Algoritmo de puntuación

El algoritmo de puntuación , también conocido como puntuación de Fisher , ^[1] es una forma del método de Newton utilizado en estadística para resolver numéricamente ecuaciones de máxima verosimilitud , que lleva el nombre de Ronald Fisher .

Bosquejo de derivación

Sean variables aleatorias , independientes e idénticamente distribuidas con pdf dos veces diferenciable , y deseamos calcular el estimador de máxima verosimilitud (MLE) de . Primero, supongamos que tenemos un punto de partida para nuestro algoritmo y consideramos una expansión de Taylor de la función de puntuación , aproximadamente : ${\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{n}}$ ${\displaystyle f(y;\theta )}$ ${\displaystyle \theta ^{*}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle V(\theta )}$ ${\displaystyle \theta _{0}}$

${\displaystyle V(\theta )\approx V(\theta _{0})-{\mathcal {J}}(\theta _{0})(\theta -\theta _{0}),\,}$

dónde

${\displaystyle {\mathcal {J}}(\theta _{0})=-\sum _{i=1}^{n}\left.\nabla \nabla ^{\top }\right|_{\theta =\theta _{0}}\log f(Y_{i};\theta )}$

es la matriz de información observada en . Ahora, configurar , usar eso y reorganizar nos da: ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta =\theta ^{*}}$ ${\displaystyle V(\theta ^{*})=0}$

${\displaystyle \theta ^{*}\approx \theta _{0}+{\mathcal {J}}^{-1}(\theta _{0})V(\theta _{0}).\,}$

Por lo tanto utilizamos el algoritmo

${\displaystyle \theta _{m+1}=\theta _{m}+{\mathcal {J}}^{-1}(\theta _{m})V(\theta _{m}),\,}$

y bajo ciertas condiciones de regularidad, se puede demostrar que . ${\displaystyle \theta _{m}\rightarrow \theta ^{*}}$

Puntuación de Fisher

En la práctica, suele sustituirse por la información de Fisher , dándonos así el algoritmo de puntuación de Fisher : ${\displaystyle {\mathcal {J}}(\theta )}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )=\mathrm {E} [{\mathcal {J}}(\theta )]}$

${\displaystyle \theta _{m+1}=\theta _{m}+{\mathcal {I}}^{-1}(\theta _{m})V(\theta _{m})}$..

Bajo algunas condiciones de regularidad, si es un estimador consistente , entonces (la corrección después de un solo paso) es "óptima" en el sentido de que su distribución de error es asintóticamente idéntica a la de la verdadera estimación de máxima verosimilitud. ^[2] ${\displaystyle \theta _{m}}$ ${\displaystyle \theta _{m+1}}$

Ver también

• Puntuación (estadísticas)
• prueba de puntuación
• Información del pescador

Referencias

1. Longford, Nicolás T. (1987). "Un algoritmo de puntuación rápido para la estimación de máxima verosimilitud en modelos mixtos desequilibrados con efectos aleatorios anidados". Biometrika . 74 (4): 817–827. doi :10.1093/biomet/74.4.817.
2. Li, Bing; Babu, G. Jogesh (2019), "Inferencia bayesiana", Springer Texts in Statistics , Nueva York, NY: Springer New York, Teorema 9.4, doi :10.1007/978-1-4939-9761-9_6, ISBN 978-1-4939-9759-6, S2CID  239322258 , consultado el 3 de enero de 2023

Otras lecturas

• Jennrich, RI y Sampson, PF (1976). "Newton-Raphson y algoritmos relacionados para la estimación del componente de varianza de máxima verosimilitud". Tecnometría . 18 (1): 11-17. doi :10.1080/00401706.1976.10489395 (inactivo el 31 de enero de 2024). JSTOR  1267911.{{cite journal}}: Mantenimiento CS1: DOI inactivo a partir de enero de 2024 ( enlace )