Optimización biconvexa

La optimización biconvexa es una generalización de la optimización convexa en la que la función objetivo y el conjunto de restricciones pueden ser biconvexos. Existen métodos que permiten encontrar el óptimo global de estos problemas. ^{[1] [2]}

Un conjunto se denomina conjunto biconvexo en si para cada fijo , es un conjunto convexo en y para cada fijo , es un conjunto convexo en . ${\displaystyle B\subset X\times Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle B_{y}=\{x\in X:(x,y)\in B\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B_{x}=\{y\in Y:(x,y)\in B\}}$ ${\displaystyle Y}$

Una función se denomina función biconvexa si fijando , es convexa sobre y fijando , es convexa sobre . ${\displaystyle f(x,y):B\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{x}(y)=f(x,y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f_{y}(x)=f(x,y)}$ ${\displaystyle X}$

Una práctica común para resolver un problema biconvexo (que no garantiza la optimalidad global de la solución) es actualizar alternativamente fijando uno de ellos y resolviendo el problema de optimización convexa correspondiente. ^[1] ${\displaystyle x,y}$

La generalización a funciones de más de dos argumentos se denomina función multiconvexa en bloque . Una función es multiconvexa en bloque si es convexa con respecto a cada uno de los argumentos individuales mientras que mantiene todos los demás fijos. ^[3] ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{K})\to \mathbb {R} }$

Referencias

1. Gorski, Jochen; Pfeuffer, Frank; Klamroth, Kathrin (22 de junio de 2007). "Conjuntos biconvexos y optimización con funciones biconvexas: un estudio y extensiones" (PDF) . Métodos matemáticos de investigación de operaciones . 66 (3): 373–407. doi :10.1007/s00186-007-0161-1. S2CID  15900842.
2. Floudas, Christodoulos A. (2000). Optimización global determinista: teoría, métodos y aplicaciones. Dordrecht [ua]: Kluwer Academic Publ. ISBN 978-0-7923-6014-8.
3. Chen, Caihua (2016). ""La extensión directa de ADMM para problemas de minimización convexa de múltiples bloques no es necesariamente convergente"". Programación matemática . 155 (1–2): 57–59. doi :10.1007/s10107-014-0826-5. S2CID  5646309.