Bifurcación de duplicación de período

En la teoría de sistemas dinámicos , una bifurcación por duplicación de período ocurre cuando un ligero cambio en los parámetros de un sistema hace que surja una nueva trayectoria periódica a partir de una trayectoria periódica existente (la nueva tiene el doble del período de la original). Con el período duplicado, se necesita el doble de tiempo (o, en un sistema dinámico discreto , el doble de iteraciones) para que los valores numéricos visitados por el sistema se repitan.

Una bifurcación de período a la mitad ocurre cuando un sistema cambia a un nuevo comportamiento con la mitad del período del sistema original.

Una cascada de duplicación de períodos es una secuencia infinita de bifurcaciones de duplicación de períodos. Estas cascadas son una ruta común por la que los sistemas dinámicos desarrollan caos. ^[1] En hidrodinámica , son una de las posibles rutas hacia la turbulencia . ^[2]

Bifurcaciones que reducen el período a la mitad (L) y que conducen al orden, seguidas de bifurcaciones que duplican el período (R) y que conducen al caos.

Ejemplos

Diagrama de bifurcación del mapa logístico. Muestra los valores de los atractores como y en función del parámetro . ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle x'_{*}}$ ${\displaystyle r}$

Mapa logístico

El mapa logístico es

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}$

donde es una función del tiempo (discreto) . ^[3] Se supone que el parámetro se encuentra en el intervalo , en cuyo caso está acotado en . ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle [0,4]}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Para entre 1 y 3, converge al punto fijo estable . Luego, para entre 3 y 3.44949, converge a una oscilación permanente entre dos valores y que dependen de . A medida que se hace más grande, aparecen oscilaciones entre 4 valores, luego 8, 16, 32, etc. Estas duplicaciones de período culminan en , más allá del cual aparecen regímenes más complejos. A medida que aumenta, hay algunos intervalos en los que la mayoría de los valores iniciales convergerán a una o una pequeña cantidad de oscilaciones estables, como cerca de . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{*}=(r-1)/r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle x'_{*}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r\approx 3.56995}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=3.83}$

En el intervalo en el que el período es para algún entero positivo , no todos los puntos tienen período . Se trata de puntos únicos, en lugar de intervalos. Se dice que estos puntos están en órbitas inestables, ya que los puntos cercanos no se aproximan a la misma órbita que ellos. ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

Mapa cuadrático

La versión real del mapa cuadrático complejo está relacionada con una porción real del conjunto de Mandelbrot .

• 
  Cascada de duplicación de períodos en una aplicación exponencial del conjunto de Mandelbrot
• 
  Versión 1D con mapeo exponencial
• 
  bifurcación de duplicación de período

Ecuación de Kuramoto-Sivashinsky

Duplicación del período en la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky con condiciones de contorno periódicas. Las curvas representan soluciones de la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky proyectadas sobre el plano de fase de energía (E, dE/dt) , donde E es la norma L 2 de la solución. Para ν = 0,056, existe una órbita periódica con período T ≈ 1,1759. Cerca de ν ≈ 0,0558, esta solución se divide en 2 órbitas, que se separan aún más a medida que ν disminuye. Exactamente en el valor de transición de ν , la nueva órbita (línea discontinua roja) tiene el doble del período de la original. (Sin embargo, a medida que ν aumenta aún más, la relación de los períodos se desvía exactamente de 2).

La ecuación de Kuramoto-Sivashinsky es un ejemplo de un sistema dinámico continuo espaciotemporal que exhibe duplicación de período. Es una de las ecuaciones diferenciales parciales no lineales más estudiadas , introducida originalmente como un modelo de propagación del frente de llama. ^[4]

La ecuación unidimensional de Kuramoto-Sivashinsky es

${\displaystyle u_{t}+uu_{x}+u_{xx}+\nu \,u_{xxxx}=0}$

Una elección común para las condiciones de contorno es la periodicidad espacial: . ${\displaystyle u(x+2\pi ,t)=u(x,t)}$

Para valores grandes de , evoluciona hacia soluciones estables (independientes del tiempo) u órbitas periódicas simples. A medida que disminuye, la dinámica finalmente desarrolla caos. La transición del orden al caos ocurre a través de una cascada de bifurcaciones que duplican el período, ^{[5] [6]} una de las cuales se ilustra en la figura. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle \nu }$

Mapa logístico para una curva de Phillips modificada

Considere el siguiente mapa logístico para una curva de Phillips modificada :

${\displaystyle \pi _{t}=f(u_{t})+b\pi _{t}^{e}}$

${\displaystyle \pi _{t+1}=\pi _{t}^{e}+c(\pi _{t}-\pi _{t}^{e})}$

${\displaystyle f(u)=\beta _{1}+\beta _{2}e^{-u}\,}$

${\displaystyle b>0,0\leq c\leq 1,{\frac {df}{du}}<0}$

dónde :

• ${\displaystyle \pi }$¿Cuál es la inflación real?
• ${\displaystyle \pi ^{e}}$es la inflación esperada,
• u es el nivel de desempleo,
• ${\displaystyle m-\pi }$es la tasa de crecimiento de la oferta monetaria .

Al mantenerse y variar , el sistema sufre bifurcaciones que duplican el período y, en última instancia, se vuelve caótico. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \beta _{1}=-2.5,\ \beta _{2}=20,\ c=0.75}$ ${\displaystyle b}$

Observación experimental

Se ha observado la duplicación del período en varios sistemas experimentales. ^[7] También hay evidencia experimental de cascadas de duplicación del período. Por ejemplo, se han observado secuencias de 4 duplicaciones del período en la dinámica de los rollos de convección en agua y mercurio . ^{[8] [9]} De manera similar, se han observado 4-5 duplicaciones en ciertos circuitos electrónicos no lineales . ^{[10] [11] [12]} Sin embargo, la precisión experimental requerida para detectar el i ^ésimo evento de duplicación en una cascada aumenta exponencialmente con i , lo que dificulta observar más de 5 eventos de duplicación en una cascada. ^[13]

Véase también

• Lista de mapas caóticos
• Mapa cuadrático complejo
• Constantes de Feigenbaum
• Universalidad (sistemas dinámicos)
• Teorema de Sharkovskii

Notas

1. Alligood (1996) y otros, pág. 532
2. Thorne, Kip S. ; Blandford, Roger D. (2017). Física clásica moderna: óptica, fluidos, plasmas, elasticidad, relatividad y física estadística . Princeton University Press. págs. 825–834. ISBN 9780691159027.
3. Strogatz (2015), págs. 360–373
4. Kalogirou, A.; Keaveny, EE; Papageorgiou, DT (2015). "Un estudio numérico en profundidad de la ecuación bidimensional de Kuramoto-Sivashinsky". Actas de la Royal Society A: Ciencias matemáticas, físicas e ingeniería . 471 (2179): 20140932. Bibcode :2015RSPSA.47140932K. doi :10.1098/rspa.2014.0932. ISSN  1364-5021. PMC 4528647. PMID 26345218  . 
5. Smyrlis, YS; Papageorgiou, DT (1991). "Predicción del caos para sistemas dinámicos de dimensión infinita: la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky, un estudio de caso". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 88 (24): 11129–11132. Bibcode :1991PNAS...8811129S. doi : 10.1073/pnas.88.24.11129 . ISSN  0027-8424. PMC 53087 . PMID  11607246. 
6. Papageorgiou, DT; Smyrlis, YS (1991), "La ruta al caos para la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky", Dinámica de fluidos teórica y computacional , 3 (1): 15–42, Bibcode :1991ThCFD...3...15P, doi :10.1007/BF00271514, hdl : 2060/19910004329 , ISSN  1432-2250, S2CID  116955014
7. Véase Strogatz (2015) para una reseña
8. Giglio, Marzio; Musazzi, Sergio; Perini, Umberto (1981). "Transición al comportamiento caótico a través de una secuencia reproducible de bifurcaciones que duplican el período". Physical Review Letters . 47 (4): 243–246. Código Bibliográfico :1981PhRvL..47..243G. doi :10.1103/PhysRevLett.47.243. ISSN  0031-9007.
9. Libchaber, A.; Laroche, C.; Fauve, S. (1982). "Cascada de duplicación del período en mercurio, una medición cuantitativa" (PDF) . Journal de Physique Lettres . 43 (7): 211–216. doi :10.1051/jphyslet:01982004307021100. ISSN  0302-072X.
10. Linsay, Paul S. (1981). "Duplicación del período y comportamiento caótico en un oscilador anarmónico controlado". Physical Review Letters . 47 (19): 1349–1352. Código Bibliográfico :1981PhRvL..47.1349L. doi :10.1103/PhysRevLett.47.1349. ISSN  0031-9007.
11. Testa, James; Pérez, José; Jeffries, Carson (1982). "Evidencia de comportamiento caótico universal de un oscilador no lineal controlado". Physical Review Letters . 48 (11): 714–717. Bibcode :1982PhRvL..48..714T. doi :10.1103/PhysRevLett.48.714. ISSN  0031-9007.
12. Arecchi, FT; Lisi, F. (1982). "Mecanismo de salto que genera ruido en sistemas no lineales". Physical Review Letters . 49 (2): 94–98. Bibcode :1982PhRvL..49...94A. doi :10.1103/PhysRevLett.49.94. ISSN  0031-9007.
13. Strogatz (2015), págs. 360–373

Referencias

• Alligood, Kathleen T.; Sauer, Tim; Yorke, James (1996). Caos: una introducción a los sistemas dinámicos . Libros de texto de ciencias matemáticas. Springer-Verlag Nueva York. doi :10.1007/0-387-22492-0_3. ISBN . 978-0-387-94677-1. ISSN  1431-9381.
• Giglio, Marzio; Musazzi, Sergio; Perini, Umberto (1981). "Transición al comportamiento caótico a través de una secuencia reproducible de bifurcaciones que duplican el período". Physical Review Letters . 47 (4): 243–246. Código Bibliográfico :1981PhRvL..47..243G. doi :10.1103/PhysRevLett.47.243. ISSN  0031-9007.
• Kalogirou, A.; Keaveny, EE; Papageorgiou, DT (2015). "Un estudio numérico en profundidad de la ecuación bidimensional de Kuramoto-Sivashinsky". Actas de la Royal Society A: Ciencias Matemáticas, Físicas y de Ingeniería . 471 (2179): 20140932. Bibcode :2015RSPSA.47140932K. doi :10.1098/rspa.2014.0932. ISSN  1364-5021. PMC  4528647 . PMID  26345218.
• Kuznetsov, Yuri A. (2004). Elementos de la teoría de bifurcación aplicada . Applied Mathematical Sciences. Vol. 112 (3.ª ed.). Springer-Verlag . ISBN. 0-387-21906-4.Zbl 1082.37002  .
• Libchaber, A.; Laroche, C.; Fauve, S. (1982). "Cascada de duplicación del período en mercurio, una medición cuantitativa" (PDF) . Journal de Physique Lettres . 43 (7): 211–216. doi :10.1051/jphyslet:01982004307021100. ISSN  0302-072X.
• Papageorgiou, DT; Smyrlis, YS (1991), "La ruta al caos para la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky", Theoret. Comput. Fluid Dynamics , 3 (1): 15–42, Bibcode :1991ThCFD...3...15P, doi :10.1007/BF00271514, hdl : 2060/19910004329 , ISSN  1432-2250, S2CID  116955014
• Smyrlis, YS; Papageorgiou, DT (1991). "Predicción del caos para sistemas dinámicos de dimensión infinita: la ecuación de Kuramoto-Sivashinsky, un estudio de caso". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 88 (24): 11129–11132. Bibcode :1991PNAS...8811129S. doi : 10.1073/pnas.88.24.11129 . ISSN  0027-8424. PMC  53087 . PMID  11607246.
• Strogatz, Steven (2015). Dinámica no lineal y caos: con aplicaciones a la física, la biología, la química y la ingeniería (2.ª ed.). CRC Press. ISBN 978-0813349107.
• Cheung, PY; Wong, AY (1987). "Comportamiento caótico y duplicación del período en plasmas". Physical Review Letters . 59 (5): 551–554. Bibcode :1987PhRvL..59..551C. doi :10.1103/PhysRevLett.59.551. ISSN  0031-9007. PMID  10035803.

Enlaces externos

• Conexión de las cascadas de duplicación de períodos con el caos