El tiempo medio de permanencia (o a veces tiempo medio de espera ) de un objeto en un sistema es la cantidad de tiempo que se espera que un objeto pase en un sistema antes de abandonarlo definitivamente.
Imagínese que está haciendo cola para comprar un billete en el mostrador. Si, después de un minuto, observa el número de clientes que hay detrás de usted, podría considerarse como una estimación (aproximada) del número de clientes que entran en el sistema (aquí, la cola de espera) por unidad de tiempo (aquí, minuto). Si luego divide el número de clientes que tiene delante por este "flujo" de clientes, acaba de estimar el tiempo de espera que debería esperar; es decir, el tiempo que le llevará llegar al mostrador, y de hecho es una estimación aproximada.
Para formalizar esto, considere la fila de espera como un sistema S en el que hay un flujo de partículas (clientes) y donde el proceso "comprar boleto" significa que la partícula sale del sistema. El tiempo de espera que hemos considerado anteriormente se conoce comúnmente como tiempo de tránsito, y el teorema que hemos aplicado se llama ocasionalmente el teorema de Little, que podría formularse como: el número esperado de partículas en estado estacionario en el sistema S es igual al flujo de partículas en S multiplicado por el tiempo de tránsito medio. Se han descubierto teoremas similares en otros campos, y en fisiología se conocía anteriormente como una de las ecuaciones de Stewart-Hamilton (por ejemplo, se usa para estimar el volumen sanguíneo de los órganos).
Este principio (o teorema) se puede generalizar. Así, consideremos un sistema S en forma de un dominio cerrado de volumen finito en el espacio euclidiano . Y consideremos además la situación en la que hay una corriente de partículas "equivalentes" en S (número de partículas por unidad de tiempo) donde cada partícula conserva su identidad mientras está en S y finalmente - después de un tiempo finito - abandona el sistema de forma irreversible (es decir, para estas partículas el sistema está "abierto"). La figura
representa la historia del movimiento mental de una partícula de este tipo, que entra y sale del subsistema s tres veces, cada una de las cuales da como resultado un tiempo de tránsito, es decir, el tiempo que pasa en el subsistema entre la entrada y la salida. La suma de estos tiempos de tránsito es el tiempo de permanencia de s para esa partícula en particular. Si los movimientos de las partículas se consideran como realizaciones de un mismo proceso estocástico, tiene sentido hablar del valor medio de este tiempo de permanencia. Es decir, el tiempo medio de permanencia de un subsistema es el tiempo total que se espera que pase una partícula en el subsistema s antes de abandonar el sistema S para siempre.
Para ver el significado práctico de esta cantidad, aceptemos como ley de la física que, si el flujo de partículas hacia S es constante y todos los demás factores relevantes se mantienen constantes, S alcanzará eventualmente el estado estacionario (es decir, el número y la distribución de partículas es constante en todas partes en S). Entonces se puede demostrar que el número de partículas en estado estacionario en el subsistema s es igual al flujo de partículas hacia el sistema S multiplicado por el tiempo medio de permanencia del subsistema. Esta es, por lo tanto, una forma más general de lo que antes se denominó teorema de Little, y podría llamarse equivalencia masa-tiempo :
que a veces se ha llamado principio de ocupación (lo que aquí se llama tiempo medio de permanencia se denomina entonces ocupación; un término quizás no tan afortunado, porque sugiere la presencia de un número definido de “sitios” en el sistema S). Esta equivalencia masa-tiempo ha encontrado aplicaciones, por ejemplo, en la medicina para el estudio del metabolismo de órganos individuales.
Nuevamente, tratamos aquí con una generalización de lo que en la teoría de colas a veces se denomina el teorema de Little, que, y esto es importante, se aplica sólo a todo el sistema S (no a un subsistema arbitrario como en la equivalencia masa-tiempo); el tiempo medio de estancia puede interpretarse en el teorema de Little como el tiempo medio de tránsito.
Como debería ser evidente a partir del análisis de la figura anterior, existe una diferencia fundamental entre el significado de las dos cantidades, tiempo de estancia y tiempo de tránsito: la generalidad de la equivalencia masa-tiempo se debe en gran medida al significado especial de la noción de tiempo de estancia. Cuando se considera el sistema completo (como en la ley de Little ), ¿es cierto que el tiempo de estancia siempre es igual al tiempo de tránsito?