Números de Damköhler

Números adimensionales utilizados en ingeniería química

Los números de Damköhler ( Da ) son números adimensionales utilizados en ingeniería química para relacionar la escala de tiempo de una reacción química ( velocidad de reacción ) con la velocidad de los fenómenos de transporte que ocurren en un sistema. Su nombre se debe al químico alemán Gerhard Damköhler , que trabajó en ingeniería química, termodinámica y dinámica de fluidos. ^[1] El número de Karlovitz ( Ka ) está relacionado con el número de Damköhler por Da = 1/Ka.

En su forma más utilizada, el primer número de Damköhler (Da _I ) relaciona la escala de tiempo de residencia característica de las partículas en una región de fluido con la escala de tiempo de reacción. La escala de tiempo de residencia puede adoptar la forma de una escala de tiempo de convección , como el caudal volumétrico a través del reactor para procesos químicos continuos ( flujo pistón o tanque agitado ) o semicontinuos :

${\displaystyle \mathrm {Da_{\mathrm {I} }} ={\frac {\text{reaction rate}}{\text{convective mass transport rate}}}}$

En sistemas reactivos que incluyen transporte de masa en interfase, el primer número de Damköhler se puede escribir como la relación entre la velocidad de reacción química y la velocidad de transferencia de masa.

${\displaystyle \mathrm {Da} _{\mathrm {I} }={\frac {\text{reaction rate}}{\text{diffusive mass transfer rate}}}}$

También se define como la relación entre las escalas de tiempo fluídicas y químicas características:

${\displaystyle \mathrm {Da_{\mathrm {I} }} ={\frac {\text{flow timescale}}{\text{chemical timescale}}}}$

Dado que la velocidad de reacción determina la escala de tiempo de reacción, la fórmula exacta para el número de Damköhler varía según la ecuación de la ley de velocidad. Para una reacción química general A → B que sigue la cinética de la ley de potencia de orden n , el número de Damköhler para un sistema de flujo convectivo se define como:

${\displaystyle \mathrm {Da_{\mathrm {I} }} =kC_{0}^{\ n-1}\tau }$

dónde:

• k = constante de velocidad de reacción cinética
• C ₀ = concentración inicial
• n = orden de reacción
• ${\displaystyle \tau }$= tiempo medio de residencia o espacio-tiempo

Por otra parte, el segundo número de Damköhler (Da _II ) se define en general como:

${\displaystyle \mathrm {Da} _{\mathrm {II} }={\frac {kQ}{c_{p}\Delta T}}}$

Compara la energía del proceso de una reacción termoquímica (como la energía involucrada en un proceso de gas que no está en equilibrio) con una diferencia de entalpía relacionada (fuerza impulsora). ^[1]

En términos de velocidades de reacción:

${\displaystyle \mathrm {Da} _{\mathrm {II} }={\frac {kC_{0}^{n-1}}{k_{g}a}}}$

dónde

• k _g es el coeficiente de transporte de masa global
• a es el área interfacial

El valor de Da proporciona una estimación rápida del grado de conversión que se puede lograr. Si Da _I tiende a infinito, el tiempo de residencia excede en gran medida el tiempo de reacción, de modo que casi todas las reacciones químicas han tenido lugar durante el período de residencia. De lo contrario, si Da _I tiende a 0, el tiempo de residencia es mucho más corto que el tiempo de reacción, de modo que no ha tenido lugar ninguna reacción química durante el breve período en que las partículas de fluido ocupan el lugar de reacción. De manera similar, Da _II tiende a 0 implica que la energía de la reacción química es insignificante en comparación con la energía del flujo. El límite del número de Damköhler que tiende a infinito se llama límite de Burke-Schumann .

Como regla general , cuando Da es menor que 0,1 se logra una conversión de menos del 10%, y cuando Da es mayor que 10 se espera una conversión de más del 90%. ^[2]

Derivación para la descomposición de una sola especie

A partir del balance molar general de algunas especies , donde para un CSTR se supone un estado estable y una mezcla perfecta, ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\text{in}}-{\text{out}}+{\text{generation}}={\text{accumulation}}}$

${\displaystyle F_{A0}-F_{A}+r_{A}V=0}$

${\displaystyle F_{A}-F_{A0}=r_{A}V}$

Suponiendo un caudal volumétrico constante , que es el caso de un reactor líquido o una reacción en fase gaseosa sin generación neta de moles, ${\displaystyle v_{0}}$

${\displaystyle (C_{A}-C_{A0})v_{0}=r_{A}V}$

${\displaystyle (C_{A}-C_{A0})=r_{A}{\frac {V}{v_{0}}}}$

${\displaystyle (C_{A}-C_{A0})=r_{A}\tau }$

donde el espacio-tiempo se define como la relación entre el volumen del reactor y el caudal volumétrico. Es el tiempo necesario para que una gota de fluido pase a través del reactor. Para una reacción de descomposición, la velocidad de reacción es proporcional a una determinada potencia de la concentración de . Además, para una única reacción, una conversión puede definirse en términos del reactivo limitante, para la descomposición simple que es especie ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle (C_{A}-C_{A0})=-kC_{A}^{n}\tau }$

${\displaystyle ((1-X)C_{A0}-C_{A0})=-kC_{A0}^{n}\tau (1-X)^{n}}$

${\displaystyle X=kC_{A0}^{n-1}\tau (1-X)^{n}}$

${\displaystyle 0={\frac {(1-X)^{n}}{X}}-{\frac {1}{\rm {Da_{n}}}}}$

Como se puede ver, a medida que el número de Damköhler aumenta, el otro término debe disminuir. El polinomio resultante se puede resolver y se puede encontrar la conversión para los números de Damköhler de la regla empírica. Alternativamente, se pueden graficar las expresiones y ver dónde se intersecan con la línea dada por el número de Damköhler inverso para ver la solución de la conversión. En el gráfico siguiente, el eje y es el número de Damköhler inverso y el eje x la conversión. Los números de Damköhler de la regla empírica se han colocado como líneas horizontales discontinuas.

Referencias

1. Weiland, Claus (2020). "Mecánica de similitudes de flujo". SpringerLink . doi :10.1007/978-3-030-42930-0. ISBN 978-3-030-42929-4.
2. Fogler, Scott (2006). Elementos de ingeniería de reacciones químicas (4.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Pearson Education. ISBN 0-13-047394-4.