Pseudorapidez

Coordenada espacial utilizada en física de partículas experimental

Valores de pseudorapidez mostrados en un diagrama polar. En física de partículas , un ángulo de cero suele estar a lo largo del eje del haz y, por lo tanto, las partículas con valores altos de pseudorapidez generalmente se pierden y escapan a través del espacio en el detector junto con el haz.

A medida que el ángulo polar se acerca a cero, la pseudorapidez tiende hacia el infinito.

En física de partículas experimental , la pseudorapidez , es una coordenada espacial de uso común que describe el ángulo de una partícula con respecto al eje del haz. Se define como ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \eta \equiv -\ln \left[\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right],}$

donde es el ángulo entre el triple momento de la partícula y la dirección positiva del eje del haz. ^[1] Inversamente, ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \theta =2\arctan \left(e^{-\eta }\right).}$

Como función de tres momentos , la pseudorapidez se puede escribir como ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \eta ={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {\left|\mathbf {p} \right|+p_{\text{L}}}{\left|\mathbf {p} \right|-p_{\text{L}}}}\right)=\operatorname {arctanh} \left({\frac {p_{\text{L}}}{\left|\mathbf {p} \right|}}\right),}$

donde es el componente del momento a lo largo del eje del haz (es decir, el momento longitudinal ; utilizando el sistema convencional de coordenadas para la física de colisionadores de hadrones , esto también se denota comúnmente ). En el límite donde la partícula viaja cerca de la velocidad de la luz, o equivalentemente en la aproximación de que la masa de la partícula es despreciable, se puede hacer la sustitución (es decir, en este límite, la única energía de la partícula es su energía de momento, similar al caso del fotón), y por lo tanto la pseudorapidez converge a la definición de rapidez utilizada en la física de partículas experimental: ${\displaystyle p_{\text{L}}}$ ${\displaystyle p_{z}}$ ${\displaystyle m\ll |\mathbf {p} |\Rightarrow E\approx |\mathbf {p} |\Rightarrow \eta \approx y}$

${\displaystyle y\equiv {\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {E+p_{\text{L}}}{E-p_{\text{L}}}}\right)}$

Esto difiere ligeramente de la definición de rapidez en la relatividad especial , que utiliza en lugar de . Sin embargo, la pseudorapidez depende solo del ángulo polar de la trayectoria de la partícula, y no de la energía de la partícula. Se habla de la dirección "hacia adelante" en un experimento de colisionador de hadrones, que se refiere a las regiones del detector que están cerca del eje del haz, a alta ; en contextos donde la distinción entre "hacia adelante" y "hacia atrás" es relevante, la primera se refiere a la dirección z positiva y la segunda a la dirección z negativa . ${\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|}$ ${\displaystyle p_{\text{L}}}$ ${\displaystyle |\eta |}$

En la física de colisionadores de hadrones, se prefiere la rapidez (o pseudorapidez) al ángulo polar porque, en términos generales, la producción de partículas es constante en función de la rapidez, y porque las diferencias en rapidez son invariantes de Lorentz bajo impulsos a lo largo del eje longitudinal: se transforman de forma aditiva, de forma similar a las velocidades en la relatividad galileana . Por lo tanto, una medición de una diferencia de rapidez entre partículas (o si las partículas involucradas no tienen masa) no depende del impulso longitudinal del marco de referencia (como el marco de laboratorio ). Esta es una característica importante para la física de colisionadores de hadrones, donde los partones en colisión tienen diferentes fracciones de momento longitudinal x , lo que significa que los marcos de reposo de las colisiones partón-partón tendrán diferentes impulsos longitudinales. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Delta y}$ ${\displaystyle \Delta \eta }$

La rapidez en función de la pseudorapidez viene dada por

${\displaystyle y=\ln \left({\frac {{\sqrt {m^{2}+p_{\text{T}}^{2}\cosh ^{2}\eta }}+p_{\text{T}}\sinh \eta }{\sqrt {m^{2}+p_{\text{T}}^{2}}}}\right),}$

donde es el momento transversal (es decir, el componente del triple momento perpendicular al eje de la viga). ${\textstyle p_{\text{T}}\equiv {\sqrt {p_{\text{x}}^{2}+p_{\text{y}}^{2}}}}$

Usando una expansión de Maclaurin de segundo orden de expresado en uno se puede aproximar la rapidez por ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle m/p_{\text{T}}}$

${\displaystyle y\approx \eta -{\frac {p_{\text{L}}}{2|\mathbf {p} |}}\left({\frac {m}{p_{\text{T}}}}\right)^{2}=\eta -{\frac {\tanh {\eta }}{2}}\left({\frac {m}{p_{\text{T}}}}\right)^{2}=\eta -{\frac {\cos {\theta }}{2}}\left({\frac {m}{p_{\text{T}}}}\right)^{2},}$

lo que hace que sea fácil ver que para partículas relativistas con , la pseudorapidez se vuelve igual a la rapidez (verdadera). ${\displaystyle p_{\text{T}}\gg m}$

La rapidez se utiliza para definir una medida de separación angular entre partículas que se utiliza habitualmente en física de partículas , que es invariante de Lorentz bajo un impulso a lo largo de la dirección longitudinal (haz). A menudo, el término de rapidez en esta expresión se reemplaza por pseudorapidez, lo que produce una definición con cantidades puramente angulares: , que es invariante de Lorentz si las partículas involucradas no tienen masa. La diferencia en el ángulo azimutal, , es invariante bajo impulsos de Lorentz a lo largo de la línea del haz ( eje z ) porque se mide en un plano (es decir, el plano xy "transversal" ) ortogonal a la línea del haz. ${\textstyle \Delta R\equiv {\sqrt {\left(\Delta y\right)^{2}+\left(\Delta \phi \right)^{2}}}}$ ${\textstyle \Delta R\equiv {\sqrt {\left(\Delta \eta \right)^{2}+\left(\Delta \phi \right)^{2}}}}$ ${\displaystyle \Delta \phi }$

Valores

Gráfico del ángulo polar frente a la pseudorapidez.

A continuación se muestran algunos valores representativos:

La pseudorapidez es extraña en . En otras palabras, . ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$ ${\displaystyle \eta (\theta )=-\eta (180^{\circ }-\theta )}$

Conversión a momentos cartesianos

Los colisionadores de hadrones miden los momentos físicos en términos de momento transversal , ángulo polar en el plano transversal y pseudorapidez . Para obtener los momentos cartesianos (con el eje definido como el eje del haz), se utilizan las siguientes conversiones: ${\displaystyle p_{\text{T}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \langle p_{\text{x}},p_{\text{y}},p_{\text{z}}\rangle }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle p_{\text{x}}=p_{\text{T}}\cos \phi }$

${\displaystyle p_{\text{y}}=p_{\text{T}}\sin \phi }$

${\displaystyle p_{\text{z}}=p_{\text{T}}\sinh {\eta },}$

lo que da . Nótese que es el componente de momento longitudinal, que se denota en el texto anterior ( es la notación estándar en los colisionadores de hadrones). ${\displaystyle |\mathbf {p} |=p_{\text{T}}\cosh {\eta }}$ ${\displaystyle p_{\text{z}}}$ ${\displaystyle p_{\text{L}}}$ ${\displaystyle p_{\text{z}}}$

Las relaciones equivalentes para obtener el cuadrimpulso completo (en unidades naturales ) utilizando la rapidez "verdadera" son: ${\displaystyle y}$

${\displaystyle p_{\text{x}}=p_{\text{T}}\cos \phi }$

${\displaystyle p_{\text{y}}=p_{\text{T}}\sin \phi }$

${\displaystyle p_{\text{z}}=m_{\text{T}}\sinh {y}}$

${\displaystyle E=m_{\text{T}}\cosh {y},}$

¿Dónde está la masa transversal ? ${\displaystyle m_{\text{T}}\equiv {\sqrt {p_{\text{T}}^{2}+m^{2}}}}$

Un aumento de velocidad a lo largo del eje de velocidad del haz corresponde a un cambio aditivo en la rapidez de uso de la relación . Bajo tal transformación de Lorentz , la rapidez de una partícula se convertirá en y el cuadrimpulso se convierte en ${\displaystyle \beta _{\text{z}}}$ ${\displaystyle y_{\text{boost}}}$ ${\displaystyle \beta _{\text{z}}=\tanh {y_{\text{boost}}}}$ ${\displaystyle y'=y+y_{\text{boost}}}$

${\displaystyle p'_{\text{x}}=p_{\text{T}}\cos \phi }$

${\displaystyle p'_{\text{y}}=p_{\text{T}}\sin \phi }$

${\displaystyle p'_{\text{z}}=m_{\text{T}}\sinh {\left(y+y_{\mathrm {boost} }\right)}}$

${\displaystyle E'=m_{\text{T}}\cosh {\left(y+y_{\mathrm {boost} }\right)}.}$

Este tipo de transformación es común en los colisionadores de hadrones. Por ejemplo, si dos hadrones del mismo tipo experimentan una colisión inelástica a lo largo del eje del haz con la misma velocidad, entonces la rapidez correspondiente será

${\displaystyle y_{\mathrm {boost} }={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x_{1}}{x_{2}}},}$

donde y son la fracción de momento de los partones en colisión . Cuando se producen varias partículas en la misma colisión, la diferencia en rapidez entre dos partículas cualesquiera y será invariable bajo cualquier impulso de este tipo a lo largo del eje del haz, y si ambas partículas no tienen masa ( ), esto también será válido para la pseudorapidez ( ). ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle \Delta y_{ij}=y_{i}-y_{j}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle m_{i}=m_{j}=0}$ ${\displaystyle \Delta \eta _{ij}}$

Referencias

1. Introducción a las colisiones de iones pesados ​​de alta energía, por Cheuk-Yin Wong , consulte la página 24 para ver la definición de rapidez.

• V. Chiochia (2010) Aceleradores y detectores de partículas de la Universidad de Zúrich