El método de pasos estándar (STM) es una técnica computacional utilizada para estimar perfiles unidimensionales de aguas superficiales en canales abiertos con flujo que varía gradualmente en condiciones de estado estable. Utiliza una combinación de las ecuaciones de energía, momento y continuidad para determinar la profundidad del agua con una pendiente de fricción , una pendiente del canal , una geometría del canal y también un caudal dados. En la práctica, esta técnica se utiliza ampliamente a través del programa informático HEC-RAS , desarrollado por el Centro de Ingeniería Hidrológica del Cuerpo de Ingenieros del Ejército de los Estados Unidos (HEC). [1]
La ecuación de energía utilizada para los cálculos de flujo en canales abiertos es una simplificación de la ecuación de Bernoulli (consulte el Principio de Bernoulli ), que tiene en cuenta la carga de presión, la carga de elevación y la carga de velocidad. (Nota: energía y carga son sinónimos en dinámica de fluidos. Consulte Carga de presión para obtener más detalles). En canales abiertos, se supone que los cambios en la presión atmosférica son insignificantes, por lo tanto, se elimina el término "carga de presión" utilizado en la ecuación de Bernoulli. La ecuación de energía resultante se muestra a continuación:
Para un caudal y una geometría de canal determinados, existe una relación entre la profundidad del flujo y la energía total. Esto se ilustra a continuación en el gráfico de energía en función de la profundidad del flujo, conocido como diagrama Ey. En este gráfico, la profundidad en la que se produce la energía mínima se conoce como profundidad crítica. En consecuencia, esta profundidad corresponde a un número de Froude de 1. Las profundidades superiores a la profundidad crítica se consideran “subcríticas” y tienen un número de Froude inferior a 1, mientras que las profundidades inferiores a la profundidad crítica se consideran supercríticas y tienen números de Froude superiores a 1.
En condiciones de flujo en estado estacionario (por ejemplo, sin ola de inundación), el flujo en canal abierto se puede subdividir en tres tipos de flujo: flujo uniforme, flujo de variación gradual y flujo de variación rápida. El flujo uniforme describe una situación en la que la profundidad del flujo no cambia con la distancia a lo largo del canal. Esto solo puede ocurrir en un canal liso que no experimente ningún cambio en el flujo, la geometría del canal, la rugosidad o la pendiente del canal. Durante el flujo uniforme, la profundidad del flujo se conoce como profundidad normal (yn). Esta profundidad es análoga a la velocidad terminal de un objeto en caída libre, donde las fuerzas de gravedad y fricción están en equilibrio (Moglen, 2013). [3] Normalmente, esta profundidad se calcula utilizando la fórmula de Manning . El flujo de variación gradual ocurre cuando el cambio en la profundidad del flujo por cambio en la distancia del flujo es muy pequeño. En este caso, todavía se aplican las relaciones hidrostáticas desarrolladas para el flujo uniforme. Ejemplos de esto incluyen el remanso detrás de una estructura en el curso del río (por ejemplo, presa, compuerta, vertedero, etc.), cuando hay una constricción en el canal y cuando hay un cambio menor en la pendiente del canal. El flujo de variación rápida se produce cuando el cambio en la profundidad del flujo por cada cambio en la distancia de flujo es significativo. En este caso, las relaciones hidrostáticas no son apropiadas para las soluciones analíticas y se debe emplear la continuidad del momento. Algunos ejemplos de esto incluyen grandes cambios en la pendiente como un aliviadero, una constricción/expansión abrupta del flujo o un salto hidráulico.
Por lo general, el STM se utiliza para desarrollar “perfiles de aguas superficiales” o representaciones longitudinales de la profundidad del canal, para canales que experimentan un flujo que varía gradualmente. Estas transiciones se pueden clasificar según la condición del tramo (suave o empinada) y también según el tipo de transición que se realiza. Los tramos suaves se producen donde la profundidad normal es subcrítica (yn > yc), mientras que los tramos empinados se producen donde la profundidad normal es supercrítica (yn < yc). Las transiciones se clasifican por zona. (Véase la figura 3.)
Figura 3. Esta figura ilustra las diferentes clases de perfiles de aguas superficiales que se experimentan en tramos empinados y suaves durante condiciones de flujo que varían gradualmente. [4] Nota: La columna de tramo empinado debe etiquetarse como "Tramo empinado (yn<yc).
Los perfiles de agua superficial anteriores se basan en la ecuación que rige el flujo de variación gradual (que se ve a continuación).
Esta ecuación (y los perfiles de aguas superficiales asociados) se basan en los siguientes supuestos:
El STM resuelve numéricamente la ecuación 3 mediante un proceso iterativo. Esto se puede hacer utilizando el método de bisección o el método de Newton-Raphson, y consiste básicamente en calcular la carga total en una ubicación específica utilizando las ecuaciones 4 y 5 variando la profundidad en la ubicación específica. [5]
Para utilizar esta técnica, es importante tener en cuenta que debe tener algún conocimiento del sistema que está modelando. Para cada transición de flujo gradualmente variada, debe conocer ambas condiciones de contorno y también debe calcular la longitud de esa transición. (p. ej., para un perfil M1, debe encontrar la elevación en la condición de contorno aguas abajo, la profundidad normal en la condición de contorno aguas arriba y también la longitud de la transición). Para encontrar la longitud de las transiciones de flujo gradualmente variadas, itere la "longitud del paso", en lugar de la altura, en la altura de la condición de contorno hasta que las ecuaciones 4 y 5 concuerden. (p. ej., para un perfil M1, la posición 1 sería la condición aguas abajo y resolvería para la posición dos donde la altura es igual a la profundidad normal).
Los programas de computadora como Excel contienen funciones de iteración o búsqueda de objetivos que pueden calcular automáticamente la profundidad real en lugar de la iteración manual.
La Figura 4 ilustra los diferentes perfiles de agua superficial asociados con una compuerta en un tramo suave (arriba) y un tramo empinado (abajo). Nótese que la compuerta induce un estrangulamiento en el sistema, lo que causa un perfil de “remanso” justo aguas arriba de la compuerta. En el tramo suave, el salto hidráulico ocurre aguas abajo de la compuerta, pero en el tramo empinado, el salto hidráulico ocurre aguas arriba de la compuerta. Es importante notar que las ecuaciones de flujo gradualmente variadas y los métodos numéricos asociados (incluido el método de pasos estándar) no pueden modelar con precisión la dinámica de un salto hidráulico. [6] Vea la página Saltos hidráulicos en canales rectangulares para obtener más información. A continuación, un problema de ejemplo utilizará modelos conceptuales para construir un perfil de agua superficial utilizando el STM.
Solución
Utilizando la Figura 3 y el conocimiento de las condiciones aguas arriba y aguas abajo y los valores de profundidad a ambos lados de la compuerta, se puede generar una estimación general de los perfiles aguas arriba y aguas abajo de la compuerta. Aguas arriba, la superficie del agua debe elevarse desde una profundidad normal de 0,97 m hasta 9,21 m en la compuerta. La única manera de hacer esto en un tramo leve es seguir un perfil M1. La misma lógica se aplica aguas abajo para determinar que la superficie del agua sigue un perfil M3 desde la compuerta hasta que la profundidad alcanza la profundidad conjugada de la profundidad normal, en cuyo punto se forma un salto hidráulico para elevar la superficie del agua a la profundidad normal.
Paso 4: Utilice el método Newton Raphson para resolver los perfiles de agua superficial M1 y M3. Las porciones aguas arriba y aguas abajo deben modelarse por separado con una profundidad inicial de 9,21 m para la porción aguas arriba y 0,15 m para la porción aguas abajo. La profundidad aguas abajo solo debe modelarse hasta que alcance la profundidad conjugada de la profundidad normal, punto en el cual se formará un salto hidráulico. La solución presentada explica cómo resolver el problema en una hoja de cálculo, mostrando los cálculos columna por columna. Dentro de Excel, la función de búsqueda de objetivo se puede utilizar para establecer la columna 15 en 0 cambiando la estimación de profundidad en la columna 2 en lugar de iterar manualmente.
Tabla 1: Hoja de cálculo del método Newton Raphson para los cálculos de elevación de la superficie del agua aguas abajo
Paso 5: Combine los resultados de los diferentes perfiles y visualícelos.
La profundidad normal se alcanzó aproximadamente a 2.200 metros aguas arriba de la compuerta.
Paso 6: Resuelva el problema en el entorno de modelado HEC-RAS:
No es el objetivo de esta página de Wikipedia explicar las complejidades del funcionamiento de HEC-RAS. Para quienes estén interesados en aprender más, el manual del usuario de HEC-RAS es una excelente herramienta de aprendizaje y el programa es gratuito para el público.
Las dos primeras figuras que aparecen a continuación son los perfiles de la superficie del agua aguas arriba y aguas abajo modelados por HEC-RAS. También se incluye una tabla que compara las diferencias entre los perfiles estimados por los dos métodos diferentes en diferentes estaciones para mostrar la coherencia entre los dos métodos. Si bien los dos métodos diferentes modelaron formas de superficie del agua similares, el método de paso estándar predijo que el flujo necesitaría una distancia mayor para alcanzar la profundidad normal aguas arriba y aguas abajo de la compuerta. Este estiramiento se debe a los errores asociados con la suposición de gradientes promedio entre dos estaciones de interés durante nuestros cálculos. Valores dx más pequeños reducirían este error y producirían perfiles de superficie más precisos.
El modelo HEC-RAS calculó que el agua retrocede hasta una altura de 9,21 metros en el lado aguas arriba de la compuerta, que es el mismo valor calculado manualmente. La profundidad normal se alcanzó aproximadamente a 1.700 metros aguas arriba de la compuerta.
HEC-RAS modeló el salto hidráulico que se produce 18 metros aguas abajo de la compuerta.
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