El modelado de sólidos (o modelado de sólidos ) es un conjunto consistente de principios para el modelado matemático y por computadora de formas tridimensionales (sólidos) . El modelado de sólidos se distingue dentro de las áreas relacionadas más amplias del modelado geométrico y los gráficos por computadora , como el modelado 3D , por su énfasis en la fidelidad física. [1] Juntos, los principios del modelado geométrico y sólido forman la base del diseño asistido por computadora en 3D y, en general, respaldan la creación, el intercambio, la visualización, la animación, la interrogación y la anotación de modelos digitales de objetos físicos.
El uso de técnicas de modelado de sólidos permite el proceso de automatización de varios cálculos de ingeniería difíciles que se llevan a cabo como parte del proceso de diseño. La simulación, planificación y verificación de procesos como el mecanizado y el montaje fueron uno de los principales catalizadores para el desarrollo del modelado de sólidos. Más recientemente, la gama de aplicaciones de fabricación admitidas se ha ampliado enormemente para incluir la fabricación de chapa metálica , el moldeo por inyección , la soldadura , el tendido de tuberías , etc. Más allá de la fabricación tradicional, las técnicas de modelado sólido sirven como base para la creación rápida de prototipos , el archivo de datos digitales y la ingeniería inversa. mediante la reconstrucción de sólidos a partir de puntos muestreados en objetos físicos, análisis mecánico utilizando elementos finitos , planificación de movimiento y verificación de trayectoria NC, análisis cinemático y dinámico de mecanismos , etc. Un problema central en todas estas aplicaciones es la capacidad de representar y manipular eficazmente la geometría tridimensional de una manera que sea consistente con el comportamiento físico de los artefactos reales. La investigación y el desarrollo de modelos sólidos han abordado eficazmente muchos de estos problemas y siguen siendo un foco central de la ingeniería asistida por computadora .
La noción de modelado de sólidos tal como se practica hoy en día se basa en la necesidad específica de información completa en los sistemas de modelado geométrico mecánico, en el sentido de que cualquier modelo de computadora debe admitir todas las consultas geométricas que puedan solicitarse a su objeto físico correspondiente. El requisito reconoce implícitamente la posibilidad de varias representaciones informáticas del mismo objeto físico, siempre que dos de esas representaciones sean consistentes. Es imposible verificar computacionalmente la integridad informativa de una representación a menos que la noción de un objeto físico se defina en términos de propiedades matemáticas computables y sea independiente de cualquier representación particular. Este razonamiento condujo al desarrollo del paradigma de modelado que ha dado forma al campo del modelado de sólidos tal como lo conocemos hoy. [2]
Todos los componentes fabricados tienen un tamaño finito y límites que se comportan bien , por lo que inicialmente la atención se centró en modelar matemáticamente piezas rígidas hechas de material isotrópico homogéneo que se pudiera agregar o quitar. Estas propiedades postuladas pueden traducirse en propiedades de regiones , subconjuntos del espacio euclidiano tridimensional . Los dos enfoques comunes para definir la "solidez" se basan en la topología de conjuntos de puntos y la topología algebraica , respectivamente. Ambos modelos especifican cómo se pueden construir sólidos a partir de piezas o celdas simples.
Según el modelo de solidez de conjunto de puntos continuos, todos los puntos de cualquier X ⊂ ℝ 3 pueden clasificarse según sus vecindades con respecto a X como puntos interiores , exteriores o límites . Suponiendo que ℝ 3 está dotado de la métrica euclidiana típica , una vecindad de un punto p ∈ X toma la forma de una bola abierta . Para que X se considere sólido, cada vecindad de cualquier p ∈ X debe ser consistentemente tridimensional; Los puntos con vecindades de dimensiones inferiores indican una falta de solidez. La homogeneidad dimensional de las vecindades está garantizada para la clase de conjuntos regulares cerrados , definidos como conjuntos iguales al cierre de su interior. Cualquier X ⊂ ℝ 3 puede convertirse en un conjunto regular cerrado o "regularizarse" tomando el cierre de su interior y, por lo tanto, el espacio de modelado de sólidos se define matemáticamente como el espacio de subconjuntos regulares cerrados de ℝ 3 (según Heine -Teorema de Borel (se implica que todos los sólidos son conjuntos compactos ). Además, se requiere que los sólidos estén cerrados bajo las operaciones booleanas de unión, intersección y diferencia (para garantizar la solidez después de la adición y eliminación de material). La aplicación de las operaciones booleanas estándar a conjuntos regulares cerrados puede no producir un conjunto regular cerrado, pero este problema se puede resolver regularizando el resultado de la aplicación de las operaciones booleanas estándar. [3] Las operaciones de conjuntos regularizados se denotan por ∪ ∗ , ∩ ∗ y − ∗ .
La caracterización combinatoria de un conjunto X ⊂ ℝ 3 como un sólido implica representar X como un complejo de celdas orientables de modo que las celdas proporcionen direcciones espaciales finitas para puntos en un continuo que de otro modo sería innumerable. [1] La clase de subconjuntos acotados semianalíticos del espacio euclidiano está cerrada bajo operaciones booleanas (estándar y regularizadas) y exhibe la propiedad adicional de que cada conjunto semianalítico puede estratificarse en una colección de celdas disjuntas de dimensiones 0,1, 2,3. Una triangulación de un conjunto semianalítico en una colección de puntos, segmentos de línea , caras triangulares y elementos tetraédricos es un ejemplo de estratificación que se usa comúnmente. El modelo combinatorio de solidez se resume luego diciendo que, además de ser subconjuntos acotados semianalíticos, los sólidos son poliedros topológicos tridimensionales , específicamente variedades orientables tridimensionales con límite. [4] En particular, esto implica que la característica de Euler del límite combinatorio [5] del poliedro es 2. El modelo múltiple combinatorio de solidez también garantiza que el límite de un sólido separa el espacio en exactamente dos componentes como consecuencia de la ecuación de Jordan-Brouwer. teorema, eliminando así conjuntos con vecindades no múltiples que se consideran imposibles de fabricar.
Los modelos combinatorios y de conjunto de puntos de sólidos son completamente consistentes entre sí, se pueden usar indistintamente, basándose en propiedades continuas o combinatorias según sea necesario, y se pueden extender a n dimensiones. La propiedad clave que facilita esta coherencia es que la clase de subconjuntos regulares cerrados de ℝ n coincide precisamente con poliedros topológicos homogéneos de n dimensiones. Por lo tanto, cada n -sólido dimensional puede representarse inequívocamente por su límite y el límite tiene la estructura combinatoria de un n-1 -poliedro dimensional que tiene vecindades homogéneamente n-1 -dimensionales.
Basado en propiedades matemáticas supuestas, cualquier esquema de representación de sólidos es un método para capturar información sobre la clase de subconjuntos semianalíticos del espacio euclidiano. Esto significa que todas las representaciones son formas diferentes de organizar los mismos datos geométricos y topológicos en forma de estructura de datos . Todos los esquemas de representación están organizados en términos de un número finito de operaciones sobre un conjunto de primitivas. Por lo tanto, el espacio de modelado de cualquier representación particular es finito y un esquema de representación único puede no ser completamente suficiente para representar todos los tipos de sólidos. Por ejemplo, los sólidos definidos mediante combinaciones de operaciones booleanas regularizadas no necesariamente pueden representarse como el barrido de un primitivo que se mueve según una trayectoria espacial, excepto en casos muy simples. Esto obliga a los sistemas de modelado geométrico modernos a mantener varios esquemas de representación de sólidos y también a facilitar la conversión eficiente entre esquemas de representación.
A continuación se muestra una lista de técnicas comunes utilizadas para crear o representar modelos sólidos. [4] El software de modelado moderno puede utilizar una combinación de estos esquemas para representar un sólido.
Este esquema se basa en la noción de familias de objetos, en las que cada miembro de una familia se distingue del otro por unos pocos parámetros. Cada familia de objetos se denomina primitiva genérica y los objetos individuales dentro de una familia se denominan instancias primitivas . Por ejemplo, una familia de tornillos es una primitiva genérica y un único tornillo especificado por un conjunto particular de parámetros es una instancia primitiva. La característica distintiva de los esquemas de creación de instancias parametrizadas puras es la falta de medios para combinar instancias para crear nuevas estructuras que representen objetos nuevos y más complejos. El otro inconveniente principal de este esquema es la dificultad de escribir algoritmos para calcular las propiedades de los sólidos representados. Se debe incorporar una cantidad considerable de información específica de la familia a los algoritmos y, por lo tanto, cada primitiva genérica debe tratarse como un caso especial, sin permitir un tratamiento general uniforme.
Este esquema es esencialmente una lista de celdas espaciales ocupadas por el sólido. Las celdas, también llamadas vóxeles , son cubos de un tamaño fijo y están dispuestos en una cuadrícula espacial fija (también son posibles otras disposiciones poliédricas, pero los cubos son los más simples). Cada celda puede estar representada por las coordenadas de un solo punto, como el centroide de la celda. Generalmente se impone un orden de escaneo específico y el conjunto ordenado de coordenadas correspondiente se denomina matriz espacial . Los arreglos espaciales son representaciones sólidas inequívocas y únicas, pero son demasiado detalladas para usarlas como representaciones "maestras" o definitorias. Sin embargo, pueden representar aproximaciones aproximadas de piezas y pueden usarse para mejorar el rendimiento de los algoritmos geométricos, especialmente cuando se usan junto con otras representaciones como la geometría sólida constructiva .
Este esquema se deriva de las descripciones combinatorias (topológicas algebraicas) de sólidos detalladas anteriormente. Un sólido se puede representar por su descomposición en varias células. Los esquemas de enumeración de ocupación espacial son un caso particular de descomposición de celdas donde todas las celdas son cúbicas y se encuentran en una cuadrícula regular. Las descomposiciones de células proporcionan formas convenientes de calcular ciertas propiedades topológicas de los sólidos, como su conectividad (número de piezas) y género (número de huecos). Las descomposiciones de celdas en forma de triangulaciones son las representaciones utilizadas en elementos finitos 3D para la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales. Se pueden utilizar otras descomposiciones celulares, como la estratificación regular de Whitney o las descomposiciones de Morse, para aplicaciones en la planificación del movimiento de robots. [6]
De manera similar a la representación de límites, se representa la superficie del objeto. Sin embargo, en lugar de estructuras de datos complejas y NURBS, se utiliza una malla superficial simple de vértices y aristas. Las mallas de superficie pueden ser estructuradas (como en mallas triangulares en archivos STL o mallas cuádruples con anillos horizontales y verticales de cuadriláteros), o mallas no estructuradas con triángulos agrupados aleatoriamente y polígonos de nivel superior.
La geometría constructiva de sólidos (CSG) es una familia de esquemas para representar sólidos rígidos como construcciones booleanas o combinaciones de primitivas mediante las operaciones de conjuntos regularizados analizadas anteriormente. CSG y las representaciones de límites son actualmente los esquemas de representación más importantes para sólidos. Las representaciones CSG toman la forma de árboles binarios ordenados donde los nodos no terminales representan transformaciones rígidas ( isometrías que preservan la orientación ) u operaciones de conjuntos regularizados. Los nodos terminales son hojas primitivas que representan conjuntos regulares cerrados. La semántica de las representaciones CSG es clara. Cada subárbol representa un conjunto resultante de aplicar las transformaciones/operaciones de conjuntos regularizados indicadas sobre el conjunto representado por las hojas primitivas del subárbol. Las representaciones CSG son particularmente útiles para capturar la intención del diseño en forma de características correspondientes a la adición o eliminación de material (resaltes, agujeros, bolsillos, etc.). Las propiedades atractivas de CSG incluyen concisión, validez garantizada de los sólidos, propiedades algebraicas booleanas computacionalmente convenientes y control natural de la forma de un sólido en términos de parámetros de alto nivel que definen las primitivas del sólido y sus posiciones y orientaciones. La estructura de datos relativamente simple y los elegantes algoritmos recursivos [7] han contribuido aún más a la popularidad de CSG.
La noción básica incorporada en los planes radicales es simple. Un conjunto que se mueve a través del espacio puede trazar o barrer un volumen (un sólido) que puede estar representado por el conjunto en movimiento y su trayectoria. Tal representación es importante en el contexto de aplicaciones como la detección del material retirado de una cortadora a medida que se mueve a lo largo de una trayectoria específica, el cálculo de la interferencia dinámica de dos sólidos que experimentan un movimiento relativo, la planificación del movimiento e incluso en aplicaciones de gráficos por computadora como el trazado de la trayectoria. movimientos de un pincel movido sobre un lienzo. La mayoría de los sistemas CAD comerciales proporcionan una funcionalidad (limitada) para construir sólidos barridos, principalmente en forma de una sección transversal bidimensional que se mueve en una trayectoria espacial transversal a la sección. Sin embargo, las investigaciones actuales han demostrado varias aproximaciones de formas tridimensionales que se mueven a través de un parámetro, e incluso movimientos multiparamétricos.
Un método muy general para definir un conjunto de puntos X es especificar un predicado que pueda evaluarse en cualquier punto del espacio. En otras palabras, X se define implícitamente como compuesto por todos los puntos que satisfacen la condición especificada por el predicado. La forma más simple de un predicado es la condición sobre el signo de una función con valor real que da como resultado la conocida representación de conjuntos mediante igualdades y desigualdades. Por ejemplo, si las condiciones , y representan, respectivamente, un plano y dos semiespacios lineales abiertos . Las primitivas funcionales más complejas pueden definirse mediante combinaciones booleanas de predicados más simples. Además, la teoría de funciones R permite conversiones de tales representaciones en una desigualdad de función única para cualquier conjunto semianalítico cerrado. Dicha representación se puede convertir en una representación de límites utilizando algoritmos de poligonización, por ejemplo, el algoritmo de los cubos en marcha .
Las características se definen como formas paramétricas asociadas con atributos tales como parámetros geométricos intrínsecos (largo, ancho, profundidad, etc.), posición y orientación, tolerancias geométricas , propiedades del material y referencias a otras características. [8] Las funciones también brindan acceso a procesos de producción y modelos de recursos relacionados. Por tanto, las características tienen un nivel semánticamente más alto que los conjuntos regulares cerrados primitivos. En general, se espera que las características formen una base para vincular CAD con aplicaciones de fabricación posteriores y también para organizar bases de datos para la reutilización de datos de diseño. El modelado paramétrico basado en características se combina frecuentemente con la geometría sólida binaria (CSG) constructiva para describir completamente sistemas de objetos complejos en ingeniería.
El desarrollo histórico de los modeladores de sólidos debe verse en el contexto de toda la historia del CAD , siendo los hitos clave el desarrollo del sistema de investigación BUILD, seguido de su spin-off comercial Romulus , que influyó en el desarrollo de Parasolid , ACIS y Soluciones de modelado de sólidos . ASCON , uno de los primeros desarrolladores de CAD en la Comunidad de Estados Independientes (CEI), comenzó el desarrollo interno de su propio modelador de sólidos en la década de 1990. [9] En noviembre de 2012, la división matemática de ASCON se convirtió en una empresa separada y pasó a denominarse C3D Labs . Se le asignó la tarea de desarrollar el núcleo de modelado geométrico C3D como un producto independiente, el único núcleo de modelado 3D comercial de Rusia. [10] Otras contribuciones vinieron de Mäntylä, con su GWB y del proyecto GPM que aportó, entre otras cosas, técnicas de modelado híbrido a principios de los años 1980. También fue entonces cuando se concibió en la Universidad de Roma el lenguaje de programación de modelado de sólidos PLASM .
El modelado de sólidos es sólo el requisito mínimo de las capacidades de un sistema CAD . Los modeladores de sólidos se han convertido en algo común en los departamentos de ingeniería en los últimos diez años [ ¿cuándo? ] debido a computadoras más rápidas y precios competitivos de software. El software de modelado de sólidos crea una representación virtual en 3D de componentes para el diseño y análisis de máquinas. [11] Una interfaz gráfica de usuario típica incluye macros programables, atajos de teclado y manipulación dinámica de modelos. Se enfatiza la capacidad de reorientar dinámicamente el modelo, en 3D sombreado en tiempo real, y ayuda al diseñador a mantener una imagen 3D mental.
Un modelo de pieza sólida generalmente consta de un grupo de características, que se agregan una a la vez, hasta que el modelo esté completo. Los modelos sólidos de ingeniería se construyen principalmente con funciones basadas en bocetos; Bocetos en 2D que se desplazan a lo largo de un camino para convertirse en 3D. Pueden ser cortes o extrusiones, por ejemplo. El trabajo de diseño de componentes generalmente se realiza dentro del contexto del producto completo utilizando métodos de modelado de ensamblaje . Un modelo de ensamblaje incorpora referencias a modelos de piezas individuales que componen el producto. [12]
Otro tipo de técnica de modelado es el 'surfacing' ( modelado de superficies de forma libre ). Aquí, las superficies se definen, recortan, fusionan y rellenan para formar un sólido. Las superficies generalmente se definen con curvas de referencia en el espacio y una variedad de comandos complejos. El revestimiento de superficies es más difícil, pero se aplica mejor a algunas técnicas de fabricación, como el moldeo por inyección. Los modelos sólidos para piezas moldeadas por inyección suelen tener características basadas tanto en la superficie como en el boceto.
Los dibujos de ingeniería se pueden crear de forma semiautomática y hacer referencia a los modelos sólidos.
El modelado paramétrico utiliza parámetros para definir un modelo (dimensiones, por ejemplo). Ejemplos de parámetros son: dimensiones utilizadas para crear características del modelo, densidad del material, fórmulas para describir características de barrido, datos importados (que describen una superficie de referencia, por ejemplo). El parámetro se puede modificar más adelante y el modelo se actualizará para reflejar la modificación. Normalmente, existe una relación entre piezas, ensamblajes y dibujos. Una pieza consta de varias funciones y un ensamblaje consta de varias piezas. Los dibujos se pueden hacer a partir de piezas o conjuntos.
Ejemplo: se crea un eje extruyendo un círculo de 100 mm. Se ensambla un cubo al final del eje. Posteriormente, el eje se modifica para que tenga 200 mm de largo (haga clic en el eje, seleccione la dimensión de longitud, modifíquelo a 200). Cuando se actualice el modelo, el eje tendrá 200 mm de largo, el cubo se reubicará en el extremo del eje en el que se ensambló y los dibujos de ingeniería y las propiedades de masa reflejarán todos los cambios automáticamente.
Relacionadas con los parámetros, pero ligeramente diferentes, están las restricciones . Las restricciones son relaciones entre entidades que forman una forma particular. Para una ventana, los lados pueden definirse como paralelos y de la misma longitud. El modelado paramétrico es obvio e intuitivo. Pero durante las tres primeras décadas del CAD este no fue el caso. La modificación significaba volver a dibujar o agregar un nuevo corte o protuberancia encima de los antiguos. Se crearon dimensiones en los planos de ingeniería , en lugar de mostrarse . El modelado paramétrico es muy poderoso, pero requiere más habilidad en la creación de modelos. Un modelo complicado para una pieza moldeada por inyección puede tener mil características, y la modificación de una característica temprana puede causar que las características posteriores fallen. Los modelos paramétricos creados hábilmente son más fáciles de mantener y modificar. El modelado paramétrico también se presta a la reutilización de datos. Por ejemplo, un modelo puede contener toda una familia de tornillos de cabeza .
Los modernos escáneres de imágenes por resonancia magnética y tomografía axial computarizada se pueden utilizar para crear modelos sólidos de características internas del cuerpo llamados modelos basados en vóxeles , con imágenes generadas mediante representación de volumen . Los escáneres ópticos 3D se pueden utilizar para crear nubes de puntos o modelos de malla poligonal de características externas del cuerpo.
Usos del modelado médico de sólidos;
Si el uso va más allá de la visualización de los datos escaneados, serán necesarios procesos como la segmentación de imágenes y el mallado basado en imágenes para generar una descripción geométrica precisa y realista de los datos escaneados.
Debido a que los programas CAD que se ejecutan en computadoras "entienden" la verdadera geometría que comprende formas complejas, muchos atributos de/para un sólido 3D, como su centro de gravedad, volumen y masa, se pueden calcular rápidamente. Por ejemplo, el cubo con bordes redondeados que se muestra en la parte superior de este artículo mide 8,4 mm de plano a plano. A pesar de sus muchos radios y la pirámide poco profunda en cada una de sus seis caras, el diseñador puede calcular fácilmente sus propiedades, como se muestra en la captura de pantalla de la derecha.
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