Restricción de Pfaffian

En dinámica , una restricción Pfaffiana es una forma de describir un sistema dinámico en la forma:

${\displaystyle \sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}+A_{r}dt=0;\;r=1,\ldots ,L}$^[1]

donde es el número de ecuaciones en un sistema de restricciones. ${\displaystyle L}$

Los sistemas holonómicos siempre pueden escribirse en forma de restricción pfaffiana.

Derivación

Dado un sistema holonómico descrito por un conjunto de ecuaciones de restricción holonómicas

${\displaystyle f_{r}(u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n},t)=0;\;r=1,\ldots ,L}$

donde son las n coordenadas generalizadas que describen el sistema, y ​​donde es el número de ecuaciones en un sistema de restricciones, podemos diferenciar por la regla de la cadena para cada ecuación: ${\displaystyle \{u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n}\}}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial f_{r}}{\partial u_{s}}}du_{s}+{\frac {\partial f_{r}}{\partial t}}dt=0;\;r=1,\ldots ,L}$

Por una simple sustitución de nomenclatura llegamos a:

${\displaystyle \sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}+A_{r}dt=0;\;r=1,\ldots ,L}$

Ejemplos

Péndulo

Un péndulo

Consideremos un péndulo. Debido a que el movimiento del peso está limitado por el brazo, el vector de velocidad del peso debe ser perpendicular en todo momento al vector de posición . Como estos vectores son siempre ortogonales, su producto escalar debe ser cero. Tanto la posición como la velocidad de la masa se pueden definir en términos de un sistema de coordenadas : ${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {L}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\overrightarrow {L}}\cdot {\overrightarrow {V}}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{bmatrix}}=0}$

Simplificando el producto escalar obtenemos:

${\displaystyle x{\dot {x}}+y{\dot {y}}=x{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}+y{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}=0}$

Multiplicamos ambos lados por . Esto da como resultado la forma pfaffiana de la ecuación de restricción: ${\displaystyle {\text{d}}t}$

${\displaystyle x{\text{d}}x+y{\text{d}}y=0}$

Esta forma pfaffiana es útil, ya que podemos integrarla para resolver la ecuación de restricción holonómica del sistema, si existe alguna. En este caso, la integración es bastante trivial:

${\displaystyle \int x{\text{d}}x+\int y{\text{d}}y=0=x^{2}+y^{2}+C}$

Donde C es la constante de integración.

Y convencionalmente, podemos escribir:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=L^{2}}$

El término se eleva al cuadrado simplemente porque debe ser un número positivo; al ser un sistema físico, las dimensiones deben ser todas números reales . De hecho, es la longitud del brazo del péndulo. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L}$

Robótica

En la planificación del movimiento del robot , una restricción pfaffiana es un conjunto de k restricciones linealmente independientes lineales en velocidad, es decir, de la forma $${\displaystyle A(q)\,{\dot {q}}=0}$$

Una fuente de restricciones pfaffianas es el movimiento de rodadura sin deslizamiento en los robots con ruedas. ^[2]

Referencias

1. Ardema, Mark D. (2005). Dinámica analítica: teoría y aplicaciones . Kluwer Academic / Plenum Publishers. pág. 57. ISBN 0-306-48681-4.
2. Choset, HM (2005). Principios del movimiento de robots: teoría, algoritmos e implementación . The MIT Press. ISBN 0-262-03327-5.