunas aplicaciones, puede ser una ventaja utilizar más vectores de los necesarios para representar . Esto significa que queremos encontrar los coeficientes sin eliminar elementos en . Los coeficientes ya no estarán determinados de forma única por . Por lo tanto, el vector se puede representar como una combinación lineal de de más de una manera. ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle c_{k}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ ${\displaystyle c_{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

Definición

Sea un espacio de producto interno y un conjunto de vectores en . El conjunto es un marco de si satisface la llamada condición de marco . Es decir, si existen dos constantes tales que ^[5] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0<A\leq B<\infty }$

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \sum _{k\in \mathbb {N} }\left|\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \right|^{2}\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2},\quad \forall \mathbf {v} \in V.}$

Un marco se denomina sobrecompleto (o redundante ) si no es una base de Riesz para el espacio vectorial. La redundancia del marco se mide por los límites de marco inferior y superior (o factores de redundancia ) y , respectivamente. ^[6] Es decir, un marco de vectores normalizados en un espacio dimensional tiene límites de marco que satisfacen ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle K\geq N}$ ${\displaystyle \|\mathbf {e} _{k}\|=1}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle 0<A\leq {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{K}|\langle \mathbf {e} _{k},\mathbf {e} _{k}\rangle |^{2}={\frac {K}{N}}\leq B<\infty .}$

Si el marco es una base de Riesz y por lo tanto es linealmente independiente , entonces . ${\displaystyle A\leq 1\leq B}$

Los límites de trama no son únicos porque los números menores y mayores que también son límites de trama válidos. El límite inferior óptimo es el supremo de todos los límites inferiores y el límite superior óptimo es el ínfimo de todos los límites superiores. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Operador de análisis

Si se cumple la condición de marco, entonces el operador lineal definido como ^[7]

${\displaystyle \mathbf {T} :V\to \ell ^{2},\quad \mathbf {v} \mapsto \mathbf {T} \mathbf {v} =\{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e_{k}} \rangle \}_{k\in \mathbb {N} },}$

La asignación a la secuencia de coeficientes de marco se denomina operador de análisis . Con esta definición, la condición de marco se puede reescribir como ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ ${\displaystyle c_{k}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e_{k}} \rangle }$

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \left\|\mathbf {T} \mathbf {v} \right\|^{2}=\sum _{k}\left|\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \right|^{2}\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}.}$

Operador de síntesis

El adjunto del operador de análisis se llama operador de síntesis del marco y se define como ^[8]

${\displaystyle \mathbf {T} ^{*}:\ell ^{2}\to V,\quad \{c_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\mapsto \sum _{k}c_{k}\mathbf {e} _{k}.}$

Operador de trama

La composición del operador de análisis y el operador de síntesis conduce al operador de marco definido como

${\displaystyle \mathbf {S} :V\rightarrow V,\quad \mathbf {v} \mapsto \mathbf {S} \mathbf {v} =\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}.}$

A partir de esta definición y la linealidad en el primer argumento del producto interno, la condición de marco ahora da como resultado

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \left\|\mathbf {T} \mathbf {v} \right\|^{2}=\langle \mathbf {S} \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}.}$

Si existe el operador de análisis, entonces también existe el operador de marco , así como el inverso . Tanto y son operadores autoadjuntos acotados y definidos positivos , lo que da como resultado y siendo los valores ínfimo y supremo del espectro de . ^[9] En dimensiones finitas, el operador de marco es automáticamente de clase traza , con y correspondientes a los valores propios más pequeños y más grandes de o, equivalentemente, los valores singulares más pequeños y más grandes de . ^[10] ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {S} ^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {S} ^{-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$

Relación con las bases

La condición de marco es una generalización de la identidad de Parseval que mantiene la equivalencia normativa entre una señal en y su secuencia de coeficientes en . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

Si el conjunto es un marco de , abarca . De lo contrario, existiría al menos un valor distinto de cero que sería ortogonal a todos los tales que ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq 0\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2};}$

ya sea violando la condición marco o el supuesto de que . ${\displaystyle \mathbf {v} \neq 0}$

Sin embargo, un conjunto generador de no es necesariamente un marco. Por ejemplo, considere el producto escalar , y el conjunto infinito dado por ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

${\displaystyle \left\{(1,0),\,(0,1),\,\left(0,{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right),\,\left(0,{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right),\dotsc \right\}.}$

Este conjunto abarca pero desde ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \sum _{k}\left|\langle \mathbf {e} _{k},(0,1)\rangle \right|^{2}=0+1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dotsb =\infty ,}$

No podemos elegir un límite superior finito del marco B. En consecuencia, el conjunto no es un marco. ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

Marcos duales

Sea un marco que satisface la condición de marco. Entonces el operador dual se define como ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

${\displaystyle {\widetilde {\mathbf {T} }}\mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle ,}$

con

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {e} }}_{k}=(\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} )^{-1}\mathbf {e} _{k}=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{k},}$

llamado marco dual (o marco conjugado ). Es el dual canónico de (similar a una base dual de una base), con la propiedad de que ^[11] ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {\tilde {e}} _{k}=\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {\tilde {e}} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k},}$

y la condición del marco posterior

${\displaystyle {\frac {1}{B}}\|\mathbf {v} \|^{2}\leq \sum _{k}|\langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle |^{2}=\langle \mathbf {T} \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} ,\mathbf {T} \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \leq {\frac {1}{A}}\|\mathbf {v} \|^{2},\quad \forall \mathbf {v} \in V.}$

La dualidad canónica es una relación de reciprocidad, es decir, si el marco es el dual canónico de entonces el marco es el dual canónico de Para ver que esto tiene sentido, sea un elemento de y sea ${\displaystyle \{\mathbf {\tilde {e}} _{k}\}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\},}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {\tilde {e}} _{k}\}.}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle {\tilde {\mathbf {e} }}_{k}.}$

De este modo

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle (\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{k})=\mathbf {S} ^{-1}\left(\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}\right)=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {S} \mathbf {v} =\mathbf {v} ,}$

demostrando que

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle {\tilde {\mathbf {e} }}_{k}.}$

Alternativamente, dejemos

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle \mathbf {e} _{k}.}$

Aplicando las propiedades de y su inversa se muestra que ${\displaystyle \mathbf {S} }$

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}=\sum _{k}\langle \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}=\mathbf {S} (\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} )=\mathbf {v} ,}$

y por lo tanto

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle \mathbf {e} _{k}.}$

Un marco sobrecompleto nos permite cierta libertad para la elección de coeficientes tales que . Es decir, existen marcos duales de para los cuales ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ ${\displaystyle c_{k}\neq \langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle }$ ${\textstyle \mathbf {v} =\sum _{k}c_{k}\mathbf {e} _{k}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {g} _{k}\}\neq \{{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {g} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k},\quad \forall \mathbf {v} \in V.}$

Síntesis y análisis de cuadros duales

Supóngase que es un subespacio de un espacio de Hilbert y que y sean un marco y un marco dual de , respectivamente. Si no depende de , el marco dual se calcula como ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \{{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ ${\displaystyle f\in H}$

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {e} }}_{k}=(\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} _{V})^{-1}\mathbf {e} _{k},}$

donde denota la restricción de a tal que es invertible en . La mejor aproximación lineal de en viene dada entonces por la proyección ortogonal de sobre , definida como ${\displaystyle \mathbf {T} _{V}}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} _{V}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f\in H}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle P_{V}f=\sum _{k}\langle f,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {\tilde {e}} _{k}=\sum _{k}\langle f,\mathbf {\tilde {e}} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}.}$

El operador de síntesis de doble cuadro se define como

${\displaystyle P_{V}f={\widetilde {\mathbf {T} }}^{*}\mathbf {T} f=(\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} _{V})^{-1}\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} f=\sum _{k}\langle f,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {\tilde {e}} _{k},}$

y la proyección ortogonal se calcula a partir de los coeficientes del marco . En el análisis dual, la proyección ortogonal se calcula a partir de ${\displaystyle \langle f,\mathbf {e} _{k}\rangle }$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

${\displaystyle P_{V}f=\mathbf {T} ^{*}{\widetilde {\mathbf {T} }}f=\sum _{k}\langle f,\mathbf {\tilde {e}} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}}$

con operador de análisis de marco dual . ^[12] ${\displaystyle \{{\widetilde {\mathbf {T} }}f\}_{k}=\langle f,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle }$

Aplicaciones y ejemplos

En el procesamiento de señales , es común representar señales como vectores en un espacio de Hilbert . En esta interpretación, un vector expresado como una combinación lineal de los vectores de trama es una señal redundante . Representar una señal estrictamente con un conjunto de vectores linealmente independientes puede no ser siempre la forma más compacta. ^[13] Usando una trama, es posible crear una representación más simple y dispersa de una señal en comparación con una familia de señales elementales. Las tramas, por lo tanto, proporcionan "robustez". Debido a que proporcionan una forma de producir el mismo vector dentro de un espacio, las señales se pueden codificar de varias maneras. Esto facilita la tolerancia a fallas y la resiliencia a una pérdida de señal. Finalmente, la redundancia se puede utilizar para mitigar el ruido , que es relevante para la restauración, mejora y reconstrucción de señales.

Serie de Fourier no armónica

Del análisis armónico se sabe que el sistema trigonométrico complejo forma una base ortonormal para . Como tal, es un marco (estrecho) para con límites . ^[14] ${\textstyle \{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{ikx}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$ ${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$ ${\textstyle \{e^{ikx}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$ ${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$ ${\displaystyle A=B=2\pi }$

El sistema permanece estable bajo perturbaciones "suficientemente pequeñas" y el marco formará una base de Riesz para . En consecuencia, cada función en tendrá una representación única en serie de Fourier no armónica ${\displaystyle \{\lambda _{k}-k\}}$ ${\textstyle \{e^{i\lambda _{k}x}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$ ${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$ ${\displaystyle f}$ ${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }c_{k}e^{i\lambda _{k}x},}$

con y se denomina marco de Fourier (o marco de exponenciales ). Lo que constituye "suficientemente pequeño" se describe mediante el siguiente teorema, llamado así en honor a Mikhail Kadets . ^[15] ${\textstyle \sum |c_{k}|^{2}<\infty }$ ${\textstyle \{e^{i\lambda _{k}x}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$

Teorema 1 ⁄ 4 de Kadec  :  Sea una secuencia de números reales tales que ${\textstyle \{\lambda _{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$

${\displaystyle |\lambda _{k}-k|\leq L<{\frac {1}{4}},\quad \forall k\in \mathbb {Z} ,}$

entonces satisface el criterio de Paley-Wiener y por lo tanto forma una base de Riesz para . ${\textstyle \{e^{i\lambda _{k}x}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$ ${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$

El teorema se puede extender fácilmente a los marcos, reemplazando los números enteros por otra secuencia de números reales tales que ^{[16] [17]} ${\textstyle \{\mu _{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$

${\displaystyle |\lambda _{k}-\mu _{k}|\leq L<{\frac {1}{4}},\quad \forall k\in \mathbb {Z} ,\quad {\text{and}}\quad 1-\cos(\pi L)+\sin(\pi L)<{\sqrt {\frac {A}{B}}},}$

entonces es un marco para con límites ${\textstyle \{e^{i\lambda _{k}x}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$ ${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$

${\displaystyle A(1-{\sqrt {\frac {B}{A}}}(1-\cos(\pi L)+\sin(\pi L)))^{2},\quad B(2-\cos(\pi L)+\sin(\pi L))^{2}.}$

Proyector de marcos

La redundancia de un marco es útil para mitigar el ruido añadido de los coeficientes del marco. Sea un vector calculado con coeficientes de marco ruidosos. El ruido se mitiga luego proyectando sobre la imagen de . ${\displaystyle \mathbf {a} \in \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$

Teorema  —  Sea un marco de un espacio de Hilbert o de un subespacio del mismo. La proyección ortogonal es ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ ${\displaystyle P:\ell ^{2}\to \operatorname {im} (\mathbf {T} )}$

${\displaystyle P\mathbf {a} _{k}=\mathbf {T} {\widetilde {\mathbf {T} }}^{*}\mathbf {a} =\mathbf {T} (\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} )^{-1}\mathbf {T} ^{*}\mathbf {a} _{k}=\sum _{p}\mathbf {a} _{p}\langle {\tilde {\mathbf {e} }}_{p},\mathbf {e} _{k}\rangle .}$

Los coeficientes son coeficientes de marco en si y solo si ${\displaystyle \mathbf {a} \in \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {T} f}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (\mathbf {T} )}$

${\displaystyle P\mathbf {a} _{k}=\mathbf {a} _{k}.}$

El espacio de secuencia y (como ) son espacios de Hilbert de núcleo reproductor con un núcleo dado por la matriz . ^[9] Como tal, la ecuación anterior también se conoce como la ecuación de núcleo reproductor y expresa la redundancia de los coeficientes de marco. ^[18] ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (\mathbf {T} )\subseteq \ell ^{2}}$ ${\displaystyle M_{k,p}=\langle \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{p},\mathbf {e} _{k}\rangle }$

Casos especiales

Marcos ajustados

Un marco es un marco ajustado si . Un marco ajustado con límite de marco tiene la propiedad de que ${\displaystyle A=B}$ ${\textstyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{A}}\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k},\quad \forall \mathbf {v} \in V.}$

Por ejemplo, la unión de bases ortonormales disjuntas de un espacio vectorial es un marco estricto sobrecompleto con . Un marco estricto es un marco de Parseval si . ^[19] Cada base ortonormal es un marco de Parseval (completo), pero lo inverso no es necesariamente cierto. ^[20] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A=B=k}$ ${\displaystyle A=B=1}$

Marco normativo igualitario

Un marco es un marco de norma igual si existe una constante tal que para cada . Un marco de norma igual es un marco normalizado (a veces llamado marco de norma unitaria ) si . ^[21] Un marco de Parseval de norma unitaria es una base ortonormal; un marco de este tipo satisface la identidad de Parseval . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \|\mathbf {e} _{k}\|=c}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c=1}$

Marcos equiangulares

Un marco es equiangular si existe una constante tal que para todo . En particular, toda base ortonormal es equiangular. ^[22] ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |\langle \mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\rangle |=c}$ ${\displaystyle i\neq j}$

Marcos exactos

Un marco es un marco exacto si ningún subconjunto propio del marco abarca el espacio de producto interno. Cada base de un espacio de producto interno es un marco exacto para el espacio (por lo tanto, una base es un caso especial de un marco).

Generalizaciones

Semi-marco

A veces puede que no sea posible satisfacer ambos límites de marco simultáneamente. Un semimarco superior (respectivamente inferior) es un conjunto que solo satisface la desigualdad de marco superior (respectivamente inferior). ^[9] La secuencia de Bessel es un ejemplo de un conjunto de vectores que satisface solo la desigualdad de marco superior.

Para que cualquier vector pueda reconstruirse a partir de los coeficientes, basta que exista una constante tal que ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ ${\displaystyle \{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \}_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle A>0}$

${\displaystyle A\|x-y\|^{2}\leq \|Tx-Ty\|^{2},\quad \forall x,y\in V.}$

Al establecer y aplicar la linealidad del operador de análisis, esta condición es equivalente a: ${\displaystyle \mathbf {v} =x-y}$

${\displaystyle A\|\mathbf {v} \|^{2}\leq \|T\mathbf {v} \|^{2},\quad \forall \mathbf {v} \in V,}$

que es exactamente la condición del límite inferior del marco.

Marco de fusión

Un marco de fusión se entiende mejor como una extensión de los operadores de síntesis y análisis de marco dual donde, en lugar de un único subespacio , se considera un conjunto de subespacios cerrados con pesos escalares positivos . Un marco de fusión es una familia que satisface la condición de marco ${\displaystyle V\subseteq H}$ ${\displaystyle \{W_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }\subseteq H}$ ${\displaystyle \{w_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \{W_{i},w_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle A\|f\|^{2}\leq \sum _{i}w_{i}^{2}\|P_{W_{i}}f\|^{2}\leq B\|f\|^{2},\quad \forall f\in H,}$

donde denota la proyección ortogonal sobre el subespacio . ^[23] ${\displaystyle P_{W_{i}}}$ ${\displaystyle W_{i}}$

Marco continuo

Supongamos que es un espacio de Hilbert, un espacio localmente compacto y es una medida de Borel localmente finita en . Entonces, un conjunto de vectores en , con una medida se dice que es un marco continuo si existen constantes, tales que ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{f_{x}\}_{x\in X}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 0<A\leq B}$

${\displaystyle A||f||^{2}\leq \int _{X}|\langle f,f_{x}\rangle |^{2}d\mu (x)\leq B||f||^{2},\quad \forall f\in H.}$

Para ver que los marcos continuos son de hecho la generalización natural de los marcos mencionados anteriormente, considere un conjunto discreto y una medida donde es la medida de Dirac . Entonces la condición de marco continuo se reduce a ${\displaystyle \Lambda \subset X}$ ${\displaystyle \mu =\delta _{\Lambda }}$ ${\displaystyle \delta _{\Lambda }}$

${\displaystyle A||f||^{2}\leq \sum _{\lambda \in \Lambda }|\langle f,f_{\lambda }\rangle |^{2}\leq B||f||^{2},\quad \forall f\in H.}$

Al igual que en el caso discreto, podemos definir los operadores de análisis, síntesis y marco cuando tratamos con marcos continuos.

Operador de análisis continuo

Dado un marco continuo, el operador de análisis continuo es el operador que asigna a una función definida de la siguiente manera: ${\displaystyle \{f_{x}\}_{x\in X}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle T:H\to L^{2}(X,\mu )}$por . ${\displaystyle f\mapsto \langle f,f_{x}\rangle _{x\in X}}$

Operador de síntesis continua

El operador adjunto del operador de análisis continuo es el operador de síntesis continua , que es el mapa

${\displaystyle T^{*}:L^{2}(X,\mu )\to H}$por . ${\displaystyle a_{x}\mapsto \int _{X}a_{x}f_{x}d\mu (x)}$

Operador de trama continua

La composición del operador de análisis continuo y del operador de síntesis continua se conoce como operador de trama continua. Para una trama continua , se define de la siguiente manera: ${\displaystyle \{f_{x}\}_{x\in X}}$

${\displaystyle S:H\to H}$por ${\displaystyle Sf:=\int _{X}\langle f,f_{x}\rangle f_{x}d\mu (x).}$

En este caso, el proyector de marco continuo es la proyección ortogonal definida por ${\displaystyle P:L^{2}(x,\mu )\to \operatorname {im} (T)}$

${\displaystyle P:=TS^{-1}T^{*}.}$

El proyector es un operador integral con núcleo reproductor , por lo tanto es un espacio de Hilbert con núcleo reproductor . ^[9] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle K(x,y)=\langle S^{-1}f_{x},f_{y}\rangle }$ ${\displaystyle \operatorname {im} (T)}$

Marco doble continuo

Dado un marco continuo y otro marco continuo , entonces se dice que es un marco dual continuo de si satisface la siguiente condición para todos : ${\displaystyle \{f_{x}\}_{x\in X}}$ ${\displaystyle \{g_{x}\}_{x\in X}}$ ${\displaystyle \{g_{x}\}_{x\in X}}$ ${\displaystyle \{f_{x}\}}$ ${\displaystyle f,h\in H}$

${\displaystyle \langle f,h\rangle =\int _{X}\langle f,f_{x}\rangle \langle g_{x},h\rangle d\mu (x).}$

Medida positiva valorada por el operador enmarcada

Así como un marco es una generalización natural de una base a conjuntos que pueden ser linealmente dependientes, una medida con valor de operador positivo (POVM) es una generalización natural de una medida con valor de proyección (PVM) en la que los elementos de una POVM no son necesariamente proyecciones ortogonales .

Supongamos que es un espacio medible con una σ-álgebra de Borel en y sea un POVM de al espacio de operadores positivos en con la propiedad adicional de que ${\displaystyle (X,M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle 0<AI\leq F(M)\leq BI<\infty ,}$

donde es el operador de identidad . Entonces se llama POVM enmarcado . ^[23] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F}$

En el caso de la condición del marco de fusión, esto permite la sustitución

${\displaystyle F(m)=\sum _{i\in m}w_{i}P_{W_{i}},\quad m\in M.}$

Para el operador de marco continuo, el POVM enmarcado sería ^[24]

${\displaystyle \langle F(M)f_{x},f_{y}\rangle =\int _{M}\langle Sf_{x},f_{y}\rangle d\mu (x).}$

Véase también

• marco k
• Ondícula biortogonal
• Ondícula ortogonal
• Propiedad de isometría restringida
• Base de Schauder
• Análisis armónico
• Análisis de Fourier
• Análisis funcional

Notas

1. Kovačević y Chebira 2008, pág. 6.
2. Casazza, Kutyniok y Philipp 2013, pág. 1.
3. Casazza, Kutyniok y Philipp 2013, pág. 2.
4. Duffin y Schaeffer 1952.
5. Mallat 2009, págs. 155-157.
6. Mallat 2009, pág. 22.
7. Casazza, Kutyniok y Philipp 2013, pág. 18.
8. Casazza, Kutyniok y Philipp 2013, pág. 19.
9. Antoine y Balazs 2012.
10. Mallat 2009, pág. 156.
11. Duffin y Schaeffer 1952, págs. 358–362.
12. Mallat (2009), págs. 161-163.
13. Mallat 2009, pág. 1.
14. Christensen 2016, pág. 232.
15. Joven 2001, pág. 36.
16. Christensen 2016, pág. 238.
17. Joven 2001, pág. 160.
18. Mallat 2009, págs. 166-167.
19. Christensen 2016, págs. 153-155.
20. Christensen 2016, pág. 23.
21. Christensen 2016, pág. 3.
22. Christensen 2016, pág. 43.
23. Moran, Howard y Cochran 2013.
24. Robinson, Moran y Cochran 2021.

Referencias

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