Anarmonicidad

Desviación de un sistema físico de ser un oscilador armónico

Energía potencial de una molécula diatómica en función del espaciamiento atómico . Cuando las moléculas están demasiado cerca o demasiado lejos, experimentan una fuerza restauradora hacia u ₀ . (Imagínese una canica rodando hacia adelante y hacia atrás en la depresión). La curva azul tiene una forma similar al pozo de potencial real de la molécula , mientras que la parábola roja es una buena aproximación para pequeñas oscilaciones. La aproximación roja trata la molécula como un oscilador armónico, porque la fuerza restauradora, -V'(u) , es lineal con respecto al desplazamiento u .

En mecánica clásica , la anarmonicidad es la desviación de un sistema de ser un oscilador armónico . Un oscilador que no oscila en movimiento armónico se conoce como oscilador anarmónico donde el sistema se puede aproximar a un oscilador armónico y la anarmonicidad se puede calcular utilizando la teoría de la perturbación . Si la anarmonicidad es grande, entonces se deben utilizar otras técnicas numéricas . En realidad, todos los sistemas oscilantes son anarmónicos, pero más se aproximan al oscilador armónico cuanto menor es la amplitud de la oscilación.

Como resultado, aparecen oscilaciones con frecuencias , etc., donde está la frecuencia fundamental del oscilador. Además, la frecuencia se desvía de la frecuencia de las oscilaciones armónicas. Véase también tonos de intermodulación y combinación . Como primera aproximación, el cambio de frecuencia es proporcional al cuadrado de la amplitud de oscilación : ${\displaystyle 2\omega }$ ${\displaystyle 3\omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \Delta \omega =\omega -\omega _{0}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \Delta \omega \propto A^{2}}$

En un sistema de osciladores con frecuencias naturales , ,... la anarmonicidad da como resultado oscilaciones adicionales con frecuencias . ${\displaystyle \omega _{\alpha }}$ ${\displaystyle \omega _{\beta }}$ ${\displaystyle \omega _{\alpha }\pm \omega _{\beta }}$

La anarmonicidad también modifica el perfil energético de la curva de resonancia, dando lugar a fenómenos interesantes como el efecto de plegado y la resonancia superarmónica .

Principio general

Péndulo elástico de 2 grados de libertad que exhibe un comportamiento anarmónico.

Osciladores armónicos versus anarmónicos

Un oscilador es un sistema físico caracterizado por un movimiento periódico, como un péndulo, un diapasón o una molécula diatómica vibrante . Matemáticamente hablando, la característica esencial de un oscilador es que, para alguna coordenada x del sistema, una fuerza cuya magnitud depende de x empujará a x lejos de los valores extremos y de regreso hacia algún valor central x ₀ , lo que hará que x oscile entre los extremos. Por ejemplo, x puede representar el desplazamiento de un péndulo desde su posición de reposo x =0 . A medida que aumenta el valor absoluto de x , también aumenta la fuerza restauradora que actúa sobre el peso del péndulo y lo empuja hacia su posición de reposo.

En los osciladores armónicos, la fuerza restauradora es proporcional en magnitud (y opuesta en dirección) al desplazamiento de x desde su posición natural x ₀ . La ecuación diferencial resultante implica que x debe oscilar de forma sinusoidal a lo largo del tiempo, con un período de oscilación inherente al sistema. x puede oscilar con cualquier amplitud, pero siempre tendrá el mismo período.

Los osciladores anarmónicos, sin embargo, se caracterizan por la dependencia no lineal de la fuerza restauradora del desplazamiento x. En consecuencia, el período de oscilación del oscilador anarmónico puede depender de su amplitud de oscilación.

Como resultado de la no linealidad de los osciladores anarmónicos, la frecuencia de vibración puede cambiar dependiendo del desplazamiento del sistema. Estos cambios en la frecuencia de vibración dan como resultado que la energía se acople desde la frecuencia de vibración fundamental a otras frecuencias mediante un proceso conocido como acoplamiento paramétrico. ^{[ se necesita aclaración ]}

Al tratar la fuerza restauradora no lineal como una función F ( x − x ₀ ) del desplazamiento de x desde su posición natural, podemos reemplazar F por su aproximación lineal F ₁ = F′ (0) ⋅ ( x − x ₀ ) en cero desplazamiento. La función de aproximación F ₁ es lineal, por lo que describirá un movimiento armónico simple. Además, esta función F ₁ es precisa cuando x − x ₀ es pequeño. Por esta razón, el movimiento anarmónico puede aproximarse a un movimiento armónico siempre que las oscilaciones sean pequeñas.

Ejemplos en física

Hay muchos sistemas en todo el mundo físico que pueden modelarse como osciladores anarmónicos además del sistema no lineal masa-resorte. Por ejemplo, un átomo, que consta de un núcleo cargado positivamente rodeado por una nube electrónica cargada negativamente, experimenta un desplazamiento entre el centro de masa del núcleo y la nube electrónica cuando está presente un campo eléctrico. La cantidad de ese desplazamiento, llamado momento dipolar eléctrico, está relacionada linealmente con el campo aplicado para campos pequeños, pero a medida que aumenta la magnitud del campo, la relación campo-momento dipolar se vuelve no lineal, tal como en el sistema mecánico.

Otros ejemplos de osciladores anarmónicos incluyen el péndulo de gran ángulo; semiconductores de desequilibrio que poseen una gran población de portadores calientes, que exhiben comportamientos no lineales de varios tipos relacionados con la masa efectiva de los portadores; y plasmas ionosféricos, que también exhiben un comportamiento no lineal basado en la anarmonicidad del plasma, cuerdas oscilantes transversales . De hecho, prácticamente todos los osciladores se vuelven anarmónicos cuando la amplitud de su bombeo aumenta más allá de cierto umbral y, como resultado, es necesario utilizar ecuaciones de movimiento no lineales para describir su comportamiento.

La anarmonicidad juega un papel en las vibraciones moleculares y de red, en las oscilaciones cuánticas ^[1] y en la acústica . Los átomos de una molécula o de un sólido vibran alrededor de sus posiciones de equilibrio. Cuando estas vibraciones tienen amplitudes pequeñas pueden describirse mediante osciladores armónicos . Sin embargo, cuando las amplitudes vibratorias son grandes, por ejemplo a altas temperaturas, la anarmonicidad se vuelve importante. Un ejemplo de los efectos de la anarmonicidad es la expansión térmica de los sólidos, que suele estudiarse dentro de la aproximación cuasiarmónica . Estudiar sistemas anarmónicos vibrantes utilizando la mecánica cuántica es una tarea computacionalmente exigente porque la anarmónica no solo complica el potencial experimentado por cada oscilador, sino que también introduce el acoplamiento entre los osciladores. Es posible utilizar métodos de primeros principios, como la teoría del funcional de densidad, para mapear el potencial anarmónico experimentado por los átomos tanto en las moléculas ^[2] como en los sólidos. ^[3] Luego se pueden obtener energías vibratorias anarmónicas precisas resolviendo las ecuaciones vibratorias anarmónicas para los átomos dentro de una teoría de campo medio . Finalmente, es posible utilizar la teoría de la perturbación de Møller-Plesset para ir más allá del formalismo del campo medio.

Periodo de oscilaciones

Considere una masa que se mueve en un pozo potencial . El período de oscilación puede derivarse ^[4] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle U(x)}$

$${\displaystyle T={\sqrt {2m}}\int _{x_{-}}^{x_{+}}{\frac {dx}{\sqrt {E-U(x)}}}}$$

${\displaystyle x_{-}<x<x_{+}}$ ${\displaystyle U(x_{-})=U(x_{+})=E}$

Ver también

• Inarmonicidad
• Oscilador armónico
• Acústica musical
• resonancia no lineal
• Transmón

Referencias

• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1976), Mecánica (3.ª ed.), Pergamon Press, ISBN 978-0-08-021022-3
• Filipponi, A.; Cavicchia, DR (2011), "Dinámica anarmónica de un oscilador de masa O-resorte", American Journal of Physics , 79 (7): 730–735, Bibcode :2011AmJPh..79..730F, doi :10.1119/1.3579129

1. Lim, Kieran F.; Coleman, William F. (agosto de 2005), "El efecto de la anarmonicidad en la vibración diatómica: una simulación de hoja de cálculo", J. Chem. Educativo. , 82 (8): 1263, Bibcode :2005JChEd..82.1263F, doi : 10.1021/ed082p1263.1
2. Jung, JO; Benny Gerber, R. (1996), "Funciones de onda vibratorias y espectroscopia de (H ₂ O) _n , n = 2,3,4,5: campo vibratorio autoconsistente con correcciones de correlación", J. Chem. Física. , 105 (23): 10332, Código Bib :1996JChPh.10510332J, doi :10.1063/1.472960
3. Monserrat, B.; Drummond, Dakota del Norte; Needs, RJ (2013), "Propiedades vibratorias anarmónicas en sistemas periódicos: energía, acoplamiento electrón-fonón y tensión", Phys. Rev. B , 87 (14): 144302, arXiv : 1303.0745 , Bibcode : 2013PhRvB..87n4302M, doi : 10.1103/PhysRevB.87.144302, S2CID  118687212
4. Amor, Paolo; Fernández, Francisco M. (2005). "Expresiones exactas y aproximadas para el período de osciladores anarmónicos". Revista Europea de Física . 26 (4): 589–601. arXiv : math-ph/0409034 . Código Bib : 2005EJPh...26..589A. doi :10.1088/0143-0807/26/4/004. S2CID  119615357.

enlaces externos

• Elmer, Franz-Josef (20 de julio de 1998), Resonancia no lineal, Universidad de Basilea , archivado desde el original el 13 de junio de 2011 , consultado el 28 de octubre de 2010